极坐标参数方程题型归纳--7种.doc

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳
一、 极坐标方程与直角坐标方程的互化
1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
[立意与点拨]　本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．

二、 参数方程与直角坐标方程的互化

【解析】椭圆方程为：，因为，令，则有
X+2y=+=,最大值，最小值

三、 根据条件求直线和圆的极坐标方程

四、 求曲线的交点及交点距离

4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．

【解析】　直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立
解得或 所以点A，B.
所以|AB|＝ ＝2.

5.在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长．

[解析]　解法1：将l的方程化为普通方程得l：x＋y＝3，
∴y＝－x＋3，代入抛物线方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9.
∴交点A(1,2)，B(9，－6)，故|AB|＝＝8.
解法2：将l的参数方程代入y2＝4x中得，(2＋t)2＝4(1－t)，
解之得t1＝0，t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝8.
6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

[立意与点拨]　考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．

[解析](1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2) 设P(3＋t，t)，又C(0，)，则|PC|＝＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．

五、 利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )

[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)

8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
联立解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C1代表的是一条过原点的直线)
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.

9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsin＝，曲线C的参数方程为：
(1)写出直线l的直角坐标方程； (2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．

[解析]　(1)∵ρsin＝，∴ρ＝，∴y－x＝，即l：x－y＋1＝0.
(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，
所以，曲线C上的点到直线l的距离
d＝＝≤. 所以最大距离为.
解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为，所以，最大距离为＋2＝.
10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

[解析](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.
(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

六、 直线参数方程中的参数的几何意义

方法一：

方法二：根据直线参数方程中t的几何意义，可知，弦长=|t1-t2|.

得：，方程化简，然后用韦达定理求
弦长=|t1-t2|==.....
13.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(，)作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M、N.
(1)写出直线l的参数方程；(2)求＋的取值范围．
(根据直线参数方程中t的几何意义,用参数t表示所求量＋，然后用t的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)
[解析]　(1)(t为参数)．
(2)将(t为参数)代入x2＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(cosα＋3sinα)t＋2＝0，
由Δ＝(cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋)－8>0⇒sin(α＋)>，
＋＝＋＝－＝＝sin(α＋)∈(，]．

七、求动点坐标、求变量的值
14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

[立意与点拨]　考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t的函数，转化为函数最值求解．

[解析]　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P(3＋t，t)，又C(0，)，则|PC|＝＝，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．
(此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值)

15.(2016全国卷I)在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求．
【解析】：⑴ （均为参数）,∴ ①
∴为以为圆心，为半径的圆．方程为
∵,∴ 即为的极坐标方程

⑵ ,两边同乘得
,即 ②,：化为普通方程为
由题意：和的公共方程所在直线即为,①—②得：，即为
∴,∴
（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）
16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．
(1)求a； (2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．
[解析]　(1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；
l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.
由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)
(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，
则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos，
当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.
(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)