广东省珠海二中2016-2017学年高一(上)期中数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年广东省珠海二中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．给出下列关系：，0∉N，2∈{1，2}，∅={0}；其中结论正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】利用集合与元素的关系判断．准确判断特殊数集．
【解答】解：：∵，∴不正确；
∵0∉N，∴不正确
∵2∈{1，2}，∴正确
∵∅={0}，∴不正确；
∴结论正确的个数是1．
故选：B

2．在下列图象中，函数y=f（x）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数的概念，作直线x=a从左向右在定义域内移动，看直线x=a与曲线图象的交点个数即可．
【解答】解：由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值，
∴可作直线x=a从左向右在定义域内移动，看直线x=a与曲线图象的交点个数是否唯一，
显然，A，B，C均不满足，而D满足，
故选D．

3．下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y=1，y=x0 B．y=x，y= C．y=x，y=lnex D．y=|x|，y=（）2
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】判断题目给出的四个选项中的两个函数是否表示同一函数，从定义域和对应关系两个方面入手，对四个选项逐一判断即可得到答案．
【解答】解：选项A，y=1的定义域为R，y=x0的定义域为{x|x≠0}，两函数定义域不同，故不是同一函数；
选项B，y=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，两函数定义域不同，故不是同一函数；
选项C，两函数的定义域都为R，且y=lnex=x，两函数对应关系也相同，故两函数是同一函数；
选项D，y=|x|的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，两函数定义域不同，故不是同一函数．
故选C．

4．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（　　）
A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数
【考点】对数函数、指数函数与幂函数的增长差异．
【分析】由题意可知，利润y与时间x的关系是个增函数，而且增长速度越来越慢，符合对数函数的特征．
【解答】解：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型，
故选 D．

5．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={x|y=}，则（CRM）∩N=（　　）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|0≤x＜1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】先化简集合M、N，再根据补集、交集的定义进行计算即可．
【解答】解：集合M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，
N={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x≥﹣1}，
∴CRM={x|x＜1}，
∴（CRM）∩N={x|﹣1≤x＜1}．
故选：C．

6．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（　　）
A．f（x）=x B．f（x）=x3 C．f（x）=（）x D．f（x）=3x
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案．
【解答】解：A．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故A错；
B．f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；
C．f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．
D．f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；
故选D．

7．若a=log0.31.2，b=（0.3）1.2，c=1.20.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=log0.31.2＜0，b=（0.3）1.2∈（0，1），c=1.20.3＞1．
∴a＜b＜c．
故选：A．

8．已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）
A．f（x）=﹣x（x+2） B．f（x）=x（x﹣2） C．f（x）=﹣x（x﹣2） D．f（x）=x（x+2）
【考点】奇函数．
【分析】利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式要先取x＜0则﹣x＞0，代入当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，求出f（﹣x），再根据奇函数的性质得出f（﹣x）=﹣f（x）两者代换即可得到x＜0时，f（x）的解析式
【解答】解：任取x＜0则﹣x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x2﹣2x，
∴f（﹣x）=x2+2x，①
又函数y=f（x）在R上为奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）②
由①②得x＜0时，f（x）=﹣x（x+2）
故选A

9．设f（x）=，则f（5）的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】欲求f（5）的值，根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值即可求出其值．
【解答】解析：∵f（x）=，
∴f（5）=f[f（11）]
=f（9）=f[f（15）]
=f（13）=11．
故选B．

10．下面说法正确的是（　　）
A．若函数y=f（x）为奇函数，则f（0）=0
B．函数f（x）=（x﹣1）﹣1在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上单调减函数
C．要得到y=f（2x﹣2）的图象，只需要将y=f（2x）的图象向右平移1个单位
D．若函数y=f（2x+1）的定义域为[2，3]，则函数y=f（x）的定义域为[0.5，3]
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由奇函数的性质，可判断A错；运用反比例函数的单调性，可判断B；运用图象平移，即可判断C正确；
运用函数的定义域的含义，可得判断D错．
【解答】解：A，若函数y=f（x）为奇函数，若定义域为R，则f（0）=0，故A错；
B，函数f（x）=（x﹣1）﹣1在（﹣∞，1）和（1，+∞）上单调减函数，故B错；
C，要得到y=f（2x﹣2）=f（2（x﹣1））的图象，只需要将y=f（2x）的图象向右平移1个单位，正确；
D，若函数y=f（2x+1）的定义域为[2，3]，由2≤2x+1≤3，解得≤x≤1，
则函数y=f（x）的定义域为[0.5，1]，故D错．
故选：C．

11．已知函数，若f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（2，3] D．（2，+∞）
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间．
【分析】函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，a＞1，并且f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，
可得a的范围，而且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，求得结果．
【解答】解：对数函数在x＞1时是增函数，所以a＞1，又f（x）=（a﹣2）x﹣1，x≤1是增函数，
∴a＞2，并且x=1时（a﹣2）x﹣1≤0，即a﹣3≤0，所以2＜a≤3
故选C

12．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则的解集为（　　）
A．（﹣3，3） B．（﹣3，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） D．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．
【解答】解：因为y=f（x）为偶函数，所以，
所以不等式等价为．
因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，
所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，
即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．
故选：B．

二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．
13．函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点　（1，2）　．
【考点】指数函数的图象变换．
【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x﹣1=0，解得x=1，y=2，故得定点（1，2）．
【解答】解：令x﹣1=0，解得x=1，
此时y=a0+1=2，故得（1，2）
此点与底数a的取值无关，
故函数y=ax﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象必经过定点（1，2）
故答案为 （1，2）

14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有　20　人．
【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．
【分析】利用元素之间的关系，利用Venn图即可得到结论．
【解答】解：设既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有x人，
则只参加数学的有32﹣x，只参加物理的有28﹣x，
则5+32﹣x+28﹣x+x=45，
即x=20，
故答案为：20

15．若幂函数y=（k﹣2）xm﹣2015（k，m∈R）的图象过点，则k+m=　2016　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数的定义求出k的值，代入点的坐标求出m的值，从而求出k+m的值．
【解答】解：∵幂函数y=（k﹣2）xm﹣2015（k，m∈R）的图象过点，
∴k﹣2=1，k=3，4=，解得：m=2013，
则k+m=2016，
故答案为：2016．

16．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函数f（x）的值域为[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“若k∈Z，若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”
其中所有正确结论的序号是　①②④　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】依据题中条件注意研究每个选项的正确性，连续利用题中第（1）个条件得到①正确；利用反证法及2x变化如下：2，4，8，16，32，判断②命题错误；连续利用题中第③个条件得到③正确；据①③的正确性可得④是正确的．
【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（4x）=f（2×2x）=2f（2x）=2×2f（x）=4f（x），
f（8x）=f（2×4x）=2f（4x）=2×4f（x）=8f（x），
…
∴f（2kx）=2kf（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，∴①正确．
②设x∈（2，4]时，则，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），∴②正确
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，∴2n=10不成立，∴③错误；
④由②知当x⊆（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”．
∴④正确．
故答案为：①②④．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（Ⅰ） 已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log1615；
（Ⅱ）若a＞0，b＞0，化简．
【考点】对数的运算性质．
【分析】（I）利用对数的换底公式即可得出．
（II）利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）原式=．

18．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a人．
（1）若a=9，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
【考点】其他不等式的解法；函数单调性的判断与证明；根据实际问题选择函数类型．
【分析】（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．在计划时间内，列出该企业的人均年终奖，令其大于或等于3万元，求出最低年限，判断a=9是否满足题意．
（2）设1≤x1＜x2≤10，利用函数的单调性定义，人均年终奖年年有增长，确定a的范围，然后确定该企业每年员工的净增量不能超过的人数．
【解答】解：（1）设从今年起的第x年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y万元．
则；
由题意，有，
解得，．
所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．
（2）设1≤x1＜x2≤10，则f（x2）﹣f（x1）==，
所以，60×800﹣2000a＞0，得a＜24．
所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人．

19．已知函数f（x）=|x+|+|x﹣|．
（Ⅰ）判断该函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数形式（不需过程），然后在给定的坐标系中画出函数图象（不需列表）；
（Ⅲ）若函数f（x）在区间[a﹣1，2]上单调递增，试确定a的取值范围．
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）分母不为0求出它的定义域，根据奇偶性的定义判断f（x）是定义域上的偶函数；
（Ⅱ）根据绝对值的定义用分段函数写出f（x）的解析式并画出图象；
（Ⅲ） 由图象结合函数的单调性，即可求出满足条件的a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 由函数f（x）=|x+|+|x﹣|，得x≠0，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
且f（﹣x）=|（﹣x）+|+|（﹣x）﹣|=|x+|+|x﹣|=f（x）；
∴函数f（x）是定义域上的偶函数； …
（Ⅱ）令x﹣=0，解得x=±1，
∴当x≥1时，f（x）=（x+）+（x﹣）=2x，
0＜x＜1时，f（x）=（x+）﹣（x﹣）=，
﹣1＜x＜0时，f（x）=﹣（x+）+（x﹣）=﹣，
x≤﹣1时，f（x）=﹣（x+）﹣（x﹣）=﹣2x；
综上，；…

画出函数f（x）的图象，如图所示；…
（Ⅲ） 由图象可知：f（x）在[1，+∞）上单调递增，…
要使f（x）在[a﹣1，2]上单调递增，只需1≤a﹣1＜2，…
解得2≤a＜3．…

20．已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（Ⅰ）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在区间[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在区间（1，3）上有零点，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．
【分析】（Ⅰ）由题设知：f（x）在[1，a]上单调递减，则有，解得实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，则a≥2，结合函数的单调性，可得f（x）在区间[1，a+1]上的最小值和最大值；
（Ⅲ） 若f（x）在区间（1，3）上有零点，则1＜a＜3，且函数的最小值不大于0，进而得到答案．
【解答】解：由题设知：函数化为f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2，其对称轴为x=a（a＞1）．…
（Ⅰ）由题设知：f（x）在[1，a]上单调递减，
则有，
即…
∴a=2…
（Ⅱ） 由题设知：a≥2，则有a﹣1≥1=（a+1）﹣a；…
又f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，a+1]上单调递增； …
∴，f（x）max=f（1）=6﹣2a…
（Ⅲ）由题设知：当a≥3时，f（x）＜f（1）≤0，则f（x）在区间（1，3）上无零点； …
当1＜a＜3时，f（1）＞0且f（x）在（1，a]上单调递减，在[a，3）上单调递增；…
∴，即…
由上述知：…

21．已知函数f（x）=log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度=b﹣a）．
【考点】对数函数的定义域；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（1）根据对数的定义可知负数和0没有对数，列出关于x的不等式组，求出解集即可；
（2）要判断函数的奇偶性即求出f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系可得；
（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到g（x）=0，然后在（﹣1，1）上取几个特殊值﹣，0，﹣，代入g（x）求出值判断任意两个乘积的正负即可知道之间是否有根．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，
∴﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）
（2）∵f（﹣x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）由题意知方程f（x）=x+1⇔log2（1﹣x）﹣log2（1+x）=x+1，可化为（x+1）2x+1+x﹣1=0
设g（x）=（x+1）2x+1+x﹣1，x∈（﹣1，1）
则，g（0）=2﹣1=1＞0，
所以，故方程在上必有根；
又因为，
所以，故方程在上必有一根．
所以满足题意的一个区间为．

22．已知函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数，f（1）=．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，+∞）上的值域；
（Ⅱ）若函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．
【分析】（Ⅰ）先求出参数k、a，再根据y=2x是增函数，y=2﹣x是减函数，则f（x）=2x﹣2﹣x在[1，+∞）上单调递求解．
（Ⅱ）设t=f（x），由（Ⅰ）及题设知：y=g（x）=f2（x）﹣2mf（x）+2=t2﹣2mt+2，再根据含参数二次函数性质求解．
【解答】解：（Ⅰ） 由题设知：得…
∴f（x）=2x﹣2﹣x…
∵y=2x是增函数，y=2﹣x是减函数
∴f（x）=2x﹣2﹣x在[1，+∞）上单调递增 …
∴所求值域为[f（1），+∞），即…
（Ⅱ） 设t=f（x），由（Ⅰ）及题设知：y=g（x）=f2（x）﹣2mf（x）+2=t2﹣2mt+2
即y=（t﹣m）2+2﹣m2在上的最小值为﹣2，…
∴当时，t=m，，得m=2；…
当时，，，得；…
∴m=2…

2016年12月14日

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