中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及复习资料.doc

金牌数学专题系列 经典专题系列
初中数学中考特殊四边形证明及计算
一．解答题
1．（1）如图①，▱的对角线，交于点O，直线过点O，分别交，于点E，F．
求证：．
（2）如图②，将▱（纸片）沿过对角线交点O的直线折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设1交于点G，A1B1分别交，于点H，I．
求证：．

考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．718351
分析：
（1）由四边形是平行四边形，可得∥，，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用，即可证得△≌△，则可证得．
（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1，∠A1=∠∠C，∠B1=∠∠D，继而可证得△A1≌△，即可证得．
解答：
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴∥，，
∴∠1=∠2，
在△和△中，
，∴△≌△（），∴；
（2）∵四边形是平行四边形，∴∠∠C，∠∠D，由（1）得，
由折叠的性质可得：1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1，∠A1=∠∠C，∠B1=∠∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，在△A1与△中，
，∴△A1≌△（），∴．

点评：
此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

2．在△中，，点P为△所在平面内一点，过点P分别作∥交于点E，∥交于点D，交于点F．若点P在边上（如图1），此时0，可得结论：．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△内（如图2），△外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，，，与之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．

考点：
平行四边形的性质．718351
专题：
探究型．
分析：
在图2中，因为四边形为平行四边形，所以，又三角形为等腰三角形，所以，即，在图3中，可证，﹣，即﹣．
解答：
解：图2结论：．

证明：过点P作∥分别交，于M，N两点，
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形，
∵∥，∥
∴四边形是平行四边形，
∴，∠∠∠C，
∵，
∴∠∠B，
∴∠∠，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
即．
图3结论：﹣．
点评：
此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键．

3．如图，△是等边三角形，点D是边上的一点，以为边作等边△，过点C作∥交于点F．
（1）若点D是边的中点（如图①），求证：；
（2）在（1）的条件下直接写出△和△的面积比；
（3）若点D是边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．718351
专题：
证明题．
分析：
（1）根据△和△是等边三角形，D是的中点，∥，求证△≌△，进而求证四边形是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△和△的面积比；
（3）根据∥，结合∠60°，得出∠∠，求证△≌△，得出，进而求证四边形是平行四边形，即可证明．
解答：

（1）证明：∵△是等边三角形，D是的中点，
∴⊥，且∠∠30°，
∵△是等边三角形，
∴，∠60°，
∴∠90°﹣∠90°﹣60°=30°，
∵∥，
∴∠∠30°，∵∠60°，∴∠∠﹣∠30°，
∴∠∠30°，在△和△中，
，
∴△≌△（），∴，∵，
∴，又∵∥，∴四边形是平行四边形，∴．

（2）解：△和△的面积比为：1：4；

（3）解：成立．
理由如下：∵∥，
∴∠∠，
∵∠∠∠60°+∠，∠∠∠60°+∠
∴∠∠，
在△和△中，
∴△≌△（），
∴，
∵，
∴，
又∵∥，
∴四边形是平行四边形，
∴．
点评：
此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．

4．如图，在菱形中，10，∠60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）点N为边上任意一点，在点M移动过程中，线段是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；
（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着边向点C移动，在什么时刻，梯形的面积最大并求出面积的最大值；
（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a≥2）个单位长的速度沿着射线方向（可以超越C点）移动，过点M作∥，交于点P．当△≌△时，设△与菱形重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，井求当0时的值．

考点：
菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质．718351
专题：
压轴题．
分析：
（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可．
（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面积，用t的最值即可求得梯形的最大面积．
（3）易得△的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可．
解答：
解：（1）设：，10﹣a（0≤a≤10）
因为，点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着边向点D移动，点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）
所以，1×（0≤t≤10），10﹣t（0≤t≤10）．
所以，梯形的面积=（）×菱形高÷2=（）×菱形高÷2；
梯形的面积=（）×菱形高÷2=[（10﹣t）+（10﹣a）]×菱形高÷2
当梯形的面积=梯形的面积时，
即10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）
所以，当10，（0≤t≤10），（0≤a≤10）时，可出现线段一定可以将菱形分割成面积相等的两部分．

（2）点N从点B以每秒2个单位长的速度沿着边向点C移动，设点N移动的时间为t，可知0≤t≤5，
因为10，∠60°，所以菱形高=5，
1×，2×2t．
所以梯形的面积=（）×菱形高÷2=3t×5×（0≤t≤5）．
所以当5时，梯形的面积最大，其数值为．

（3）当△≌△时，
则△的面积=△的面积，则△的面积为菱形面积的一半为25；
因为要全等必有∥，
∴N在C点外，所以不重合处面积为×（﹣10）2×
∴重合处为25﹣，
当0时，即在上，
∴2．
点评：
本题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件．

5．如图，在下列矩形中，已知：，（a＜b），假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个命题：
命题（Ⅰ）：图①中，若，则四边形是矩形的内接菱形；
命题（Ⅱ）：图②中，若点E、F、G和H分别是、、和的中点，则四边形是矩形的内接菱形；
命题（Ⅲ）：图③中，若垂直平分对角线，变于点E，交于点F，交于点O，则四边形是矩形的内接菱形．
请解决下列问题：
（1）命题（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；
（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）．
（3）试探究比较图①，②，③中的四边形、、的面积大小关系．

考点：
菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理．718351
分析：
（1）①先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；
②根据三角形中位线定理得到四条边都相等；
③先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；
（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可．
（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（2）的面积都小于图（3）的面积；根据a与b的大小关系，分a＞2b，2b和a＜2b三种情况讨论．
解答：
解：（1）都是真命题；
若选（Ⅰ）证明如下：
∵矩形，
∴∥，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
若选（Ⅱ），证明如下：
∵矩形，
∴，，
∠∠∠∠90°，
∵E、F、G、H是中点，
∴，，
∴△≌△≌△≌△，
∴，
∴四边形是菱形；
若选（Ⅲ），证明如下
∵垂直平分，
∴，，
又∵矩形，
∴∥，
∴∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△（）
∴，
∴，
∴四边形是菱形；

（2）如图4所示：，垂直平分对角线，四边形是菱形；

（3）2 ，
，
S菱形，
∵﹣a2＞0（b＞a）
∴S菱形＞．
∵﹣＞0，
∴S菱形＞．
∵a2 ﹣（a﹣b）
∴当a＞b，即0＜b＜2a时，S菱形＞S菱形；
当，即2a时，S菱形菱形；
当a＜b，即b＞a时，S菱形＜S菱形．
综上所述：
当O＜b＜2a时，＜＜S菱形．
当2a时，＜S菱形．
当b＞2a时 ＜＜S菱形．

点评：
本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点．注意第（3）题需要分类讨论，以防错解．

6．在平行四边形中，∠的平分线交直线于点E，交直线的延长线于点F，以、为邻边作平行四边形．
（1）如图1，证明平行四边形为菱形；
（2）如图2，若∠90°，M是的中点，求∠的度数；
（3）如图3，若∠120°，请直接写出∠的度数．

考点：
菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质．718351
分析：
（1）平行四边形的性质可得∥，∥，再根据平行线的性质证明∠∠，根据等角对等边可得，再有条件四边形是平行四边形，可得四边形为菱形；
（2）首先证明四边形为正方形，再证明△≌△可得，∠∠，再根据∠∠∠∠∠90°可得到∠的度数；
（3）分别连接、，求证四边形是平行四边形，再求证△是等边三角形．由∥及平分∠可得∠∠，求证△≌△，然后即可求得答案．
解答：
解：（1）证明：∵平分∠，
∴∠∠，
∵四边形是平行四边形，
∴∥，∥，
∴∠∠，∠∠，
∴∠∠，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形为菱形．

（2）如图，连接，，
∵∠90°，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
∠90°，
∴四边形为正方形．
∵∠∠，
∴，
∵M为中点，
∴∠∠45°，
∴∠∠135°，
在△和△中，
∵，
∴△≌△（），
∴，
∠∠．
∴∠∠∠∠∠90°，
∴△是等腰直角三角形，
∴∠45°；

（3）∠60°，
延长、交于H，连接．
∵∥，∥，
∴四边形为平行四边形，
∵∠120°，平分∠，
∴∠30°，∠120°，∠30°，
∴△为等腰三角形，
∴，
∴平行四边形为菱形，
∴△，△为全等的等边三角形，
∴，∠∠60°，
∵，，，
∴，
在△与△中，
∵，
∴△≌△（），
∴∠∠
∴∠∠∠∠∠60°．

点评：
此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

7．在△中，∠90°，，若点D在线段上，以为边长作正方形，如图1，易证：∠∠∠；
（1）若点D在延长线上，其他条件不变，写出∠、∠、∠的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在延长线上，其他条件不变，直接写出∠、∠、∠的关系式．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．718351
专题：
几何综合题．
分析：
（1）∠、∠、∠的关系为：∠∠﹣∠，理由为：由四边形为正方形，得到，且∠为直角，得到∠∠，等式左右两边都加上∠得到∠∠，再由，，利用可得出三角形与三角形全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠∠，又∠为三角形的外角，利用外角的性质得到∠∠∠，变形后等量代换即可得证；
（2）∠、∠、∠的关系式是∠∠∠180°，可以根据∠∠90°，等号两边都减去∠，可得出∠∠，再由，，利用证明三角形与三角形全等，由全等三角形的对应角相等可得出∠∠，根据三角形的内角和为180°，等量代换可得证．
解答：
解：（1）关系：∠∠﹣∠，…（2分）
证明：∵四边形为正方形，
∴，∠90°，
∵∠90°，∠90°，
∴∠∠∠∠，即∠∠，…（3分）
在△和△中，
，
∴△≌△（），…（4分）
∴∠∠，
∵∠是△的一个外角，
∴∠∠∠，…（5分）
∴∠∠﹣∠，
∵∠∠，
∴∠∠﹣∠；…（6分）

（2）∠、∠、∠满足的关系式为：∠∠∠180°，…（8分）
证明：∵四边形为正方形，
∴∠90°，，
又∠90°，
∴∠∠，
∴∠﹣∠∠﹣∠，即∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△（），
∴∠∠，
在△中，∠∠∠180°，
则∠∠∠180°．
点评：
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键．

8．已知四边形是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线运动，连接，作⊥于点M，且交直线于点N，连接，．（当P在线段上时，如图1：当P在的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①；②，且⊥；
（2）设4，，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

考点：
正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质．718351
专题：
代数几何综合题．
分析：
（1）根据正方形的性质得出，∠∠90°，求出∠∠∠，证△≌△，求出，证△≌△，推出，∠∠，求出∠∠即可；
（2）同法可证图2时，，⊥，图1中，S四边形△△，代入求出即可；图2中，S四边形△△，代入求出即可．
解答：
（1）证明：如图1，
∵正方形，
∴，，∠∠90°，∠∠45°，∠90°，∥，
∵⊥，
∴∠∠90°，
∴∠∠90°，∠∠90°，
∴∠∠，
∵∥，
∴∠∠∠，
∵在△和△中
，
∴△≌△，
∴，
∵在△和△中
，
∴△≌△，
∴，∠∠，
∴∠∠∠∠，
即∠∠90°，
∴⊥，
即，⊥．

（2）解：∵4，四边形是正方形，
∴O到边的距离是2，
图1中，S四边形△△，
=×（4﹣x）×2+×x×2，
=4（0＜x＜4），
图2中，S四边形△△
=×x×2+×（x﹣4）×x
2﹣x（x＞4），
即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．
点评：
本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似．

9．如图，四边形是正方形，点E，K分别在，上，点G在的延长线上，且．
（1）求证：①； ②⊥
（2）尺规作图：以线段，为边作出正方形（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（3）连接（2）中的，猜想并写出四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：
（4）当时，请直接写出的值．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图．718351
分析：
（1）由已知证明、所在的三角形全等，再通过等量代换证明⊥；
（2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以为半径画弧交点F，得到正方形；
（3）由已知首先证四边形是平行四边形，然后证明四边形为平行四边形；
（4）由已知表示出的值．
解答：
（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，∠∠90°．
又∵，
∴△≌△，
∴，
∠∠，
又∵∠∠90°，
∴∠∠90°
∴⊥．

（2）解：如图．

（3）解：四边形为平行四边形．
证明：设、相交于M点
∵四边形和四边形都是正方形，
∴∥，，，∥，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，∥，
∴∠∠∠90°，
∴∠∠180°，
∴∥，
∴四边形为平行四边形．

（4）解：∵，
∴设，，
∴，
∴2222x22=（n2+1）x2，
∵22x2，
∴．

点评：
此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂．

10．如图，点P是正方形对角线上一动点，点E在射线上，且，连接，O为中点．
（1）如图1，当点P在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．718351
分析：
（1）根据点P在线段上时，利用三角形的全等判定可以得出⊥，；
（2）利用三角形全等得出，，由，得出，要证⊥；从三方面分析，当点E在线段上（E与B、C不重合）时，当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，当点E在的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）利用得出P点在的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P为圆心，为半径画弧即可得出E点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．
解答：
解：（1）当点P在线段上时，
在△和△中，
∴△≌△，
∴，
∵，
∴，
过点P做⊥，于点M，作⊥，于点N，
∵，⊥，
∴，
∵，
∴，
在△与△中，
∵，，
∴△≌△，
∴∠∠，
∵∠90°，
∴∠90°，
故⊥，
与的数量关系和位置关系分别为：，⊥；

（2）∵四边形是正方形，为对角线，
∴，∠∠45°，
∵，
∴△≌△（），
∴，
又∵，
∴．
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，⊥．
（）当点E在的延长线上时，如图．

∵△≌△，
∴∠∠，
∴∠∠，
∵，
∴∠∠，
∴∠∠，
∵∠1=∠2，
∴∠∠90°，
∴⊥．
综合（i）（），⊥；

（3）同理即可得出：⊥，．

点评：
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．

巩固训练：
1．如图，矩形的对角线交于点O，⊥，⊥，垂足分别为E，F，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若∠的平分线与的延长线交于点G，则△是等腰三角形吗？并说明理由．

考点：
平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质．718351
专题：
证明题；几何综合题；探究型．
分析：
（1）根据矩形的性质可知：，∠∠，∠∠90°，得到△≌△，所以∥，，可证四边形为平行四边形；
（2）因为∥，得到∠∠．利用平分∠，得到∠∠，从而求得∠∠．所以∠∠G，可得△是等腰三角形．
解答：
（1）证明：∵矩形，
∴∥，．
∴∠∠，又∠∠90°，
∴∥，
∴△≌△，
∴．
∴四边形为平行四边形．

（2）解：△是等腰三角形．
理由如下：∵∥，
∴∠∠．
∵平分∠，
∴∠∠．
又，
∴∠∠．
∵∠与∠互余，∠与∠互余，
∴∠∠．
∴∠∠，
∴∠∠，∴∠∠G，
∴△是等腰三角形．
点评：
本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
2．如图，在△中，∠90°，E，F分别是，的中点，延长到点D，使．连接，．
（1）求证：与互相平分；
（2）若4，求的长．

考点：
平行四边形的判定．718351
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）连接、，证四边形是平行四边形即可．
（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可．
解答：
（1）证明：连接，．
∵点E，F分别为，的中点，
∴∥，．
又∵，
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴与互相平分．

（2）解：在△中，
∵E为的中点，4，
∴2．
又∵四边形是平行四边形，
∴2．

点评：
本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．如图，以△三边为边在同侧作三个等边△、△、△．
请回答下列问题：
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形．

考点：
平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定．718351
专题：
证明题；探究型．
分析：
1、本题可根据三角形全等证得，，即可知四边形是平行四边形
2、要使四边形是矩形，必须让∠90°，则∠360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°
解答：
证明：（1）∵等边△、△、△，
∴，．又∠60°﹣∠，∠60°﹣∠，
∴∠∠．∴△≌△．∴．
又∵，∴．同理可证：△≌△，证得．
∴四边形是平行四边形．
（2）假设四边形是矩形，∵四边形是矩形，∴∠90°．
又∵等边△、△、△，∴∠∠60°．
∴∠360﹣∠﹣∠﹣∠150°．
当△满足∠150°时，四边形是矩形．
点评：
此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定．

4．已知：如图，矩形中，2，3，E、F分别是、的中点．
（1）在边上取一点M，使点A关于的对称点C恰好落在上．设与相交于点N，求证：四边形是菱形；
（2）设P是上一点，∠3∠，求线段的长．

考点：
菱形的判定；矩形的性质．718351
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）设交于O，由题意易得，⊥，要证四边形是菱形，还需证明，又可证明∥∥．∴：：1：1，∴；
（2）连接，由题意可证得∠∠∠，∴，∴，求得．
解答：
（1）证明：设交于O，则
∵A、G关于对称，
∴，⊥．
∵E、F分别是矩形中、的中点，
∴，∥且，∥∥．
∴：：1：1．
∴．
∴与互相平分且互相垂直．
∴四边形是菱形．

（2）解：连接，
∵∥∥，
∴∠∠，∠∠．
又∵⊥，，
∴，
∴∠∠．
∴∠∠∠∠．
∴∠∠∠∠∠2∠3∠．
∴∠∠∠．
∴．
∴在△中，根据勾股定理得：，
解得：．

点评：
本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
5．如图1，在△中，5，6．△是△沿方向平移得到的，连接、和相交于点O．
（1）判断四边形是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接并延长交线段于点Q，⊥，垂足为点R．四边形的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形的面积．

考点：
菱形的判定与性质．718351
专题：
动点型；数形结合．
分析：
（1）利用平移的知识可得四边形是平行四边形，进而根据可得该四边形为菱形；
（2）利用证明三角形全等可得四边形的面积为三角形的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可．
解答：
解：（1）四边形是菱形，证明如下：
∵△是由△沿平移得到的，
∴∥，且，
∴四边形是平行四边形，（2分）
又∵，
∴四边形是菱形．（4分）

（2）由菱形的对称性知，△≌△，
∴S△△（7分）
∵△是由△平移得到的，
∴∥，6，
又∵⊥，∴⊥，（8分）
∴S四边形△四边形△四边形△
=×××8×6=24．（10分）
点评：
考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键．

6．如图，已知矩形，4，10，P是上一动点，M、N、E分别是、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形；
（3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由．

考点：
矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定．718351
分析：
（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．
（2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值．
（3）四边形是矩形的话，∠必需为90°，判断一下△是不是直角三角形就行．
解答：
解：（1）∵M、N、E分别是、、的中点，
∴∥，∥，
∴四边形是平行四边形；

（2）当5时，
∵5，，∠∠90°，
∴△≌△，
∴，
∵M、N、E分别是、、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形；

（3）假设△为直角三角形．
设，10﹣x，
，．
222
162+16+（10﹣x）2=102
x2﹣1016=0
2或8．
故当2或8时，能够构成直角三角形．
点评：
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质．

7．如图：矩形中，2，5，E、P分别在、上，且1．
（1）判断△的形状，并说明理由？
（2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形的面积．

考点：
矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质．718351
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）根据矩形性质得出2，根据勾股定理求出和，求出22的值，求出2，根据勾股定理的逆定理求出即可；
（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形和，推出∥，∥，推出平行四边形，根据矩形的判定推出即可；
（2）根据三角形的面积公式求出，求出，根据勾股定理求出，根据面积公式求出即可．
解答：
（1）△是直角三角形，
理由是：∵矩形，
∴∠∠90°，5，2，
由勾股定理得：，
同理2，
∴22=5+20=25，
∵2=52=25，
∴222，
∴∠90°，
∴△是直角三角形．

（2）解：四边形为矩形，
证明：∵矩形，
∴，∥，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴∥，
∵，∥，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴∥，
∴四边形是平行四边形，
∵∠90°，
∴平行四边形是矩形．

（3）解：在△中∠⊥，
由三角形的面积公式得：••，
∴，
∴﹣﹣=，
∵，
∴S矩形•，
答：四边形的面积是．
点评：
本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．

8．如图，四边形是正方形，点P是上任意一点，⊥于点E，⊥于点F，⊥于点H，的延长线交于点G．
（1）求证：﹣；
（2）四边形是什么四边形？并证明；
（3）若2，1，求四边形的面积．

考点：
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．718351
分析：
（1）利用全等三角形的判定首先得出△≌△，进而得出，即可证明结论；
（2）首先得出四边形是矩形，再利用△≌△，同理可得：△≌△，进而得出，即可得出答案；
（3）首先求出的长，再利用三角形面积关系得出，的长，进而求出的长即可得出答案．
解答：
（1）证明：∵⊥于点E，⊥于点F，⊥于点H，
∴∠∠∠90°，
∴∠∠90°，
又∵∠∠90°，
∴∠∠，
在△和△中，
，
∴△≌△，
∴，
∴﹣，即﹣；

（2）证明：
∵∠∠∠90°，
∴四边形是矩形，
∵△≌△，同理可得：△≌△，
∴△≌△≌△，
∴，，
∴﹣﹣，
∴，
∴矩形是正方形；

（3）解：∵2，1，
∴，
∵S△××××=1×2×，
∴，
∵∠∠，∠∠90°，
∴△∽△，
∴，
∴，
∴﹣﹣=，
∴四边形的面积为：（）2=．
9．如图，在正方形中，点M在边上，点N在边的延长线上，且．点E为的中点，的延长线与相交于点F．试猜想线段与线段的关系，并证你的猜想．

考点：
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．718351
专题：
探究型．
分析：
猜想：线段垂直平分线段，且，过点M作∥，与的延长线相交于点G，作⊥，垂足为H，连接、． 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△≌△即可．
解答：
猜想：线段垂直平分线段，且，
证明：过点M作∥，与的延长线相交于点G．
则∠∠N，∠∠，
∵∠∠，，
∴△≌△，
∴．
∵，
∴．
作⊥，垂足为H，连接、．
∵四边形是正方形，
∴，∠∠∠90°，
∵∠∠∠90°，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，∠∠90°，
∴，
∴△≌△．
∴．
又∵，
∴是线段的垂直平分线．
∵∠90°，，
∴
即线段垂直平分线段，且．

点评：
本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．
10．以△的各边，在边的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形，，，试探究：
（1）如图中四边形是什么四边形？并说明理由．
（2）当△满足什么条件时，四边形是矩形？
（3）当△满足什么条件时，四边形是正方形？

考点：
正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．718351
分析：
（1）根据全等三角形的判定定理证得△≌△，所以全等三角形的对应边．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠∠180°，易证∥；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠90°．然后由周角的定义求得∠135°；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠90°，且．由□和□的性质证得，．
解答：
解：（1）图中四边形是平行四边形．理由如下：
∵四边形、四边形、四边形都是正方形，
∴，，，∠∠∠90°．
∴∠∠（同为∠的余角）．
在△和△中，
，
∴△≌△（），
∴，∠∠．
∵是正方形的对角线，
∴∠∠45°．
∵∠∠﹣∠∠﹣45°，
∠360°﹣∠﹣∠﹣∠
=360°﹣90°﹣∠﹣45°
=225°﹣∠
∴∠∠∠﹣45°+225°﹣∠180°
∴∥，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（2）当四边形是矩形时，∠90°．
则∠360°﹣∠﹣∠﹣∠360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，
即当∠135°时，平行四边形是矩形；

（3）当四边形是正方形时，∠90°，且．
由（2）知，当∠90°时，∠135°．
∵四边形是正方形，
∴．
又∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∴当∠135°且时，四边形是正方形．

点评：
本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．