修订版高二下文科数学期末复习卷【精】.doc

高二下文科数学期末复习卷
　班级 姓名
一．选择题（共12小题）
1．如果x﹣1与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．﹣
2．若a∈R，复数（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，则（　　）
A．a≠2且a≠﹣1 B．0 C．2 D．0或2
3．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x22=1，则曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．4x2+9y2=1
4．设某中学的高中女生体重y（单位：）与身高x（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，）（1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（　　）
A．y与x具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1，则其体重约增加0.85
D．若该中学某高中女生身高为160，则可断定其体重必为50.29
5．给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
6．将正整数排成下表：

则在表中数字2015出现在（　　）
A．第44行第78列 B．第45行第79列 C．第44行第77列 D．第45行第77列
7．下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②

8．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
9．直线（t是参数）被圆x22=9截得的弦长等于（　　）
A． B． C． D．
10．曲线ρ=4（）与曲线的位置关系是（　　）
A．相交过圆心 B．相交 C．相切 D．相离
11．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
12．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（　　）
A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°
二．填空题（共4小题）
13．观察式子，…，则可归纳出　 　．
14．为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：

喜欢
不喜欢
总计
男
15
10
25
女
5
20
25
总计
20
30
50
附表：
P（K2≥k0）
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
则有　 　以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”
15．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为ρ2=；则若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求34y的最大值 。
16．复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　 　．

三．解答题（共6小题）
17．已知数列{}中，a1=1，1=（n∈）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．

18．设．
①求； ②若i，m∈R，求实数m的值．

19．已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ22θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

20．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．
（1）求的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段中点M的距离．

21．在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2θ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

22．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．

高二下文科数学期末复习卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）
1．（2017•重庆模拟）如果x﹣1与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），则（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．﹣
【分析】利用共轭复数的定义可得关于x，y的方程，即可得出．
【解答】解：∵x﹣1与i﹣3x是共轭复数（x，y是实数），
∴x﹣1=﹣3x，﹣1，
解得，﹣1．
则﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了共轭复数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（2017•六安模拟）若a∈R，复数（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，则（　　）
A．a≠2且a≠﹣1 B．0 C．2 D．0或2
【分析】利用纯虚数的定义即可得出．
【解答】解：∵a∈R，复数（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i是纯虚数，
∴a2﹣20，a2﹣a﹣2≠0，
解得0．
故选：B．
【点评】本题考查了纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（2014秋•花垣县校级期中）曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x22=1，则曲线C的方程为（　　）
A． B． C． D．4x2+9y2=1
【分析】直角坐标系中的伸缩变换只要是利用变换前的关系式，变换关系，变换后的关系式，只要知道其中的两个变量就可以求出点三个变量．本题知道第二、第三个变量求第一个变量．
【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2′2=1②，
把①代入②得到：
故选：A
【点评】本题考查的知识要点：直角坐标系中的函数关系式的伸缩变换，属于基础题型．

4．（2017•南昌一模）设某中学的高中女生体重y（单位：）与身高x（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，）（1，2，3，…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是（　　）
A．y与x具有正线性相关关系
B．回归直线过样本的中心点
C．若该中学某高中女生身高增加1，则其体重约增加0.85
D．若该中学某高中女生身高为160，则可断定其体重必为50.29
【分析】根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】解：由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；
由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1，其体重约增加0.85，C正确；
当某女生的身高为160时，其体重估计值是50.29，而不是具体值，因此D错误．
故选：D．
【点评】本题考查了回归分析与线性回归方程的应用问题，是基础题目．

5．（2017•泉州模拟）给出下列一段推理：若一条直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线．已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α，所以a∥b．上述推理的结论不一定是正确的，其原因是（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
【分析】分析该演绎推理的三段论，即可得出错误的原因是什么．
【解答】解：该演绎推理的大前提是：若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；
小前提是：已知直线a⊄平面α，直线b⊂平面α，且a∥α；
结论是：a∥b；
该结论是错误的，因为大前提是错误的，
正确叙述是“若直线平行于平面，过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选：A．
【点评】本题通过演绎推理的三段论叙述，考查了空间中线面垂直的性质定理的应用问题，是基础题．

6．（2017春•和平区校级期中）将正整数排成下表：

则在表中数字2015出现在（　　）
A．第44行第78列 B．第45行第79列 C．第44行第77列 D．第45行第77列
【分析】根据每一行最后一个数的规律得到第n行的最后一个数为n2，然后解n2与2015的关系，确定2015的位置．
【解答】解：因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2．
因为442=1936，452=2025，
所以2015出现在第45行上．
又由2015﹣1936=79，
故2015出现在第79列，
故选：B
【点评】本题主要考查了归纳推理的应用，通过每一行的最后一个数得到数值的规律是解决本题的关键．

7．（2017春•应县校级期中）下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；
②演绎推理是由一般到特殊的推理；
③类比推理是由特殊到一般的推理；
④分析法是一种间接证明法．
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②
【分析】根据题意，结合合情推理、演绎推理的定义，依次分析4个命题，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义，正确；
对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；
对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；
对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；
则正确的是①②；
故选：D．
【点评】本题考查推理的基本定义，注意掌握合情推理与演绎推理的定义以及特点即可．

8．（2016•河南模拟）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：第1次执行循环体后，2，2，不满足退出循环的条件，
第2次执行循环体后，6，3，不满足退出循环的条件，
第3次执行循环体后，14，4，不满足退出循环的条件，
第4次执行循环体后，30，5，不满足退出循环的条件，
第5次执行循环体后，62，6，不满足退出循环的条件，
第6次执行循环体后，126，7，不满足退出循环的条件，
第7次执行循环体后，254，8，不满足退出循环的条件，
第8次执行循环体后，510，9，不满足退出循环的条件，
第9次执行循环体后，1022，10，不满足退出循环的条件，
第10次执行循环体后，2046，11，满足退出循环的条件，
故输出的k值为11，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

9．（2017春•麦积区校级期中）（普通班做）直线（t是参数）被圆x22=9截得的弦长等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】直线（t是参数），消去参数化为普通方程．利用点到直线的距离公式可得：圆心O（0，0）到直线的距离d，即可得出直线被圆x22=9截得的弦长=2．
【解答】解：直线（t是参数），消去参数化为普通方程：x﹣23=0．
圆心O（0，0）到直线的距离，
∴直线被圆x22=9截得的弦长=2=2=．
故选：D．
【点评】本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10．（2017春•阿拉善左旗校级期中）曲线ρ=4（）与曲线的位置关系是（　　）
A．相交过圆心 B．相交 C．相切 D．相离
【分析】先应用ρθ，ρθ，将曲线ρ=4（θ+）化为直角坐标方程，轨迹为圆，再化简曲线为直线﹣1=0，利用圆心到直线的距离公式，求出距离，判断与半径的关系，从而确定直线与圆的位置关系．
【解答】解：曲线ρ=4（θ+）=2（θθ），∴ρ=2（θθ），
化为直角坐标方程为：x22﹣2x﹣20
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，圆心为（1，1），半径为，
曲线化为普通方程为直线﹣1=0，
则圆心到直线的距离为=，
故直线与圆相交且不过圆心．
故选：B．
【点评】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程，及直线与圆的位置关系，属于基础题．

11．（2016春•阳高县校级期末）若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】把直线l的参数方程化为普通方程，利用斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：由题意得，设直线l倾斜角为θ，直线l的参数方程为（t为参数），
可化为，则，
∵θ∈（0，π），
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、斜率与倾斜角的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（2016秋•孝感期末）用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设（　　）
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．

二．填空题（共4小题）
13．（2016•潍坊一模）观察式子，…，则可归纳出　（n≥1）　．
【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．
【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是1．
不等号右边的分子是21，
∴1+…+＜（n≥1）．
故答案为：（n≥1）．
【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．

14．（2015•龙岩模拟）为了判断高中二年级学生是否喜欢足球运动与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：

喜欢
不喜欢
总计
男
15
10
25
女
5
20
25
总计
20
30
50
附表：
P（K2≥k0）
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
（参考公式k2=，（）
则有　99.5%　以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．
【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的临界值进行比较，根据8.333＞7.879，即可得到有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．
【解答】解：∵根据表中数据，得到k2的观测值≈8.333＞7.879，
由于P（k2≥7.879）≈0.005，
∴有99.5%以上的把握认为“喜欢足球与性别有关”．
故答案为：99.5%．
【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义．

15．（2017•红桥区一模）已知曲C的极坐标方程ρ=2θ，设直线L的参数方程，（t为参数）设直线L与x轴的交点M，N是曲线C上一动点，求的最大值　　．
【分析】首先将曲线C化成普通方程，得出它是以P（0，1）为圆心半径为1的圆，然后将直线L化成普通方程，得出它与x轴的交点M的坐标，最后用两个点之间的距离公式得出的距离，从而得出曲C上一动点N到M的最大距离．
【解答】解：∵曲线C的极坐标方程ρ=2θ，化成普通方程：
x22﹣20，即x2+（y﹣1）2=1
∴曲线C表示以点P（0，1）为圆心，半径为1的圆
∵直L的参数方程是：
∴直L的普通方程是：43y﹣8=0
∴可得L与x轴的交点M坐标为（2，0）
∴
由此可得曲C上一动点N到M的最大距离等于
故答案为：
【点评】本题考查了简单的曲线的极坐标方程和参数方程化为普通方程、以及圆上动点到圆外一个定点的距离最值的知识点，属于中档题．

16．（2017•南京一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为　4　．
【分析】化简复数为（a，b∈R），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值．
【解答】解：=．
∵复数是纯虚数
∴，解得：4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

三．解答题（共6小题）
17．（2016春•咸阳期末）已知数列{}中，a1=1，1=（n∈）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{}的通项公式；
（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前提和结论．
【分析】（Ⅰ）由数列{}的递推公式可得a2，a3，a4，进而可猜想通项公式；
（Ⅱ）由三段论的模式和等差数列的定义可证．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{}中，a1=1，1=，
a2=，a3=，a4=
猜想：；
（Ⅱ）∵通项公式为的数列{}，若1﹣，d是常数，
则{}是等差数列，…大前提
又∵﹣=，为常数；…小前提
∴数列{}是等差数列．…结论
【点评】本题考查简单的逻辑推理和数列的递推公式，属基础题．

18．（2017春•涵江区校级期中）设．
①求；
②若i，m∈R，求实数m的值．
【分析】①根据复数的四则运算进行化简，结合复数的模长公式进行计算即可．
②根据复数相等的条件建立方程即可求出m的值．
【解答】解：①1﹣i，
则；
②若i，m∈R，
则（1﹣i），
即，
即．
【点评】本题主要考查复数的化简和模长的计算，根据复数的运算法则将复数进行化简是解决本题的关键．

19．（2015•柳州一模）已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ22θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．
【分析】本题考查直线与圆的位置关系问题，直线被圆所截得的弦长可用代数法和几何法来加以求解
【解答】解：（1）由曲线C：ρ22θ=ρ2（2θ﹣2θ）=1，
得ρ22θ﹣ρ22θ=1，化成普通方程x2﹣y2=1．①（5分）
（2）（方法一）把直线参数方程化为标准参数方程，②
把②代入①，整理，得t2﹣4t﹣6=0，
设其两根为t1，t2，则t12=4，t1•t2=﹣6，．（8分）
从而弦长为．（10分）
（方法二）把直线l的参数方程化为普通方程为，代入x2﹣y2=1，得2x2﹣1213=0，．（6分）
设l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2），则，．（8分）
∴．（10分）
【点评】方法一：利用了直线参数方程中参数的几何意义
方法二：利用了直线被圆所截得的弦长公式

20．（2015•红河州一模）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．
（1）求的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段中点M的距离．
【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，求出t12和t1•t2，根据
=•1﹣t25 ，运算求得结果．
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得中点M对应的参数为 =． 由t的几何意义可得点P到M的距离为•，运算求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2﹣12t﹣5=0，
设A，B对应的参数分别为 t1 和t2，则 t12=，t1•t2 =﹣．
所以•1﹣t25 =．
（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），
根据中点坐标的性质可得中点M对应的参数为 =．
所以由t的几何意义可得点P到M的距离为•．
【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．

21．（2015•陕西）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2θ．
（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；
（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2θ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．
（）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得，再利用二次函数的性质即可得出．
【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2θ．
∴ρ2=2，化为x22=，
配方为=3．
（）设P，又C．
∴≥2，
因此当0时，取得最小值2．此时P（3，0）．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．（2016•白银模拟）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径．
（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρθ，ρθ，ρ222，进行代换即得圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．
化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（θθ）﹣1=0 …（5分）
（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，
得（1α）2+（1α）2=3，
即t2+2t（αα）﹣1=0．
∴t12=﹣2（αα），t1•t2=﹣1．
∴1﹣t22．
∵α∈[0，），∴2α∈[0，），
∴2≤＜2．
即弦长的取值范围是[2，2）…（10分）
【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρθ，ρθ，ρ222，进行代换即可．