全等三角形证明基础知识梳理及证明.doc

高坪剑桥英语一对一讲义：第一讲
全等三角形证明基础知识梳理及证明
一、填空题
1．_ 的两个图形叫做全等形.
2．全等三角形的对应边，对应角，这是全等三角形的重要性质．
3．如果Δ≌Δ，则的对应边是，的对应边是，∠C的对应角是，∠的对应角是．

图1－1 图1－2 图1－3
4．如图1－1所示，Δ≌Δ．（1）若∠D＝74°∠＝38°，则∠A＝，∠＝
（2）如果＝，请指出其他的对应边；
（3）如果Δ≌Δ，请指出所有的对应边，对应角．
5．如图1－2，已知△≌△，＝2 ，＝1.5 ，∠A＝25°，∠B＝48°；那么＝，＝，∠C＝°；∠D＝°．
6．一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形
二、选择题
7．已知：如图1－3，Δ≌，若∥，则的对应边是 （ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图1－4，△≌△，A和B、C和D是对应顶点，如果＝5，＝6，＝4，那么等于 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定

图1-4 图1-5 图1-6
10．如图1－5，△≌△，若∠和∠是对应角，则∠等于 （ ）
A．∠ B．∠ C．∠ D．∠
11．如图1－6，△≌Δ，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠＝35°，则∠的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
三、解答题
12．已知：如图1－7所示，以B为中心，将△绕B点逆时针旋转90°得到△，若∠E＝35°，求∠的度数．

图1－7 图1－8 图1－9
一、填空题
13．如图1－8，△和△是△分别沿着，翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为．
14．已知：如图1－9，△≌△，∠A＝85°，∠B＝60°，＝8，＝2．
（1）求∠F的度数与的长；
（2）求证：∥．

15．如图1－10，⊥，Δ≌Δ．判断与的关系，并证明你的结论．

图1－10
三角形全等的判定（一）
一、填空题

图2－1 图2－2 图2－3
1．已知：如图2－1，△中，＝，M为的中点．
求证：平分∠．
分析：要证平分∠，即∠＝，
只要证≌
证明：∵ M为的中点（已知），
∴＝ 在△和△中，

∴≌（ ）． ∴ ∠＝（）．
即．
2．已知：如图2－2，＝，＝，＝. 求证：∠A＝∠D．
分析：要证∠A＝∠D，只要证≌．
证明：∵＝ （ ）， ∴＝．
在△和△中，

∴≌（ ）． ∴ ∠A＝∠D （）．
3．如图2－3，＝，＝，＝，
求证：△≌△．
证明：∵＝，＝，
∴＋＝＋，即＝．
在△和△中，

∴△≌△ （ ）．
4．已知：如图2－4，＝．＝．试证明：∠＝∠.

图2－4
三角形全等的判定（二）
一、填空题
1．已知：如图3－1，、相交于O点，＝，＝．
求证：∠D＝∠B．
分析：要证∠D＝∠B，只要证≌
证明：在△与△中，

∴ △≌△ （ ）．∴ ∠D＝∠B （）．
2．已知：如图3－2，∥，＝．求证：∥．
分析：要证∥，只要证∠＝∠，
又需证≌．
证明：∵ ∥ （ ），∴ ∠＝∠ （ ），
在△和△中，

∴ Δ≌Δ （ ）．∴ ∠＝∠ （ ）．
∴ ∥（ ）．
一、解答题
3．已知：如图3－3，＝，∠＝∠．求证：∠B＝∠C．

图3－3 图3－4 图3－5 图3－6
4．已知：如图3－4，＝，＝．求证：∠B＝∠C．

5．已知：如图3－5，＝，＝，∠1＝∠2．
求证：＝．

6．如图3－6，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线，＝，＝，∠＝∠＝90°），连接、，试确定与的位置与数量关系，并证明你的结论．

三角形全等的条件 （三）
一、填空题
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即）指的是
；
（2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即）指的是
．

图4－1
2．已知：如图4－1，＝，∠M＝∠N．求证：＝．
分析：∵＝，∴ 要证＝，只要证＝，
只要证≌．
证明：在△与△中，

∴ △≌△ （ ）．
∴＝ （ ）．
∵＝ （ ），
∴－＝－，即＝．
3． 已知：如图4－2，．求证：＝，＝．
4．
分析：要证＝，＝，只要证≌．
证明：∵ ∥，∴ ∠C＝．
在△与△中，

∴≌ （ ）．
∴ ＝，＝ （ ）．

图4－2
二、选择题
4．能确定△≌△的条件是 （ ）
A．＝，＝，∠A＝∠E
B．＝，＝，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，＝，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，＝，∠B＝∠E
5．如图4－3，已知△的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△全等的图形是 （ ）

图4－3
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
6．是△的角平分线，作⊥于E，⊥于F，下列结论错误的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．∠＝∠
三、解答题
7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图4－4，和相交于点O，且＝，∠A＝∠C．那么△与△全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△≌△．
证明：在△和△中，

图4－4

∴ △≌△ （）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

8．已知：如图4－5，⊥，⊥，∠E＝∠B，＝．
求证：＝．

图4－5

9．已知：如图4－6，在△中，H是高和的交点，且＝．
求证：＝.

图4－6

10．已知：是Δ的一条中线，⊥的延长线于E，⊥于F，＝10，＝4．求、的长．

11．填空题
（1）已知：如图4－7，＝，⊥于D，⊥于E.欲证明＝，需证明Δ≌△，理由为．
（2）已知：如图4－8，＝，∠A＝∠D，欲证Δ≌Δ，需要添加条件,证明全等的理由是；或添加条件，证明全等的理由是；也可以添加条件，证明全等的理由是．

图4－7 图4－8
12．如图4－9，已知Δ≌ΔA'B'C'，、A'D'分别是Δ和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗？

图4－9

13．如图4－10，在△中，∠＝90°，＝，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线、，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边相交时，求证：＝＋．

图4－10

（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边交于点D，请你探究直线l在如下位置时，、、之间的关系．
①＞；②＝；③＜．

图4－11

直角三角形全等的条件(四)
一、填空题
1．判定两直角三角形全等的“”这种特殊方法指的是．
2．直角三角形全等的判定方法有 （用简写）．
3．如图5－1，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，＝，＝．则Δ≌，全等的根据是．

图5－1
4．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等． （ ）
二、选择题
5．下列说法正确的是 （ ）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
6．如图5－2，＝，⊥ 于D，E、F为上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6

图5－2
三、解答题
7．已知：如图5－3，⊥，⊥，＝． 图5－3
求证：（1）＝：
（2）∥．

8．已知：如图5－4，＝，⊥，⊥． 图5－4

求证：＝；
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