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华南理工大学网络教育学院
《高等数学（上）》辅导
一、 求函数值
例题：
1、若，，则 ．
解：
2、若，则 ．
解：令，则
所以
即
二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理
常见的等价无穷小：
无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换
例题：
1、？
解：当，
原式=
2、？
解：原式=
3、？
解：当
原式=
4、？
解：当
原式=..
5、？
解：当
原式=..
三、 多项式之比的极限
，，
四、 导数的几何意义（填空题）
：表示曲线在点处的切线斜率
曲线....在点处的切线方程为：
曲线在点处的法线方程为：
例题：
1、曲线在点的切线的斜率．
解：
2、曲线在点处的切线方程．
解：
所以曲线在点处的切线方程为：
，即
3、曲线在点处的切线方程．
解：
所以曲线在点处的切线方程为：
，即
五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分
复合函数求导的链式法则：
微分：
例题：
1、设，则？
解：
2、设，则？
解：
3、设，则？
解：
则
4、设，则？
解：
所以
5、设，则？（答案：）
六、 运用导数判定单调性、求极值
例题：
1、求的单调区间和极值．
解：定义域
令，求出驻点
-
0
+
单调减
极小值点
单调增
函数的单调递减区间为，单调递增区间为
极小值为．
2、求的单调区间和极值．
解：定义域
令，求出驻点
1
+
0
-
单调增
极大值点
单调减
函数的单调递减区间为，
单调递增区间为，
极大值为．
3、求函数..的单调区间和极值．
解：定义域
令，得
0
+
0
-
单调增
极大值点
单调减
单调递增区间：，单调递减区间：，
极大值为．
4、求函数的极值．答案：极小值为，极大值为
七、 隐函数求导
例题：
1、求由方程所确定的隐函数的导数．
解：方程两边关于求导，得：
即
2、求由方程所确定的隐函数的导数．
解：方程两边同时关于x求导，得：
即
3、求由方程所确定的隐函数的导数． 答案：
4、求由方程所确定的隐函数的导数． 答案：
八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理
例题：
1、求极限
解：原式
..
2、求极限
解：原式=
=
3、求 （答案：）
九、 原函数、不定积分的概念及其性质
知识点：
设，则称是的一个原函数，是的全体原函数，且有：
例题：
1、( )是函数的原函数．
A．
B．
C．
D．
解：因为
所以是的原函数．
2、( )是函数的原函数．
A．
B．
C．
D．
解：因为
所以是的原函数．
3、 是( )的原函数
A．
B．
C．
D．
解：因为
所以是的原函数．
4、( )是函数的原函数．
A．
B．
C．
D．
解：因为
所以是的原函数．
十、 凑微分法求不定积分（或定积分）
简单凑微分问题：，，,
一般的凑微分问题：，，，
例题：
1、
解：注意到
原式=
2、
解：注意到
原式
=
3、
解：注意到
原式
=
4、
解：原式=
=
5、
解：原式
6、
解：原式
十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分）
知识点：利用换元直接去掉根号：，，，，等
例题：
1、求不定积分
解：令，则
原式=
2、．
解：令，则
当
原式=
3、
解：令，则，
当时，；当时，
原积分
十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）
诸如，，，，，可采用分部积分法
分部积分公式：
例题：
1、求不定积分．
解
2、求不定积分
解
3、求不定积分
解
十三、 定积分的概念及其性质
知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等
例题：
1、定积分等于 ．
解： 因为是的奇函数，所以原式=0
2、定积分等于 ．
解： 因为是的奇函数，所以原式=0
3、定积分等于 ．
解： 因为是的奇函数，所以原式=0
十四、 变上限积分函数求导
例题：
1、 设函数在上连续，，则（ C ）．
A．
B．
C．
D．
2、设，则．
3、设，则．
十五、 凑微分法求定积分（或不定积分）
思想与不定积分类似
例题：
1、
解：注意到
原式
=
十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分，
思想与不定积分类似
例题：
1、．
解：令，则
当
原式=
2、
解：令，则，
当时，；当时，
原积分
十七、 定积分的分部积分法（或不定积分）
思想与不定积分类似
例题：
1、求定积分．
解
2、求定积分
解
十八、 求平面图形面积
知识点：X型积分区域的面积求法
Y型积分区域的面积求法
通过作辅助线将已知区域化为若干个X型或Y型积分区域的面积求法
例题：
1、求由、，及所围成的封闭图形的面积．
解：由得
面积为
2、计算由曲线与直线及所围成的图形的面积．
解：由得交点A为
面积为
3、求由曲线与直线及所围成的平面图形的面积．
解：由得交点A为
由得交点B为
面积为
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