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勾股定理习题集
一、选择题（本大题共13小题，共39.0分）
1. 下列命题中，是假命题的是(  )
A. 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B. 在△ABC中，若a2=(b+c) (b-c)，则△ABC是直角三角形
C. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形
D. 在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形
2. 已知△ABC 中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=4，b=712；c=812；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=2∠B=2∠C.其中能判断△ABC是直角三角形的有(  )个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(  )
A. 2，5，7 B. 4，5，6 C. 2，3，5 D. 32，42，52
4. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为(  )
A. 4 B. 6 C. 16 D. 55
5. 一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据(  )
A. 13，10，10 B. 13，10，12 C. 13，12，12 D. 13，10，11
6. 直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为(  )
A. 37 B. 5 C. 25 D. 7
7. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=(  )

A. 136 B. 64 C. 50 D. 81
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D'处，则重叠部分△AFC的面积是(  )

A. 8 B. 10 C. 20 D. 32
9. 如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去.通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长a2016为(  )

A. a2016=4(12)2015 B. a2016=2(23)2015
C. a2016=4(12)2016 D. a2016=2(22)2016
10. 如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是(  )
A. 8cm B. 52cm C. 5.5cm D. 1cm
11. △ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为(  )
A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或33
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是(  )
A. 2.4 B. 4 C. 4.8 D. 5
13. 如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(  )
A. 455 B. 235
C. 255 D. 433

二、填空题（本大题共15小题，共45.0分）
14. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90∘，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积= ______ ．

15. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为______ cm2．
16. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是AB的中点，过点D作DE⊥AC于点E，则DE的长是______．

17. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为______ cm2．

18. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______ ．

19. 如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，
OA=OA1=OA2=…OAn=1，则第n个直角
三角形的面积为______ ．

20. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，
MN⊥AC于点N，则MN的长是______ ．

21. 如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，
PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP'C≌△APB，连接PP'，则有以下结论：①△APP'是等边三角形；②△PCP'是直角三角形；③∠APB=150∘；④∠APC=105∘.其中一定正确的是______ .(把所有正确答案的序号都填在横线上)

22. 如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的结论有______ ．
23. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为______ ．
24. 若直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a-3)2+|b-4|=0，则该直角三角形的第三条边长为______ ．
25. 如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______ ．

26. 如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑______ 分米．
27. 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE'的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE'C= ______ 度.

28. 已知a是13的整数部分，3+3=b+c，其中b是整数，且0<c<1，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是______ ．
三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）
29. 如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，AD⊥AB，垂足为A，CD=1cm，求AB的长．

30. 如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
31. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？

32. 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD= ______ ；
(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．

33. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
(3)求点B1到最短路径的距离．

34. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
(1)填表：
三边a、b、c
a+b-c
 Sl
3、4、5
2

5、12、13
4

8、15、17
6

(2)如果a+b-c=m，观察上表猜想：Sl= ______ ，(用含有m的代数式表示)；
(3)说出(2)中结论成立的理由．

35. 点A，B的位置如图，在网格上确定点C，使AB=AC，∠BAC=90∘．
(1)在网格内画出△ABC；
(2)直接写出△ABC的面积为______．

36. 如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处.已知CE=3cm，AB=8cm. 求：
(1)AD的长；
(2)阴影部分的面积．

37. 小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．
【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？
(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：
解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，
则B1C=x+0.7，A1C=AC-AA1=2.52-0.72-0.4=2
而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程______，
解方程得x1=______，x2=______，
∴点B将向外移动______米.
(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：
【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？
【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．

38. 如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．
(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．

答案和解析
【答案】
1. C 2. C 3. C 4. C 5. B 6. B 7. B
8. B 9. B 10. A 11. C 12. C 13. A
14. 24  
15. 120  
16. 6013  
17. 27  
18. 47  
19. n2  
20. 125  
21. ①②③  
22. ①②③  
23. 6cm2  
24. 5或7  
25. 90cm2  
26. 8  
27. 135  
28. 7或5  
29. 解：在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，
∴∠C=180∘-120∘-30∘=30∘，∠DAC=120∘-90∘=30∘；
即∠DAC=∠C，
∴CD=AD=1cm．
在Rt△ABD中，AB=ADtan30∘=3．  
30. 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=AF2-AB2=102-82=6，
∴FC=BC-BF=4，
设EC=x，则DE=8-x，EF=8-x，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为3cm．  
31. 解：设AE=x，则BE=25-x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2=BC2+BE2=152+(25-x)2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+(25-x)2，
解得：x=15km.(6分)
所以，E应建在距A点15km处．  
32. 14-x  
33. 解：(1)如图，
木柜的表面展开图是矩形或ACC1A1．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或AC1；

(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是l1=42+(4+5)2=97．
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长=97，

蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2=(4+4)2+52=89．
l1>l2，故最短路径的长是l2=89．

(3)作B1E⊥AC1于E，
∵∠C1EB1=∠C1A1A，∠A1C1A是公共角，
∴△AA1C1∽△B1EC1，
即B1EAA1=B1C1AC1，
则B1E=B1C1AC1⋅AA1=489⋅5=208989为所求．  
34. m4  
35. 5  
36. 解：(1)如图，∵CD=AB=8，CE=3，
∴EF=DE=8-3=5；
由勾股定理得：CF=4；
由题意得：AF=AD(设为λ)，∠AFE=∠D=90∘；
∵∠B=∠C=90∘；
∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC，
∴∠BAF=∠EFC，而∠B=∠C，
∴△ABF∽△FCE，
∴ABCF=AFEF，解得：AF=10．
∴AD=AF=10．
(2)由题意得：S△AEF=S△ADE，
∴S阴影=S矩形ABCD-2S△ADE
=10×8-2×12×10×5
=80-50=30．  
37. (x+0.7)2+22=2.52；0.8；-2.2(舍去)；0.8  
38. 解：(1)设CD=xm，则DE=(32-2x)m，
依题意得：x(32-2x)=126，
整理得  x2-16x+63=0，
解得  x1=9，x2=7，
当x1=9时，(32-2x)=14
当x2=7时   (32-2x)=18>15 (不合题意舍去)
∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．

(2)设CD=ym，则DE=(32-2y)m，
依题意得  y(32-2y)=130
整理得  y2-16y+65=0
△=(-16)2-4×1×65=-4<0
故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到130m2．  
【解析】
1. 解：A、在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；
B、在△ABC中，若a2=(b+c) (b-c)，则△ABC是直角三角形，是真命题；
C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；
D、在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；
故选C．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2. 解：①∵a2+b2=2894=(172)2，c2=(812)2=(172)2
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
②∵a2：b2：c2=1：3：2，
∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，
∵x+2x=3x，
∴a2+c2=b2，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；
③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴3x+4x+5x=180∘，
解得x=15∘，
∴∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，
∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；
④∵∠A=2∠B=2∠C，
∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，
∴x+x+2x=180∘，
解得：x=45∘，
∴∠A=2x=90∘，
∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．
故选C．
分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3. 解：A、22+52≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、(2)2+(3)2=(5)2，能构成直角三角形，故符合题意；
D、(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90∘；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90∘，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选：C．
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
5. 解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且(102)2+122=132，符合勾股定理，故选B．
根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线.根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．
6. 解：设一直角边为x，则另一直角边为7-x，
根据题意得12x(7-x)=6，
解得：x=4或x=3，
则另一直角边为3和4，
根据勾股定理可知斜边长为32+42=5，
故选：B．
设一直角边为x，则另一直角边为7-x，可得面积是12x(7-x)，根据“面积为6”作为相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．
此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
7. 解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，
如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，
BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，
即S1+S4=S3+S2，
因此S2=100-36=64，
故选B．
连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．
本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．
8. 解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，
矩形的面积是32，
∵AB//CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵△ACD'由△ACD翻折而成，
∴∠ACD=∠ACD'，
∴∠ACD'=∠CAB，
∴AF=CF，
∵BF=AB-AF=8-AF，
∴CF2=BF2+BC2
∴AF2=(8-AF)2+42
∴AF=5，BF=3
∴S△AFC=S△ABC-S△BFC=10．
故选B．
解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．
9. 解：第2016个正方形的边长a2016=2(22)2015．
故选B
第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x，则2x2=22，则x=2，即第二个的边长是：2(22)1；设第三个的边长是y，则2y2=x2，则y=2(22)x=2(22)2，同理可以得到第四个正方形的边长是2(22)3，则第n个是：2(22)n-1．
正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形的边与相邻的小正方形的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边．
10. 解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：62+52=61≈7.8，故折痕长不可能为8cm．
故选：A．
根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．
考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大．
11. 解：此题应分两种情况说明：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD=AB2-AD2=152 -122 =9，
在Rt△ACD中，
CD=AC2-AD2=132 -122=5
∴BC=5+9=14
∴△ABC的周长为：15+13+14=42；

(2)当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD=AB2-AD2=152 -122 =9，
在Rt△ACD中，CD=AC2-AD2=132 -122=5，
∴BC=9-5=4．
∴△ABC的周长为：15+13+4=32
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．
故选C．
本题应分两种情况进行讨论：
(1)当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出；
(2)当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．
此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
12. 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10．
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=6×810=245，
即PC+PQ的最小值为245．
故选：C．
过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线.得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．
13. 解：△ABC的面积=12×BC×AE=2，
由勾股定理得，AC=12+22=5，
则12×5×BD=2，
解得BD=455，
故选：A．
根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
14. 解：在RT△ABC中，AB=AC2+BC2=5，
∵AD=13，BD=12，
∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积=12AB×BD-12BC×AC=30-6=24．
答：阴影部分的面积=24．
故答案为：24．
先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．
此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．
15. 解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x=60，
∴x=2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242=262，
∴三角形为直角三角形，
∴S=10×24÷2=120cm2．
故答案为：120．
根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．
16. 解：过A作AF⊥BC于F，连接CD；
△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC=12BC=5；
Rt△ABF中，AB=13，BF=5；
由勾股定理，得AF=12；
∴S△ABC=12BC⋅AF=60；
∵AD=BD，
∴S△ADC=S△BCD=12S△ABC=30；
∵S△ADC=12AC⋅DE=30，即DE=2×30AC=6013．
故答案为：6013．
过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出△ABC的面积；连接CD，由于AD=BD，则△ADC、△BCD等底同高，它们的面积相等，由此可得到△ACD的面积；进而可根据△ACD的面积求出DE的长．
此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．
17. 解：∵最大的正方形的边长为3cm，
∴正方形G的面积为9cm2，
由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，
正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，
∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，
故答案为：27．
根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
18. 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
x2=32+52=34；
y2=22+32=13；
z2=x2+y2=47；
即最大正方形E的边长为：47，所以面积为：z2=47．
故答案为：47．
分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=32+52，y2=22+32，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
19. 解：根据题意可知：OA1=2，OA2=3，…
∴第n个直角三角形的直角边OAn-1长为n．
∵第n个直角三角形的另一条直角边长为1．
∴第n个直角三角形的面积为12×1×n=n2．
故答案为：n2．
这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为1.从而可求出面积．
本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的斜边正好是下一个三角形的直角边．
20. 解：连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM(三线合一)，BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM=AB2-BM2=52-32=4，
又S△AMC=12MN⋅AC=12AM⋅MC，
∴MN=AM⋅CMAC=125．
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理.特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
21. 解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60∘，又≌△APB，则AP=AP'，∠PAP'=∠BAC=60∘，
是正三角形，①正确；
又PA：PB：PC=3：4：5，
∴设PA=3x，则：PP'=PA=3x，P'C=PB=4x，PC=5x，
根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且∠PP'C=90∘，②正确；
又是正三角形，
∴∠AP'P=60∘，
∴∠APB=150∘③正确；错误的结论只能是∠APC=105∘．
故答案为①②③．
先运用全等得出AP'=AP，∠CAP'=∠BAP，从而∠PAP'=∠BAC=60∘，得出△PAP'是等边三角形，∠AP'P=60∘，PP'=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP'C=90∘，由此得解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
22. 解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，
故本选项正确；
②由图可知，x-y=CE=4=2，
故本选项正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4×12×xy+4=49，
即2xy+4=49；
故本选项正确；
④由2xy+4=49可得2xy=45①，
又∵x2+y2=49②，
∴①+②得，x2+2xy+y2=49+45，
整理得，(x+y)2=94，
x+y=94≠9，
故本选项错误．
∴正确结论有①②③．
故答案为①②③．
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
23. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，
∴ED=BE，
设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，
在Rt△ABE中，
AB2+AE2=BE2，
∴32+x2=(9-x)2，
解得：x=4，
∴△ABE的面积为：3×4×12=6(cm2)，
故答案为：6cm2．
首先翻折方法得到ED=BE，在设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
24. 解：该直角三角形的第三条边长为x，
∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a-3)2+|b-4|=0，
∴a=3，b=4．
若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42=x2，
∴x=5；
若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2=42，
∴x=7；
∴第三边的长为5或7．
故答案为：5或7．
设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
25. 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD//BC，∠A=90∘，
∴∠EDB=∠CBD．
∵△CBD与△C'BD关于BD对称，
∴△CBD≌△C'BD，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE．
设DE为x，则AE=24-x，BE=x，由勾股定理，得
122+(24-x)2=x2，
解得：x=15，
∴DE=15cm，
∴S△BDE=15×122=90cm2．
故答案为90．
根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE=DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．
本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
26. 解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90∘，
即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．
在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
AB2=AC2+BC2，
AC=AB2-BC2=24分米．
∴OC=AC-AC=24-4=2分米，
在Rt△COD中，由勾股定理可得：
CD2=OC2+OD2，
OD=15分米，
BD=OD-OB=15-7=8分米，
故答案为：8．
梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状.由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，OC=AO-AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD-OB=15-7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．
本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了．
27. 解：连接EE'
∵△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE'
∴∠EBE'是直角，∴△EBE'是直角三角形，
∵△ABE与△CE'B全等
∴BE=BE'=2，∠AEB=∠BE'C
∴∠BEE'=∠BE'E=45∘，
∵EE'2=22+22=8，AE=CE'=1，EC=3，
∴EC2=E'C2+EE'2，
∴△EE'C是直角三角形，
∴∠EE'C=90∘，
∴∠AEB=135∘．
故答案为：135．
首先根据旋转的性质得出，△EBE'是直角三角形，进而得出∠BEE'=∠BE'E=45∘，即可得出答案．
此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE'是直角三角形是解题关键．
28. 解：∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴a=3，
∵1<3<2，
∴4<3+3<5，
又∵b是整数，且0<c<1，
∴b=4，c=3-1．
分两种情况：
①若b=4为直角边，则第三边=a2+b2=32+42=5；
若b=4为斜边，则第三条边=b2-a2=42-32=7．
故答案为7或5．
先根据9<13<16，可得出a的值，根据1<3<2，结合b是整数，且0<c<1，求出b、c的值，再分情况讨论，①b为直角边，②b为斜边，根据勾股定理可求出第三边的长度．
本题考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的关键．
29. 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得∠BAC=120∘，故∠DAC=∠C=30∘，由此可证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．
此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得∠DAC=30∘是正确解答本题的关键．
30. 根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理．
31. 根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
32. 解：(1)∵BC=14，BD=x，
∴DC=14-x，
故答案为：14-x；

(2)∵AD⊥BC，
∴AD2=AC2-CD2，AD2=AB2-BD2，
∴132-(14-x)2=