新人教版七年级下学期数学知识梳理.doc

杉林中学七年级下期数学知识点
第五章 相交线与平行线
一、知识结构图
相交线
相交线 垂线
同位角、内错角、同旁内角
平行线
平行线及其判定
平行线的判定
平行线的性质
平行线的性质
命题、定理
平移
二、知识定义
邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
命题：判断一件事情的语句叫命题。
平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
三、定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
四、经典例题
例1 如图，直线AB,CD,EF相交于点O，∠AOE=54°，
∠EOD=90°，求∠EOB，∠COB的度数。
例2 如图AD平分∠CAE，∠B = 350，∠DAE=600，那么∠ACB等于多少？
例3 三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍，等于与它不
相邻的一个内角的2倍，则这个三角形各角的度数为( )。
A．450、450、900 B．300、600、900
C．250、250、1300 D．360、720、720
例4 已知如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数。
例5 如图，AB∥CD，EF分别与AB、CD交于G、H，MN⊥AB于G，∠CHG=1240，则∠EGM等于多少度？
第六章 实数
知识网络：

考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类

2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式

4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。
1、相反数
（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。
（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。
（3）
3、倒数
（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0）
（2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2、非负数有三种形式
（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。
3、非负数具有以下性质
（1）非负数有最小值零；
（2）非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。
（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
考点六、实数的运算
（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算
（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。
（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
二、典例剖析，综合拓展
知识点1：算术平方根
1.的算术平方根为（ ） （A）（B）－（C）±（D）（）
算术平方根的定义：
2. 的算术平方根可表示为 ，即 =
算术平方根的表示方法： （用含a的式子表示）
3. －有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？
算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵本身 0，必须同时成立
4、已知的小数部分为，的小数部分为，则
跟踪练习：
式子有意义，x的取值范围
已知：y=++3,求xy的值
，求a+b的值
知识点2：平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ；
2、的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1 ⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2
平方根的定义：
平方根的表示方法 （用含a的式子表示）
平方根的性质：
4、如果一个数的平方根是和，求这个数
5.用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2=81 ⑵4x2-225=0
6、下列说法正确的是( )
A、的平方根是 B、表示6的算术平方根的相反数
C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根
知识点3：立方根
1. －8的立方根是 ，表示为
立方根的定义：
立方根的表示方法： （用含a的式子表示）
2.说出下列各式表示的意义并求值：
⑴= ⑵－= ⑶= ⑷（）3=
3.如果有意义，x的取值范围为
立方根的性质：
4.用立方根的定义解方程
⑴x3-27 =0 ⑵2（x+3）3=512
拓展提高：
1、已知，，（1） ；（2） ；
（3）0.03的平方根约为 ；（4）若，则
2、已知，，，求（1） ；
（2）3000的立方根约为 ；（3），则
知识点4：重要公式
公式一: ∵ = = =
= = =
∴ =
有关练习： 1.= =
2.如果=a-3，则a的取值范围是 ；
如果=3-a,则a的取值范围是
3.数a,b在数轴上的位置如图：
化简：+|c+a|
b
a

C
0

公式二： ∵（）2= （）2= （）2=
∴= (a≥0)
综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，=
公式三： ∵ = = =
= = =
∴= ；
随堂练习：化简：当1＜a＜3时， +
公式四： ∵ （）3= （）3= （）3=
∴=
综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，=
公式五： =
知识点五：实数定义及分类
无理数的定义：
实数的定义：
实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。（ ）（2）无限小数都是无理数。（ ）
（3）无理数都是无限小数。（ ）（4）根号的数都是无理数。（ ）
第7章 平面直角坐标系
一、知识结构图
有序数对
平面直角坐标系
平面直角坐标系
用坐标表示地理位置
坐标方法的简单应用
用坐标表示平移
二、知识定义
有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）
平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。
三、经典例题
例1 一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，如果A1求坐标为（3，0），求点 A5的坐标。
A
B
C
例2
例2 如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A点，(0，4)表示B点，那么C点的位置可表示为( )
A、(0，3) B、(2，3) C、(3，2) D、(3，0)
1
●
●
●
●
●
●
A
B
C
D
E
F
O
x
y
-1
例3

例3 如图2，根据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标：
A( )，B( )，C( )。
例4 如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数），
（1）、求点D、E的坐标
（2）、求四边形ACED的面积。
例5 过两点A（3，4）,B（-2，4）作直线AB，则直线AB( )
A、经过原点 B、平行于y轴
C、平行于x轴 D、以上说法都不对
点的坐标。
第八章 二元一次方程组
实际问题
数学问题
（二元或三元一次方程）
实际问题的答案
数学问题的解
（二元或三元一次方程组的解）
一、知识结构图
设未知数，列方程
解 代入法
方 加减法
程 （消元）
组
检验
二、知识定义
二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
三、经典例题
例1 用加减消元法解方程组，由①×2—②得。
例2 如果是同类项，则、的值是（     ）
A、＝－3，＝2                    B、＝2，＝－3 
C、＝－2，＝3                    D、＝3，＝－2

例3 计算：
例4 王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元。其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元。问王大伯一共获纯利多少元？

例5 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。
第九章 不等式与不等式组
一、知识结构图
实际问题
（包含不等关系）
数学问题
（一元一次不等式（组））
设未知数，列不等式（组）

解
不
等
式
组
数学问题的解
（不等式（组）的解决）
实际问题的答案
检验

二、知识定义
不等式：一般地，用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
三、定理与性质
不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
四、经典例题
例1 当x 时，代数代2-3x的值是正数。
例2 一元一次不等式组的解集是 （     ）
A．-2＜x＜3    B．-3＜x＜2    C．x＜-3      D．x＜2

例3 已知方程组的解为负数，求k的取值范围。
例4 某种植物适宜生长在温度为18℃～20℃的山区，已知山区海拔每升高100米，气温下降0。5℃，现在测出山脚下的平均气温为22℃，问该植物种在山的哪一部分为宜？（假设山脚海拔为0米）
例5 某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再用门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元。

(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可进入该园林的次数最多的购票方式。

(2)求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算。
第十章 数据的收集、整理与描述
一、知识结构图
全面调查
抽样调查
收集数据
描述数据
整理数据
分析数据
得出结论

制表 绘图
二、知识定义
全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
总体：要考察的全体对象称为总体。
个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
频率：频数与数据总数的比为频率。
组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。
三、经典例题
例1 某班有50人，其中三好学生10人，优秀学生干部5人，在扇形统计图上表示三好学生和优秀学生干部人数的圆心角分别是(      )
A．720，360      B．1000，500       C．1200，600     D．800，400
例2 某音乐行出售三种音乐CD ，即古典音乐、流行音乐、民族音乐，为了表示这三种音乐唱片的销售量的百分比，应该用(    )
A．扇形统计图    B．折线统计图   C．条形统计图   D．以上都可以
例3 在一次抽样调查中收集了一些数据，对数据进行分组，绘制了下面的频数分布表：

　⑴已知最后一组（89.5-99.5）出现的频率为15 %，则这一次抽样调查的容量是________ ．
　⑵第三小组（69.5~79.5）的频数是_______，频率是________．
例4 如图，是一位护士统计一位病人的体温变化图：根据统计图回答下列问题：
　⑴病人的最高体温是达多少？
　⑵什么时间体温升得最快？
例5 在一次抽样调查中收集了一些数据，对数据进行分组，绘制了下面的频数分布表：

　⑴已知最后一组（89.5~99.5）出现的频率为15 %，则这一次抽样调查的容量是________ ．
　⑵第三小组（69.5~79.5）的频数是_______，频率是________．
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