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例题精讲

板块一、正数、负数、有理数 有理数:按定义整数与分数统称有理数.

注：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数.

在下表适当的空格里打上“√”号．

整数
分数
正数
负整数
正分数
非负数
非负整数
无理数

【例1】 下列说法中正确的个数是( )
①当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大；
②没有最大的非负数，也没有最小的非负数；
③不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等；
④只有负数的绝对值等于它的相反数．
A．0 B．1 C．2 D．3
在下列各数：，，，，中，负数的个数为 个．
①；②；③；④一定是负数的是 （填序号）．
下列说法正确的个数是（ ）
①互为相反数的两个数一定是一正一负 ②没有倒数
③如果是有理数，那么一定是正数，一定是负数
④一个数的相反数一定比原数小 ⑤一定不是负数
⑥有最小的正数，没有最小的负数
A．个 B．个 C．个 D．个
下列说法正确的是（ ）
A．表示负有理数 B．一个数的绝对值一定不是负数
C．两个数的和一定大于每个加数 D．绝对值相等的两个有理数相等
两数相加，其和小于其中一个加数而大于另一个加数，那么（ ）
A．这两个加数的符号都是正的 B．这两个加数的符号都是负的
C．这两个加数的符号不能相同 D．这两个加数的符号不能确定

板块二、倒数

【例2】 有理数等于它的倒数，有理数等于它的相反数，则

【例3】 若，和互为倒数，的绝对值为，求代数式的值

【例4】 在一列数中，已知，从第二个数起，每个数都等于“与它前面的那个数的差的倒数”
⑴ 求的值 ⑵ 根据以上计算结果，求的值
板块三 数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
数轴画法的常见错误举例：
错例
原因

无原点

没有正方向

单位长度不统一

没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如.
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.
【例5】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.
，，，，，，，
⑵如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为.

【例6】 数轴上有一点它表示的有理数是，将点向左移动个单位得到点，再向右移动个单位，得到点，则点表示的数是　　　　，点表示的数是　　．

【巩固】 如右图所示，数轴上的点和分别对应有理数、，那么以下结论正确的是( )

A.，， B.，，
C.，， D.，，

【例7】 数所对应的点在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系为（ ）

A. B. C. D.不确定的

【巩固】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距个单位，点对应的数分别为整数，并且，那么数轴的原点对应点为（ ）
点 点 点 点

【巩固】 数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？

【巩固】 已知数轴上有两点，之间的距离为，点与原点的距离为，那么点所对应的数为

【例8】 一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向前走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市
⑴以超市为原点，向东作为正方向，用个单位长度表示，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置
⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？

【巩固】 在数轴上，点和点都在与对应的点上，若点以每秒个单位长度的速度向右运动，点以每秒个单位长度的速度向左运动，则秒之后，点和点所处的位置对应的数是什么？这时线段的长度是多少？

【例9】 在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为

【巩固】 数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（ ）
A. 2002或2003 B. 2003或2004
C. 2004或2005 D. 2005或2006

【例10】 在数轴上，点与点的距离为点与所对应点之间的距离的倍，那么点表示的数是多少？

板块四、相反数
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．
当时，；当时，；当时，.
⑷互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，
反之，若，则与互为相反数．
⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

【例11】 和是满足≠0的有理数，现有四个说法：
①的相反数是； ②的相反数是的相反数与的相反数的差；
③的相反数是的相反数和的相反数的乘积；
④的倒数是的倒数和的倒数的乘积．其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【巩固】 若，，且，则( ).
A.与相等 B.与互为相反数 C. 与相等 D.与相等

【例12】 如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
⑴；⑵；⑶；⑷；⑸

【例13】 已知与互为相反数，求

【例14】 和之和的次方等于，与的相反数之和的次方等于，则

【例15】 已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，求
的值

板块五、科学计数法、有效数字
科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法．
例如：就是科学记数法表示数的形式．
也是科学记数法表示数的形式．
有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
如：有两个有效数字：2，7 ；有5个有效数字：1，2，0，2，7．
注意：万，亿
常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．
记忆方法：移动几位小数点问题．比如：要科学记数法，实际就是小数点向左移动到和之间，移动了位，故记为．
【例16】 ⑴2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约米，用科学记数法表示火炬传递路程是（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
⑵截止到2008年5月19日，已有名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
（3）全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003，因此珍惜水、保护水，是我们每一位公民义不容辞的责任．其中数字0.00003用科学记数法表示为（ ）
A． 　　 B． 　C．　　 　 D．

【例17】 指出下列各近似值精确到哪一位：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 万；⑸ ；⑹

【例18】 近似数万精确到 位；有 个有效数字，分别是

【例19】 下列说法正确的是（ ）
A． 近似数与近似数的精确度相同
B． 近似数与近似数中都有三个有效数字
C． 近似数与近似数中有效数字的个数相同
D． 四舍五入精确到个位，所得近似数有一个有效数字

【巩固】 用四舍五入法，对，①保留四位有效数字 ；②保留两位有效数字 ．

【例20】 按照括号内的要求对下列个数取近似值
⑴（精确到千分位）； ⑵（保留三个有效数字）
⑶（精确到） ⑷（保留两个有效数字）

板块六绝对值

1、的几何意义是：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；
的几何意义是：在数轴上，表示数对应数轴上两点间的距离。
2、去绝对值符号的法则：

【例21】、的大小如下图所示，求的值

0

1

板块七计算

15、 16、

17、 18、 (－5)×(－7)－5×（－6）

19、 20、

21、 22、

1．小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：

　　负数表示比上月减少，正数表示比上月增加
　　（1）小胖1～6月中哪个月的体重最重，是多少？
　　（2）小胖1～6月中哪个月的体重最轻，是多少？
（3）小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？

　　2．某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：

比小明重记为正，比小明轻记为负
（1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？
（2）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？
（3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？

　　3．某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为＋10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：

　　（1）每月的销售量是多少？
　　（2）前11个月的平均销售是多少？
　　（3）要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？

4、已知数轴上A、B两点对应数为－2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x。
A B

－2 －1 0 1 2 3 4
（1） 若P为线段的三等分点，求P对应的数；

（2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由。

（3）A点、B点和P点（P在原点）分别以速度比1 ：10 ：2（长度：单位/分），向右运动几分钟时，P为的中点。

5、如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，且a，b满足
｜a＋2｜＋｜b－1｜＝0。 A B
（1）求线段的长； 0

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x－1＝ x＋2的解，在数轴上是否存在点P，使＋＝，若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由。

（3）若P是A左侧的一点，的中点为M，的中点为N，当P点在A点左侧运动时，有两个结论：＋的值不变；－的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确结论，并求出其值。