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数列知识点及常用结论
一、等差数列
（1）等差数列的基本公式
①通项公式： （从第1项开始为等差）
（从第m项开始为等差）

②前项和公式：
（2）证明等差数列的法方
①定义法：对任意的n，都有（d为常数）为等差数列
②等差中项法：（n）为等差数列
③通项公式法： (p，q为常数且p≠0) 为等差数列
即：通项公式位n的一次函数，公差，首项
④前项和公式法： (p， q为常数) 为等差数列
即：关于n的不含常数项的二次函数
（3）常用结论
①若数列，为等差数列，则数列，，，
(k， b为非零常数)均为等差数列.
②若 (m，n，p，q)，则=.
特别的，当2k时，得=
③在等差数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(1)d(例如：，，，仍为公差为3d的等差数列)
④若数列为等差数列，则记，，，则，，仍成等差数列，且公差为d
⑤若为等差数列的前n项和，则数列也为等差数列.
⑥ 此性质对任何一种数列都适用
⑦求最值的方法：
I: 若>0，公差d<0，则当时，则有最大值,且最大；
若<0，公差d>0，则当时，则有最小值，且最小；
：求前项和的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数，
当 时，为最值，是最大或最小，通过的开口来判断。

二、等比数列
（1）等比数列的基本公式
①通项公式： （从第1项开始为等比）

（从第m项开始为等差）

②前项和公式：，
（2）证明等比数列的法方
①定义法：对任意的n，都有(q0) 为等比数列
②等比中项法：（0）为等比数列
③通项公式法：为等比数列
（3）常用结论
①若数列，为等比数列，则数列，，，，
(k为非零常数) 均为等比数列.

②若 (m， n， p， q)，则=.
特别的，当2k时，得=
③在等比数列中，每隔k(k)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为 (例如：，，，仍为公比的等比数列)
④若数列为等差数列，则记
，，，
则，，仍成等比数列，且公差为

三、求任意数列通项公式的方法
（1）累加法：若满足1(n)利用累加法求：

例题：若，且，求：

练习题：若数列满足，且

（2）累乘法：若满足利用累乘法求：

例题：在数列{}中，，求：.

练习题：在数列{}中，且，求： （提示：）

（3）递推公式中既有，又有，用逐差法
特别注意：该公式对一切数列都成立。

（4）若满足，则两边加：，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：
例题：已知数列，满足：，且，求：

习题1：已知数列满足：且，求：

习题2：已知数列满足：，且，求：

（5）若满足，则两边同时除以：，构造出一个等差数列，
再求出：
例题：已知满足：，求：
解：，既有：
所以：是首项为：，公差的等差数列
所以：

习题1：已知且，求：

习题2：已知且，求：

（六）待定系数法：若满足以下关系：
都可用待定系数法转变成一个等比数列来：
温馨提示：提，对待定系数
例题1：已知数列满足，求数列的通项公式.
解：，与原式对应得，

所以：是首项，公比的等比数列
既有：
例题2：已知数列满足，求数列的通项公式.
解：，
与原式对应得：

所以：是首项为：，公比的等比数列
既有：

（七）颠倒法：若满足：，用颠倒法；

所以：，所以：是以首项为：，公差的等差数列

例题1：已知，且，求：

例题2：已知，且，求：

（八）倒数换元法：若数列满足：，则颠倒变成
然后再用两边加：或者待定系数法既可求出，再颠倒就可得到：
例题：若数列满足：，且，求：
解：，两边加：1得：
，
所以：是首项为：，公比：的等比数列；
既有：
若用待定系数法：
与原式子对应得，然后的方法同上；
习题：已知且，求：

四、求前n项和的方法
（1）错位相减求和
主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n项和；或者是等差与等比的商的前n项和；（是商的时候，适当转变一下就变成了乘积形式）。既：设为等差数列，为等比数列，求：或的前n项和常用此方法（都转变为乘积形式）
例题1：已知数列，数列的前项和，求数列的前项和

例题2：求数列的的前项和

习题1：求：

习题2：设数列，求的前n项和

（2）裂项相消求和
适用于的形式，变形为：
例题：求数列的前n项和

习题1：求数列的前n项和

习题2：求数列的前n项和.

（3）、分组法求和：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；
例题：求的前和？

习题1：已知是一个递增的等差数列且，前n项和为
数列的前n项和为，求数列的前n项和

（3）、倒序求和：若 ，则的前前n项和用倒序求和

【角标之和为，可以为一个常数，能用倒序求和的，一定是可求的】
例题1：若数列，求的前前n项和

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