毕业设计基于根轨迹法的典型系统校正设计仿真研究.doc

安阳师范学院本科学生毕业设计报告

基于根轨迹法的典型系统校正设计及仿真研究

作　　者 闫 凤 金
系（院） 物理与电气工程学院
专　　业 电气工程及其自动化

日　　期 2015.6.2

学生诚信承诺书

本人郑重承诺：所呈交的设计报告是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，报告中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在报告中作了明确的说明并表示了谢意。
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基于根轨迹法的典型系统较正设计及仿真研究

（安阳师范学院 物理与电气工程学院，河南 安阳 455000）

摘 要：本文主要研究利用图解法之一的根轨迹法设计校正典型系统，重点从根轨迹法则出发，采用超前-滞后校正方法，结合系统预先给定的指标要求，去设计一个能满足性能指标要求的控制系统。以实例入手，设计出一个合理方案并进行了仿真分析。
关键词：根轨迹法; 系统校正; 仿真;

1 绪论
1.1 根轨迹法
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）根据反馈控制系统的开环传递函数与其闭环特征方程式间的内在联系,提出了一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法——根轨迹法。由于这种方法简单，实用，既实用于线性定常连续系统，也适用于线性定常离散系统，因而它在控制工程中得到了广泛的应用，并成为经典控制理论的基本分析方法之一。
根轨迹图不仅使我们直观地看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可用它求出指定参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。
1.2 常见校正方法
如果校正装置Gc(s)与系统的不可变部G0(s)分串联连接，则称这种校正为串联校正，如图1中a所示。如果校正装置Gc(s)是接在系统的局部反馈通道中，则称这种校正为反馈校正，如图1中b所示。为了实现较高的校正要求，有时在系统中既设置串联校正，又设置反馈校正，如图1中c所示。也有如图1中d所示的状态反馈校正等等。

图1 常见校正方法
2 典型系统校正
2.1 基于根轨迹法的超前校正
2.1.1超前校正装置
一般而言，当控制系统的开环增益增大到满足其稳定性能所要求的数值时，系统有可能为不稳定，或者即使稳定，其动态性能一般也不会满足设计要求。为此，需要在系统的前向通道中加一个超前校正装置，以实现在开环增益不变的前提下，使系统的动态性能亦能满足设计的要求。

图2超前校正装置校正电路
图2为 运算放大器组成的校正电路，它的传递函数为：
（1）
其式中：
由图2可知，该电路的直流增益为，
当,即时，它为一个超前校正装置。
,即时，它为一个滞后校正装置。
其零，极点分布图如下：

图3a)超前校正装置 图3b）滞后校正装置
2.1.2根轨迹法的超前校正
用根轨迹法对系统进行校正的基本思路是：假设系统有一对闭环主导极点，这样该系统的动态性能就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。在设计校正装置之前，先把要对系统时域性能的要求转化为一对希望的闭环主导极点。如果点位于未校正系统根轨迹的左方，一般易用超前校正。即利用超前校正装置产生的相位超前角，使校正后系统的根轨迹通过这对希望的闭环主导极点，并使闭环的其他极点或远离平面的虚轴，或使之靠近某一闭环零点。
图4加了校正装置的框图
其中为所加的校正装置，它的参数和是由根轨迹的相角条件确定的，是由对系统静态误差系数的要求确定的。为系统的不可变部分。

图5超前校正装置零-极点的确定
假设图5上的点为希望的闭环极点，显然，欲成为校正后系统根轨迹上的一点，必须满足相角条件，即
（2）
据此可求得
（3）
基于,能给出定值角的，它的零，极点的组合显然不是唯一的。下面介绍一种能使超前校正装置零点与极点的比值为最大的设计方法。按照该法去设计的零点和极点，能使系统的静态误差系数较大，这是我们所希望的。
在图5上，用直线连接点和0，且以为顶点，线段0为边向左坐角，角的另一边与负实轴的交点a，就是所求的一个零点。再以线段a为边，向左作角，该角的另一边与负实轴的交点b，即为所求的极点。根据正弦定理，由图5求得
（4）
（5）
则有
（6）
令
（7）
解得
（8）
当希望的闭环极点被确定后，式（8）中的和均已知，因而可由上式求的角。
2.1.3用根轨迹法进行超前校正设计的一般步骤
一般步骤为：
1） 根据对系统动态性能指标的要求，确定希望的闭环主导极点。
2） 绘制未校正系统的根轨迹。
3） 根据式（3），算出超前校正装置在点处应提供的相位超前角。
4） 先按式（8）求出角，尔后用图解法求得的零，极点。
5） 绘制校正后系统的根轨迹。
6） 根据根轨迹的幅值条件，确定系统工作在处得增益和静态误差系数。如果所求
的静态误差系数与要求的值相差不大，则可以通过调整零，极点的位置来解决；如果所求的静态误差系数比要求的值小得多，则应考虑用别的校正方法，如滞后-超前校正。
必须指出，上述基于值的设计方法仅是确定零，极点的措施之一。这种方法虽然能使系统的静态误差系数较大，但它不能保证校正后希望闭环极点的主导作用。因此，在初步设计完成后，必须对系统的动态和稳态性能进行检验。如果不满足，则需要通过调整的零，极点，并重复上述的设计过程，直到所有的性能指标均满足为止。为了增大校正后希望闭环极点成为主导极点的可能性，在控制工程中，一般把的零点设置在针对点下方的负实轴上，或位于紧靠坐标原点的两个实极点的左侧。
2.2 基于根轨迹法的滞后校正
2.2.1滞后校正装置
当控制系统的动态性能已满足要求，而其稳定性能不能令人满意时，这就要求所加的校正装置既要使系统的开环增益有较大的增大，以满足稳态性能的要求；又要使系统的动态性能不发生明显的变化。采用滞后校正就能达到上述目的。
滞后校正装置也可采用图1所示的电路图，只要满足。参照该图，求得该电路的传递函数为
（9）
其中， ,,,

把式（9）与式（1）相比较，可知式（9）中用代替式（1）中的，这是考虑到当该电路作超前校正装置时，系数的值是小于1；而它作为滞后校正装置时，这个系数变为大于1，故用表示，以示区别。显然值就是的零点与极点的比值。
令则式（9）改写为

式（9）所示滞后校正装置的零，极点分布如图3b所示。

图6 滞后校正装置的博德图
图6为=1时的博德图。由图6中的相频特性曲线可见，该电路输出信号的相位总滞后于它的输出线号，故称这种电路为滞后校正电路。它的对数幅频渐近线表示了滞后校正装置具有低通滤波器的特性，在高频时幅值的衰减量为。滞后校正装置正是
利用这一特性对系统进行校正。
2.2.2 根轨迹法的滞后校正

图7 校正前系统的根轨迹
设一单位反馈控制系统的开环传递函数为
校正前系统的根轨迹如上图7所示。假设在点系统虽具有满意的动态性能，但其开环增益较小，不能满足系统对稳态性能的要求。为此需要因如滞后校正装置，以使校正后系统的闭环主导极点紧靠于处，且使系统的开环增益有较大幅度的增大。引入式（9式）所示的滞后校正装置后，系统的开环传递函数为

式中。为了使校正后的系统仍具有满意的动态性能，要求滞后校正装置所产生的滞后角必须尽可能地小，一般控制在小于（使校正后系统的闭环主导极点紧靠点）。为此，在设计时，应把的零点和极点紧靠在一起，使矢量和的幅值几乎相等。于是在处，的模可以近似地表示为

上式表明，如果为1，则校正后系统的动态性能不会发生明显的变化，而系统的开环增益将会增大倍。对此说明如下：
校正前系统的静态速度误差系数为
校正后系统的静态速度误差系数为
为了既要满足在处产生的滞后角小于的要求，又要使值能满足稳态性能的要求，的零，极点只能配置于紧靠坐标原点的实轴上。如=-0.1，=-0.01，则=10。这对紧靠坐标原点的零，极点，又称为偶极子。考虑到的滞后角对根轨迹产生的微小影响，所选取的值应稍大于的比值。
2.2.3用根轨迹法进行滞后校正设计的一般步骤
1）画出未校正系统的根轨迹图，并根据系统的动态性能指标，确定闭环主导极点在根轨迹上的位置。
2）计算未校正系统在点的开环增益和静态误差系数。
3）根据对系统要求的静态误差系数与未校正系统的静态误差系数之比值，确定滞后校正装置的值。考虑到的滞后角对根轨迹产生的微弱影响，所选取的值应略大于上述所求的比值。
4）确定滞后校正装置的零，极点。具体的做法是：在s平面上，作线段0，以为顶点，线段0为边，向左作，如下图所示。该角的另一边与负实轴的交点a就是所求的零点（），它的极点则为。

图8滞后校正装置零，极点确定

5）根据根轨迹的幅值条件，调整校正装置的增益，使系统工作在希望的闭环主导极点处。
6）验算校正后系统的动，静态的性能指标，如稍有差异，可通过适当调整主导极点或零，极点的位置来解决。
2.3 基于根轨迹法的滞后-超前校正
2.3.1滞后-超前校正装置
由以上可知，超前校正是用于提高系统的稳定裕量，加快系统的瞬态响应；滞后校正则用于提高系统的开环增益，改善系统的稳态性能。由此设想，若把两种校正结合起来应用，必然会同时改善系统的动态和稳态性能，这就是滞后-超前校正的基本思路。

图9滞后-超前校正装置
图9运算放大器构成的滞后-超前校正装置的传递函数为：

若令

则上式改写为
（10）
式中

在设计滞后-超前校正装置时，有和两种方法。前者是把的超前和滞后部分分开进行设计；后者是把滞后-超前校正装置当作一个整体考虑。基于在控制工程中一般均采用的方法，故这里只讨论后者。
在时，式（10）改写为
(11)
图10为的零，极点分布图。为了改善系统的稳态性能和产生很小的滞后角，滞后部分的零，极点必须靠近于s平面的坐标原点。

图10 零，极点分布图

图11滞后-超前校正装置的博德图
图11为滞后-超前校正装置的博德图，由图可见，在的频段，校正装置具有相位滞后特性；而在的频段，变为具有相位超前的特性。
2.3.2用根轨迹法的滞后-超前校正装置的步骤
设控制系统的框图如下图12所示。

图12控制系统
采用式（11）所示的，即
并假设属于的超前部分。
用根轨迹法进行滞后-超前校正设计的一般步骤为：
1） 根据给定的性能指标，确定希望闭环极点的位置。
2） 根据对静态误差系数的要求，确定。
3） 计算未校正系统在点处相角的缺额，此缺额是由的超前部分产生。
4） 选择足够大的,使

按照下列根轨迹的相角和幅值条件去确定和值，即
，
5） 由已确定的的值选择时间常数，以使
， -<<
考虑到之后-超前校正装置物理实现的的可能性，它的最大时间常数不易取得太大。
3各校正装置的特点
1.串联校正的主要特点
1）利用超前校正装置的相位超前特性对系统进行动态校正
2）超前校正会使系统瞬态响应的速度变快
3）超前校正一般适用于系统的稳态精度能满足要求而其动态性能需要校正的场合
2.滞后校正的主要特点
1）利用滞后校正装置的高频值衰减特性
2）校正后系统的瞬态响应变快
3）滞后校正实用系统的动态性能好，而静态精度低的场合

4应用实例
4.1 MATLAB软件介绍
MATLAB用C语言编写的，用更直观的、符合人们思维习惯的代码，代替了C和FORTRAN语言的冗长代码。，又有面向对象编程的特性。MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数理统计、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。本课题的设计充分发挥了它的这些功能。
4.2 利用根轨迹法的超前校正
4.2.1 问题描述
已知一单位反馈控制系统的开环传递函数为

试设计一超前校正装置，使校正后的阻尼比=0.5，无阻尼自然频率=4。
4.2.2 思路步骤
根据2.1.3的思路步骤，分析如下：
1） 对原系统进行分析，
未校正系统的闭环传递函数为

由上式可知，系统的无阻尼自然频率=2，阻尼比=0.5，闭环极点为
静态速度误差系数 。未校正的根轨迹如图13所示

图13a)未校正系统的根轨迹 图13b）校正后系统的根轨迹
2）确定希望的闭环极点。
根据对=0.5和=4的要求，求得希望的闭环极点为 。
3）计算超前校正装置在处产生的超前角。
未校正系统的在处的相角为

为了使校正后系统的根轨迹能通过希望的闭环极点，超前校正装置必须在该点处产生的超前角。
4）确定超前装置的零，极点。
根据，，求得。按照最大值的设计方法，由图解法求的=-2.9，=-5.4。即T==0.345，==0.185，=0.537。于是所求超前校正装置的传递函数为 校正后系统的开环传递函数为

式中，。由上式作出校正后系统的根轨迹如图13b所示。
5）确定系统工作在希望的闭环极点处的增益和静态速度误差系数。
由根轨迹的幅值条件

求的K=18.7.由于，因而，。于是超前校正装置的传递函数为

根据图2给出的电路，其参数按下式确定：

据此，确定电路中相关R,C元件的值，校正后系统的静态速度误差系数为

6）检验希望闭环极点是否对系统的动态起主导租用。
图14为校正后系统的框图，它的闭环传递函数为

（12）

由（12）可知，校正后的系统虽上升为三阶系统，但由于所增加的一个闭环极点s=-3.4与其零点s=-2.9靠得很近，因而这个极点对系统瞬态响应的影响就很小，从而说明了确为该系统的希望主导极点。
鉴于本例对系统的静态速度误差系数没有提出具体的要求，故认为上述对校正装置的设计是成功的。

校正后系统的框图
图14 校正后系统框图

5仿真图
5.1 系统校正
1）应用Simulink构建校正前系统的动态框图

图15校正前的系统框图

该系统的单位阶跃响应曲线

图16校正前的响应曲线图
2）应用Simulink构建校正后系统的动态框图

图17校正后的系统框图

该系统的单位阶跃响应曲线

图18校正后的响应曲线图

5.2仿真分析
由校正前与校正后的响应曲线图可得，校正后的系统上升时间；峰值时间；调整时间减少，系统的瞬态响应变快，超调量虽无明显变化，但在本例要求校正后的阻尼比=0.5，无阻尼自然频率=4的情况下。能够满足系统所要求的性能指标。
6 结束语
本文主要通过利用根轨迹法对典型的系统进行校正设计和仿真 ，在给定系统的性能指标去设计一个能满足满足性能要求的控制系统。根据给定的系统性能要求不同，本文介绍了三种方法利用根轨迹法对典型的系统进行校正设计和仿真，并且这三种方法均能够取得良好的校正效果。

致 谢

本论文是在郭季老师的悉心指导下完成的。郭老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。
在整个毕业论文的写作当中，初稿是很重要的部分，而我创作初稿的时候有很多疑惑。正是因为郭老师的指导，审稿，校正，我才能够在短时间内顺利的完成初稿部分。
从开始写作至本论文最终定稿，花费了我一个月以来所有的业余时间。虽说在繁忙的工作之余要完成这样一篇论文的确不是一件很轻松的事情，但我内心深处却满含深深的感激之情。在写作过程中，郭季老师给予了大力的帮助和指导，在此深表感谢！同时也感谢其他帮助和指导过我的老师和同学！同时，通过论文的撰写，使我能够更系统、全面地学习有关自动控制原理的新型的、先进的前沿理论知识，并得以借鉴众多专家学者的宝贵经验，这对于我今后的工作，无疑是不可多得的宝贵财富。
虽然这次毕业论文（设计）已经结束了，可这次的经历却是我永生难忘的。因为它不仅为我的大学生活划了一个完美的句号，而且给了我极大的自信，使我在以后的生活中能够不气不馁，勇于承担责任。
由于本人理论水平比较有限，论文中的有些观点以及对相关理论的归纳和阐述难免有疏漏和不足的地方，欢迎老师们指正！

参考文献
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[5] 刘保柱.MATLAB7.0.人民邮电出版社,第二版2010-5
[6] 陈杰. MATLAB宝典.电子工业出版社,第三版2011-1-1

Root Locus Method Based on a Typical System Design and Simulation of Correction
Yan Fengjin
(School of Physics and Electrical Engineering, Anyang Normal University, Anyang, Henan
455000)

Abstract：
This paper studies one of the graphical method using the root locus method correction typical system, focusing on starting from the root locus method, the use of lead - lag correction method, combined with the system pre-specified target, to design a performance index can meet the requirements of control System. Examples start with a reasonable solution to design and conduct the simulation analysis.

Key words: Root locus method； System calibration； Simulation；

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