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高等数学A2练习与作业答案 第八章 空间解析几何与向量代数

作业题答案
1. 已知，证明：平行.
证： 平行
证毕.
2 .已知单位向量与三坐标轴正方向夹角呈相等的钝角，是关于 的对称点，求.
解：， 由 及
得 ，
又 为钝角，所以取负值， 故
设 ，由已知为线段的中点，
于是有 ，
解之得 ，
故得

3．利用向量的运算证明：
(1) 平行四边形的对角线平方和等于其各边的平方和;
(2) 设，证明：共面.

证：(1) +=2（+）
(2) 两边点乘，
所以 ,从而共面

4．求与已知平面 平行，且与三坐标面构成的四面体的体积为1的平面方程.

解：设平面方程为 , 这里待定
即平面方程
由已知， ， 所以
平面方程为

5.（1）确定使直线 垂直于平；
（2）求该直线在平面 上的投影直线的方程.

解：（1）设, 由直线L与垂直可得：，
故 ， 直线L方程为
（2）先求L关于的投影平面的方程，因为投影平面过L,故用平面束方程，
先将L化为一般式
设过L的平面方程为
即 ， 由于投影平面与已知平面垂直
故 ，
所求的投影平面的方程为
故所求的投影直线方程为

6.（1）求直线 和平面间的夹角；
(2)求点M(1, 2, -1) 到上述直线的距离.

解：（1）， ，
（2）取，则，

7.化曲线的一般方程为参数方程.

解：将 代入得：，令
代入得曲线的参数方程： ，，

8.求曲面所围立体在三坐标面上的投影.

解：交线为，从中消去，
从而交线在面的投影为
立体在面的投影为
交线在面的投影为
立体在面的投影为
交线在面的投影为
立体在面的投影区域为曲线 及
所围：
注意：投影区域不一定是交线投影所围的区域。

9．画出下列曲面所围立体的图形.
（1）；
（2）围.
解：如图所示，
（2）
（1）
O
O
z
x
y
z
y
x

练习题答案
1.求与向量共线，且满足的向量.

解：由与共线， 故
又 ，故, 所以

2.设，求:
(1)，;
(2)以为边的三角形的面积;
(3)若向量满足，且求.
解：(1) ,

(2)
(3) 依题可设 ，由
得
所以
3．向量与y轴成角，与轴成角， 且点的横坐标为负值，求点.
解：依题可设
又 ， 所以 （正值舍去）
从而得点

4.设，，求.

解：由题知： 即
解得 ， 且
即 ， 所以

5.求通过点A(1, 1, 1) 和 B(2, 2, 2) 且与平面 垂直的平面方程.

解：，
取
所以平面方程为： 即 .
法二：设为平面上任一点，，,，则 共面
故 , 整理即得.

6.一平面通过两平面 , 的交线，且过点A(1, 0, 1),
求此平面方程.

解：用平面束方程
设过交线的平面方程为：
即
又平面过, 代入方程得 ，
所以所求的平面方程为：

7.求通过点A(1, 0,-2)且与平面 平行, 又与直线 垂直的直线方程.

解：，
则所求的直线的方向向量为
故所求的直线方程为 .

8.求过点且平行于平面 又与直线 相交的直线方程.

解：法一：设二直线交点
由在已知直线上，有
， 向量与平行
，
交点，所求直线的方向向量
故所求的直线方程为
法二：过且平行已知平面的平面为：
即
再求此平面与的交点，
联立 解得， 故
所求的直线方程为

9.将面上双曲线：分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.

解：分别为, 双叶双曲面、单叶双曲面，

10.指出下列方程表示的图形：
（1） （2） （3）
（4） （5）
解：（1）圆柱面母线//轴，准线： ；
（2）抛物柱面，母线//轴，准线： ；
（3）球心在原点的椭球面；
（4）单叶双曲面 ；
（5）旋转抛物面与平面的交线为面上的抛物线

11.求母线平行于轴，且通过曲线 的柱面方程.
解：消去得椭圆柱面 ， 恰为曲线关于面的投影柱面

12.求曲线关于的投影柱面方程及此曲线在面的投影曲线方程.

解：消去得关于面的投影柱面：，为抛物柱面；
曲线在面的投影曲线为：
注意：消去得曲线在面的投影曲线：
消去得曲线在面的投影曲线：
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