指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质的讲义.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质
目标
理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点；理解对数的概念及其运算性质，理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）。了解幂函数的概念。结合函数y=x，y=x2，y=x3，，的图象，了解它们的变化情况。
重点
指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用；幂函数图像的应用。
难点
指数函数、对数函数的图像与性质的综合应用，幂函数图像的应用。
方法建议
首先回顾指数、对数的运算性质；指数函数、对数函数的图像与性质等基础知识。再通过经典例题的剖析，帮助学生理解基础知识，加深对知识的认识和记忆。再通过精题精练，使学生形成能力。在例题和习题的选择上可以根据学生的实际情况进行。
程度及数量

课堂精讲例题
搭配课堂训练题
课后作业
A类
（ 4 ）道
（ 4 ）道
（ 11 ）道
B类
（ 3 ）道
（ 3 ）道
（ 10 ）道
C类
（ 0 ）道
（ 0 ）道
（ 0 ）道
理解有理数指数幂的含义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。理解对数的概念及其运算性质。理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。了解指数函数y=ax与对数函数互为反函数（）。了解幂函数的概念。结合函数y=x，y=x2，y=x3，，的图象，了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用．同时考查分类讨论思想和数形结合思想；多以选择、填空题的形式出现，有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。

（一）指数与指数函数
1．根式
（1）根式的概念

根式的概念
符号表示
备注
如果,那么叫做的次方根

当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数

零的次方根是零
当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数

负数没有偶次方根

n为奇数

n为偶数
（2）．两个重要公式
① ；
②（注意必须使有意义）。
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正数的正分数指数幂:;
②正数的负分数指数幂:
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
（2）有理数指数幂的性质
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);
②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbs(a>0,b>0,r∈Q);.
3．指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
0<a<1
图象

定义域
R
值域
（0，+）
性质
（1）过定点（0，1）
（2）当x>0时，y>1;
x<0时,0<y<1
(2) 当x>0时，0<y<1;
x<0时, y>1
(3)在（-，+）上是增函数
（3）在（-，+）上是减函数
注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。
（二）对数与对数函数
1、对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。
（2）几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为

常用对数
底数为10

自然对数
底数为e

2、对数的性质与运算法则
（1）对数的性质（）：①，②，③，④。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：；
②。
（3）对数的运算法则：
如果，那么
①；
②；
③；
④。
3、对数函数的图象与性质
图象

性质
（1）定义域：（0,+）

（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
（4）当时，；
当时，
（4）当时，；
当时，
（5）在（0,+）上为增函数
（5）在（0,+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0<c<d<1<a<b.
4、反函数
指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。
（三）幂函数
1、幂函数的定义
形如y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2、幂函数的图象

注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1方法：可画出x=x0；
当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，， y=x-1；
当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1， ，y=x， y=x2，y=x3 。
3、幂函数的性质

y=x
y=x2
y=x3

y=x-1
定义域
R
R
R
[0，）

值域
R
[0，）
R
[0，）

奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，）时，增；
x∈时，减
增
增
x∈(0,+)时，减；
x∈(-,0)时，减
定点
（1，1）

三：例题诠释，举一反三
知识点1：指数幂的化简与求值
例1.(2007育才A)
（1）计算：；
（2）化简：
变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1）
（2）
(3)
知识点2：指数函数的图象及应用
例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个  B.2个 C.3个 D.4个
变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.
知识点3：指数函数的性质
例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）判断函数的单调性;
（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
变式：（2010东莞B）设a＞0,f(x)=是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.
知识点4：对数式的化简与求值
例4.（2010云浮A）计算：（1）
（2）2(lg)2+lg·lg5+;
（3）lg-lg+lg.
变式：（2010惠州A）化简求值.
（1）log2+log212-log242-1;
（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;
（3）(log32+log92)·(log43+log83).
知识点5：对数函数的性质
例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式：
① ②；
③ ④ 其中成立的是（ ）
（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④
变式：（2011韶关A）已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga的大小关系是 （ ）
A.loga B.
C. D.
例6.（2010广州B）已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.
变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.
知识点6：幂函数的图象及应用
例7.(2009佛山B)已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（１）；（２）；（３）．
变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性.

四：方向预测、胜利在望
1．（A）函数的定义域为（ ）
A．(1，4) B．[1，4) C．(－∞，1)∪(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞)
2.（A）以下四个数中的最大者是（ ）
(A) (ln2)2 (B) ln(ln2) (C) ln (D) ln2
3（B）设a>1，函数f(x)=logax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为则a=( )
(A) （B）2 （C）2 （D）4
4.（A）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（ ）
（A）　　（B）　　（C）　　（D）
5.（B）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）
(A)（1，2）（3，+∞） (B)（，+∞）
(C)（1，2） （ ，+∞） (D)（1，2）
6．（A）设，，，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．(A)已知，则( )
A． B． C． D．
8．（B）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是（ ）
（A） (B)
(C) (D)
9.（A）函数的定义域是：（ ）
A B C D
10.(A)已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
11．（B）若函数、三、四象限，则一定有（ ）
A． B．
C． D．
12．(B)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ）
A. B. C. D.
13.(A)已知0＜x＜y＜a＜1，则有（ ）
（A） （B）
（C） （D）
14.（A）已知，那么等于（ ）
（A） （B）8 （C）18 （D）
15．（B）函数y＝lg|x| （ ）
　A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增　B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
　C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增　D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
16.（A）函数的定义域是 ____________________________.
17．（B）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
18．（A）设 则__________
19．（B）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为___________.
20．(B)若函数是奇函数，则a= ．

21.(B)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.

参考答案：
三：例题诠释，举一反三
例1. 解：（1），（2）
变式：解：（1）1, （2） (3)110
例2. 解：B
变式：解：；
例3. 解：（Ⅰ） （Ⅱ）减函数。 （Ⅲ）
变式：解：（1）a=1.（2）略
例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）.
变式：解：(1)（2）2.（3）
例5. 解：选D。
变式：解： C
例6. 解：(1，3］∪［，1）
变式：解：{a|2-2≤a＜2}
例7. 解：（1）当或时，；
　（2）当时，；
　（3）当且时，．
变式：解：（1）f(x)=x-4.
（2）F（x）=， ∴F（-x）=+bx3.
①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；
②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；
③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；
④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.
四：方向预测、胜利在望
1—5 ADDDC； 6—10 AADDA； 11—15 CADDB.
16. (-¥, 3)È(3,4) 17. 4 18. 19.[-1,0] 20.
21．[解]x须满足
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则

得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.