教学设计几何概型.doc

课题： 几何概型
教材出处：本课时教材选自人教版数学必修第三章概率部分第。节的内容。
一. 教学内容分析:
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，也是教材新增加的内容，对它的要求仅限于初步体会几何概型的意义。几何概型的研究，是古典概型的拓广，课本介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，运用数学方法去研究不确定现象的规律，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。几何概型是概率必修章节的收尾篇，共安排课时,本节课是第课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。
二. 学生学习情况分析:
学生前面已经学习了随机事件的概率和古典概型，初步学会了用古典概型公式解决概率题，大多数学生对于概率的学习以及概率试验产生了浓厚的兴趣，逐渐会把一些问题模型化。但是学生在探究问题的能力，应用数学的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
三. 教学目标:
知识与技能目标:通过实例，让学生了解几何概型的概念以及几何概型与古典概型的区别。会计算简单的几何概型事件，并解决实际问题。
过程与方法目标:通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。
通过实际应用，让学生自主思考，寻找几何概型的随机模拟计算方法。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。
情感与态度目标:通过学习，让学生体会试验结果的随机性与规律性，培养其积极探索的精神。通过实际应用让学生体会到数学在现实生活中的价值，增强了学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。
难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。
三、教学方法、教学手段
本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。
任务分析
在这节内容中，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，因此，教学重点是随机模拟部分。这节内容的教学需要一些实物模型作为教具，如教科书中的转盘模型、例中的随机撒豆子的模型等。教学中应当注意让学生实际动手操作，以使学生相信模拟结果的真实性，然后再通过计算机或计算器产生均匀随机数进行模拟试验，得到模拟的结果。随机模拟的教学中要充分使用信息技术，让学生亲自动手产生随机数，进行模拟活动。有条件的学校可以让学生用一种统计软件统计模拟的结果。
教学过程设计:
一、情景引入

问题我们前面都学过哪些求概率的方法？(本节课的问题和题目都用多媒体幻灯片展示）
问题下面事件的概率能否用古典概型的方法求解？
[情景一]
教师取一根长度为厘米的绳子，拉直后在任意位置剪断，使得剪出的两段的长都不小于绳子长度(记为事件)，求此事件发生的概率。
师生共同探究:
此试验中，从每一个位置剪断都是一个试验结果，剪断位置可以是绳子上任一点，试验的可能结果为无限个，发现不是古典概型，不可以用古典概型的方法求解。
探索：
如图所示，把绳子三等分，于是当剪断位置在中间一段时，事件发生，于是

教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型，简称几何概型。
[情景二]
教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频， 拿出如下图中的两个转盘，规定当指针指向区域时顾客就中奖了

问题在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答，可见在图()中，顾客中奖的概率为二分之一，图()中顾客中奖的概率为五分之三。
[情景三]
一只苍蝇在一棱长为的正方体笼子里飞．
问题苍蝇距笼边大于的概率是多少?
教师实物展示正方体框架,在里面嵌套一个小正方体框架．
学生思考并回答该问题．
问题同学们观察对比，找出三个情景的共同点与不同点？
问题同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型？
学生进行小组讨论,以小组为单位发言,对回答问题的同学通过摇转盘的形式发给小奖品,场面气氛活跃．
【设计意图】三个情景设置让学生发现试验的结果有无限个,因此发现它们不是古典概型, 无法用古典概型的方法求解，然后师生探索此问题怎样解决，最后教师点题：这就是我们今天要学习的几何概型． 情境一的设计是从长度方面考虑问题,是为了引入概念，情境二、三的设计从面积和体积方面考虑问题,是为了让学生全面了解几何概型的概念，并且渗透数形结合的数学思想方法．小组的讨论是为了培养学生的合作意识和团队精神,用转盘的形式发奖品,让学生亲身体验概率游戏的乐趣．
(二)概念形成

在问题情景的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型．
问题古典概型与几何概型的区别和联系是什么？

引导学生通过对前面三个情境的总结，得到在几何概型中，事件发生的概率的计算公式为：

【设计意图】通过用表格列出相同和不同点，既体现了数学中类比的思想又能让学生更好的了解几何概型，从而突出教学重点．通过递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,加深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点．

(三)实际应用

例某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于分钟的概率．
此例首先让学生独立思考，然后教师再画龙点睛的分析并求解．
解完此例题后归纳求解几何概型问题的步骤：
判断该概率模型是不是几何概型．
如果是，把实际问题中的度量关系转化成长度、面积、体积等形式．
根据几何概型计算公式求出概率．
思考延伸：能否设计一个实验，来模拟例?
请一位同学说一说他的模拟实验，教师引导学生一起分析其可行性．
例一海豚在水中自由游弋，水池为长，宽的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边超过的概率．
变式：一海豚在水中自由游弋，水池为长，宽，深米的长方体，求此刻海豚嘴尖离岸边离水面、水底都不超过的概率．
此例可让学生将答案做在作业纸上,挑选几个有代表性的解答用实物投影展出,请一些同学进行点评,教师进行总结．

例:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上—之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上—之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件)的概率是多少?
课堂训练:
.某公共汽车站每隔分钟有一辆公共汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等车不超过分钟的概率.
．如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.

．在高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出,含有麦锈病种子的概率是多少?
．在半径为的圆上随机地取两点，连成一条线，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
【设计意图】实际应用部分有问题,有例题,也有学生的训练,
问题的设计是为了让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学;三道例题的设置让学生对几何概型的题目有了更深刻的理解,认识到几何概型主要是要把概率问题与几何问题完美的结合，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断,要学会用数形结合的思想解决概率问题．
(四)课堂反思
教师引导学生反思:本节课我们学了什么?学会了什么?还有哪些问题没有解决?
该环节让学生归纳讨论,教师将结果梳理写于黑板上．
．几何概型的特点：无限性、等可能性．
．几何概型的计算公式
．度： 线段的度是长度；
平面图形的度是面积；
立体图形的度是体积．
【设计意图】学生自己梳理本节所学知识，以便于对知识有一个系统的理解与认识;同时让学生学会反思,是一个非常良好的学习习惯的养成,也是学生将来处理工作生活问题的一个很好的习惯．
(五)作业布置
必做题:教科书组
选做题:教科书组
四. 教学小结与反思:
本节课的几个亮点:
．用实物演示,加深学生对学习内容的印象，让学生在做中学,增强了学生学习数学的兴趣．
．颇具特色的情景引入,让学生很自然地把实际问题演变成数学概念,体验到了探寻数学规律的乐趣,符合新课改精神．
．转盘游戏寓教于乐,活跃了课堂气氛,使学生能够轻松愉悦地接受新知识．
．两次的小组讨论学习,培养了学生的合作意识和团队精神,尝试到了合作的乐趣提高了学习的主动性．
．例题的设置从长度、面积、体积三种几何度量设置题目, 由浅入深,覆盖面广,符合学生的认知规律．
．例题的处理让学生来批改解答作业,学会发现错误,发现解题的不足之处,有利于学生自觉地养成良好的学习习惯．
．本节课充分使用了多媒体、实物演示、影片剪辑,声情并茂,活跃了课堂的气氛,让数学课堂如此的生动有趣．
.课后书面作业实施分层设置，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，使不同的人在数学上得到不同的发展,充分体现了课改精神．
．采用问题式教学, 发挥了学生的主观能动性．
本节课的特色:
．注重加强数学应用意识,本课时在情境选择、问题设置、作业布置等方面都注重与实际生活紧密联系，让学生体会到数学的应用价值,通过师生互动,实现了概念的意义建构．
．注重知识的探求与发现,本课时在形成概念、推导公式、实际应用等教学环节中，突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索以及发现问题、分析问题和解决问题的能力．
．注重数学思想方法的渗透,本课时的教学中，每一个细节都别具匠心，多次渗透了数形结合、随机模拟、从特殊到一般等数学思想方法．

二、建立模型
. 提出问题
首先引导学生分析几何图形和甲获胜是否有关系，若有关系，和几何体图形的什么表面特征有关系？学生凭直觉，可能会指出甲获胜的概率与扇形弧长或面积有关。即：字母所在扇形弧长（或面积）与整个圆弧长（或面积）的比。接着提出这样的问题：变换图中与的顺序，结果是否发生变化？（教师还可做出其他变换后的图形，以示决定几何概率的因素的确定性）。
题中甲获胜的概率只与图中几何因素有关，我们就说它是几何概型。
注意：（）这里“只”非常重要，如果没有“只”字，那么就意味着几何概型的概率可能还与其他因素有关，这是错误的。
（）正确理解“几何因素”，一般说来指区域长度（或面积或体积）。
. 引导学生讨论归纳几何概型定义，教师明晰———抽象概括
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
在几何概型中，事件的概率的计算公式如下：

. 再次提出问题，并组织学生讨论
（）情境中两种情况下甲获胜的概率分别是多少？
（）在的水中有一个草履虫，现从中随机取出水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。
（）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于的概率。
通过以上问题的研讨，进一步明确几何概型的意义及基本计算方法。
三、解释应用
［例　题］
. 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上：～：之间把报纸送到你家，而你父亲离开家去工作的时间在早上：～：之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件）的概率是多少。

分析：我们有两种方法计算事件的概率。
（）利用几何概型的公式。
（）利用随机模拟的方法。
解法：如图，方形区域内任何一点的横坐标表示送报人送到报纸的时间，纵坐标表示父亲离开家去工作的时间。假设随机试验落在方形内任一点是等可能的，所以符合几何概型的条件。根据题意，只要点落到阴影部分，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件发生，所以

解法：设，是～之间的均匀随机数。＋表示送报人送到报纸的时间，＋表示父亲离开家去工作的时间。如果＋＞＋，即＞－，那么父亲在离开家前能得到报纸。用计算机做多次试验，即可得到（）。
教师引导学生独立解答，充分调动学生自主设计随机模拟方法，并组织学生展示自己的解答过程，要求学生说明解答的依据。教师总结，并明晰用计算机（或计算器）产生随机数的模拟试验。强调：这里采用随机数模拟方法，是用频率去估计概率，因此，试验次数越多，频率越接近概率。
. 如图，在正方形中随机撒一大把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比，并以此估计圆周率的值。

解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即

假设正方形的边长为，则

由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以

这样就得到了π的近似值。
另外，我们也可以用计算器或计算机模拟，步骤如下：
（）产生两组～区间的均匀随机数，＝，＝；
（）经平移和伸缩变换，＝（－）*，＝（－）*；
（）数出落在圆内＋＜的豆子数，计算（代表落在正方形中的豆子数）。
可以发现，随着试验次数的增加，得到π的近似值的精度会越来越高。
本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟法可以近似计算不规则图形的面积。
［练　习］
. 如图，如果你向靶子上射镖，你期望多少镖落在黑色区域。
. 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（＝和＝围成的部分）的面积。

. 画一椭圆，让学生设计方案，求此椭圆的面积。
四、拓展延伸
. “概率为数‘’的事件是不可能事件，概率为的事件是必然事件”，这句话从几何概型的角度还能成立吗？
. 你能说一说古典概型和几何概型的区别与联系吗？
. 你能说说频率和概率的关系吗？
点　 评
这篇案例设计完整，整体上按知识难易逐渐深入，同时充分调动了学生的积极性，以学生之间互动为主，教师引导为辅。例题既有深化所学知识的，又有应用所学知识的。“拓展延伸”既培养了学生的思维能力，又有利于学生从总体上把握这节课所学的知识。