高中数学排列组合问题方法总结.doc

高中数学排列组合方法总结

1.　分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有 ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.

1.　分组（堆）问题
　例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发包方式？
　解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴ 将四项工程分为三“堆”，有 种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.

2.插空法：
　　解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ 　♀♀ 　　♀ 　♀♀　　♀
↑ 　 ↑ 　↑ 　↑　↑　　 ↑
例2 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列：
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔)：

几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.
3.捆绑法
　相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
解：（1）分两步进行：
♀ ♀ ♀ ♀ ♀ ♀
甲 乙
第一步，把甲乙排列(捆绑)：
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：

几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列.

4.消序法(留空法)
　几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4.　5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为

4.消序法(留空法)
变式：如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?

解: 如图所示

→
1
↑
①
→
2
↑
②
↑
③
→
3
→
4
→
5
↑
④
→
6
→
7

将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,③,④顺序一定的排列，有 种排法.
其中必有四个↑和七个→组成!
所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,

所以从A到B共有 条不同的路径.

5.剪截法（隔板法）：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种 .

5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种 .

6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.

解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.

7.剔除法：
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有 条，
其中不过原点的直线有 条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.

小结:
①分堆问题；
②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法).

巩固练习

B

B

A