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三数学考试（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A．-1 B．1 C． D．
2.若向量与向量共线，则（ ）
A．0 B．4 C． D．
3.已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4.函数的图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6. 若函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.在公比为的正项等比数列中，，则当取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
8.若，，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
9.设双曲线：的左、右焦点分别为，，上存在关于轴对称的两点，（在的右支上），使得，为坐标原点，且为正三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中的单位为钱，则输出的，分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）
A． B． C． D．
11.若函数在上单调递减，则称为函数.下列函数中为函数的序号为（ ）
① ② ③ ④
A．①②④ B．①③ C．①③④ D．②③
12.设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.若是从区间内任意选取的一个实数，也是从区间内任意选取的一个实数，则的概率为 ．
14.若圆：的圆心为椭圆：的一个焦点，且圆经过的另一个焦点，则 ．
15. 已知数列，的前项和分别为，，，且，则 ．
16.若曲线上至少存在一点与直线上的一点关于原点对称，则的取值范围为 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.的内角，，所对的边分别为，，.已知，，且.
（1）求；
（2）证明：的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.
18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：
①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包；
④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包；
⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.
（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；
（2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；
（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.
19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，在棱上，，，为线段上的动点，其中，更靠近，且.在棱上，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20.已知，抛物线：与抛物线：异于原点的交点为，且抛物线在点处的切线与轴交于点，抛物线在点处的切线与轴交于点，与轴交于点.
（1）若直线与抛物线交于点，，且，求抛物线的方程；
（2）证明：的面积与四边形的面积之比为定值.
21.已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）比较与的大小，并加以证明；
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求曲线与曲线交点的极坐标.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.
高三数学详细参考答案（文科）
一、选择题
1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 8 15. 16.
三、解答题
17.（1）解：∵，∴，即，
则.
（2）证明：∵，，∴，或，.
若，，则，∴，∴.
若，，同理可得.
故的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍.
18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.
这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.
（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110，
平均数为.
（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件.
在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为，
获得5元的概率为，
获得2元的概率为.
19.（1）证明：由已知得为正三角形，为棱的中点，∴，
在正三棱柱中，底面，则.
又，∴平面，∴.
易证，又，∴平面.
（2）解：连结，则，
∵，，∴.
又，∴.
由（1）知平面，∴到平面的距离.
设，∵，∴，
∵，∴，∴，∴.
∴.
20.（1）解：由，消去得.
设，的坐标分别为，，
则，.
∴，∵，∴.
故抛物线的方程为.
（2）证明：由，得或，则.
设直线：，与联立得.
由，得，∴.
设直线：，与联立得.
由，得，∴.
故直线：，直线：，
从而不难求得，，，
∴，，∴的面积与四边形的面积之比为（为定值）.
21.解：（1），
令，得，；
令，得或；
令，得.
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）.
证明如下：
设，∵为增函数，
∴可设，∵，，∴.
当时，；当时，.
∴，
又，∴，
∴.
∵，∴，
∴，.
22.解：（1）∵，∴，即，
又，∴，∴或，
∴曲线的普通方程为（或）.
∵，∴，∴，即曲线的直角坐标方程为.
（2）由得，
∴（舍去），，
则交点的直角坐标为，极坐标为.
23.解：（1）由，得或或，
解得，故不等式的解集为.
（2），
作出函数的图象，如图所示，
直线过定点，
当此直线经过点时，；
当此直线与直线平行时，.
故由图可知，.
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