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立体几何题型总结（2015版理科）
重要定理：
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.
直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.
两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.
推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.
证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于，
因为则.
一：夹角问题
① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.
② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．
异面直线所成角：范围：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理)
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
(3)向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)
直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
向量法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有的求法
二面角的平面角，
（1）定义法：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
（2）三垂线法：（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
向量法：设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．
二、空间距离问题
两异面直线间的距离
方法一：转化为线面距离。如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
方法二：高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算,直接计算公垂线段的长度。
点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解；
向量法：点到直线距离：在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为
点到平面的距离
方法一：几何法。步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。
步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)
等体积法步骤：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S；③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.
方法二：坐标法。
线面距、面面距均可转化为点面距
三、平行与垂直问题
证明直线与平面的平行：（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.
证明平面与平面平行：（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.
证明线线垂直：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；
方法（2）：用线面垂直实现。方法（3）：三垂线定理及其逆定理。
证明线面垂直：（1）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（2）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（3）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（4）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
方法（1）：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。
面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
方法二：计算所成二面角为直角。
题型一：空间几何体的结构、三视图、旋转体、斜二测法
了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。
例1.将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
俯视图
例2.由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是．
正视图 左视图
例3.已知一个正四面体，其三视图均为边长为2的正方形，则这个正四面体的外接球的体积为．
例10：如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )
A． B．
C． D．
主视图 左视图 俯视图
例5：四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
例6：三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积是___________
例7：如图，斜三棱柱ABC—中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积．
例8：如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm），可知几何体的体积是_________
2
2
主视图
2
2
侧视图
2
1
1
俯视图
真题：
【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
【2015高考新课标2，理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A． B． C． D．
【2015高考浙江，7】如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则( )
（A）（B）（C）（D）
【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该
三棱锥的表面积是（）
A． B．
C．D．5
【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图
所示，则该几何体的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（ ）
A、B、 C、 D、
【2015高考天津，理10】一个几何体的三视图如右上图所示（单位：），则该几何体的体积为.
【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
斜二测法：
例9：一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
例10：对于一个底边在轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（）
A． 倍 B．倍 C．倍 D．倍
例11：如图，已知四边形ABCD的直观图是直角梯形A1B1C1D1，且A1B1＝B1C1＝2A1D1＝2，
则四边形ABCD的面积为( )
A．3 B．3C．6 D．6
例12：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是（ ）
旋转体：
例13：下列几何体是旋转体的是（ ）
A B C D
例14：如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
真题：
【2015高考山东，理7】在梯形中，，将梯
形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
题型二：定义考察类题型
例15：已知直线、,平面，则下列命题中假命题是( )
A．若，,则 B．若，,则
C．若，,则 D．若，,,,则
例16：给定下列四个命题：
①若一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的平面与这个面相较，则这线平行于交线
②若一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任一直线
③若两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行
④若两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两直线垂直
其中，为真命题的是( )
A．和 B．和 C．和 D．和
例17：已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，m,则m B．
C． D．
例18：已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：
①若，则； ②若，，则；
③若，则； ④若，则；
其中真命题的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例19：如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥SB B、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
例20：已知为不同的平面，A、B、M、N为不同的点，为直线，下列推理错误的是（ ）
A. B.
C. D.且A、B、M不共线重合
真题：
【2015高考福建，理7】若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【2015高考广东，文6】若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．至少与，中的一条相交 B．与，都相交
C．至多与，中的一条相交 D．与，都不相交
【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若，平行于同一平面，则与平行
（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线
（D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面
题型三：直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
证明平行的方法：
线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）。
线面平行：（1）根据定理证明（）；（2）通过面面平行的性质定理（）
F
A
B
C
P
D
E
面面平行：（1）平面中分别有两条相交线与平面的两条相交线平行 （2）平面的法向量与平面的法向量平行
例21：如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，
侧面，且，若、分别
为、的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面 平面.
例22：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD.
B
C
A
A1
B1
C1
D
E
例23：如图，直棱柱中，D，E分别是AB，的中点，=AC=CB=AB。
（Ⅰ）证明：//
（Ⅱ）求A到面的距离
例24：如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，
∠ABC=, OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点，N为BC的中点
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
例25：如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点，分别在对角线，上，且，．求证：平面．
例26：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.
例27：已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
N
M
P
D
C
Q
B
A
题型四：线与面、面与面的垂直的证明方法
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
例28：直三棱柱ABC-A1B1C1中，，E是A1C的中点，且交AC于D， ．
D
E
A1
C
B
A
C1
B1
（I）证明：平面；（II）证明：平面．
例29：如图所示，已知四棱锥的底面是菱形；
平面,
，点为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证面．
F
G
E
D
C
A
B
A1
B1
D1
C1
·
·
例30：如图，在棱长为的正方体中，分别
是的中点。
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面
A
B
C
C1
B1
A1
D
例31：如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
例32：如图所示，四棱锥P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，
M为PC的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
例33：在如图所示的几何体中，四边形是正方形，,,分别为、的中点，且．
（Ⅰ）求证：平面;
（Ⅱ）求三棱锥．
例34：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：
（2）求证：平面⊥平面
例35：如图所示，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积．
题型五：空间中的夹角
知识点：夹角的分类：线线夹角、线面夹角、面面夹角
三者在计算或证明时的转换关系：
面面 线面 线线
计算三种夹角的方法：勾股定理、向量、坐标等，对于夹角问题我们一般分为三个步骤：
①找角，②证明所找的角，
③计算所找角的大小（切记不可找出来之后不证明就开始计算）
异面直线的夹角问题：
例36：在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，与底面成30°
（1）若为垂足，求证：；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成角的正切值；
例37：如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN//平面PAD；（2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小
例38：如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
，且MD=NB=1，E为BC的中点，求异面直线
NE与AM所成角的余弦值
例39：如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是____________。
例40：已知正四面体中，各边长均为，如图所示，分别为的中点，连接，求异面直线所成角的余弦值。
例41：已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
B
M
A
N
C
S
例42：已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
（A） （B） （C） (D)
例43：如图,在正方体中，分别是的中点。
（1）若为的中点，证明：平面∥平面
（2）求异面直线与所成的角
例44：如图，四面体ABCD中，AB⊥BC，AB⊥BD，BC⊥CD，且AB＝BC＝6，BD＝8，E是AD中点，求BE与CD所成角的余弦值。
【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.
【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是．
【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
线面夹角：
例45：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=AD=2，E是PC上的一点， 设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。
例46：如图，直三棱柱中，,D、E分别是，的中点,平面.
（1）证明：AB=AC
（2）设二面角A-BD-C为，求与平面BCD所成的角的大小
真题：
【2015高考浙江，文18】如图，在三棱锥中，在底
面ABC的射影为BC的中点，D为的中点.
（1）证明：；（2）求直线和平面所成的角的正弦值.
【2014高考，文18】如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，。
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小。
【2015高考全国2，理18】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
题型六：距离问题：点线距离（定义法、等体积法、向量法、空间坐标法）；线面距离；面面距离。
例47：已知正四棱柱的地面边长为1，则棱场为2，点E为的中点，求点到平面BDE的距离。
例48：已知正四棱柱中 ，，，为的中点，则直线与平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
例49：在中,AB=15，，若所在平面外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到的距离是（ ）
A.13 B.11 C.9 D.7
例50：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
例51：为平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角的大小为，求，点B到平面的距离为_____________
例52：P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三点的距离分别是，，，则P到A点的距离是（ ）
A.1 B.2 C. D.4
例53：如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离
例54：如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=错误！未找到引用源。,AA1=3,E为CD上一点,DE=1,EC=3
(1) 证明:BE⊥平面BB1C1C;
(2) 求点B1 到平面EA1C1 的距离
例55：如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1。
（1）试判断CF是否与平面ABED平行？并说明理由；
（2）求多面体ABC－DEFG的体积。
例56：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求点E到平面ACD的距离。
例57：如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
(1) 求证：PC⊥BC；
(2) 求点A到平面PBC的距离。
题型七：求体积问题
例58：如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线；（Ⅱ）求棱锥的体积.
例59：如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
C
B
A
D
C1
A1
真题：
【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，
且，，分别为，的中点．
（I）求证：平面；（II）求证：平面平面；（III）求三棱锥的体积．
【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（I）证明：平面平面；
（II）若，三棱锥的体积为，
求该三棱锥的侧面积.
【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
题型八：翻折与展开问题及探索问题
P
E
D
F
B
C
A
例60：如图所示，等腰的底边，高，点是线段上异于点的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．
（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值．
例62：正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．
(1)求证：AP⊥EF；
(2)求证：平面APE⊥平面APF.
例63：如图4,在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中.
(1) 证明://平面;(2) 证明:平面;
(3) 当时,求三棱锥的体积.
图甲
图乙
例68：如图甲，在直角梯形中，，，，是的中点. 现 沿把平面折起，使得（如图乙所示），、分别为、边的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）试探究在上是否存在一点，使得平面,
并说明理由.
真题：
【2015高考陕西，理18】（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
（I） 证明：平面；
（II） 若平面平面，
求平面与平面夹角的余弦值．
【2014高考，文19】如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=，ED//AF且∠DAF=90°。
（1） 求BD和面BEF所成的角的余弦；（2）线段EF上是否
存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，
求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。
【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA平面ABC，.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值.
【2015高考福建，文20】如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．
【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，,
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
P
A
B
C
D
Q
【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．
【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.
B
R
O
A
r
O
R
r
A
d
经度
纬线
纬度
经线
O
地轴
P
题型九：球类问题专项练习
(1) 球的截面(—圆)的性质:
①球心O与圆心的连线O与圆面垂直
②球心与圆面的距离
(2)球面上两点A,B的球面距离
①定义:经过A,B两点的大圆的劣弧长
②求法:利用大圆O与小圆的公共弦AB,
注意劣弧AB所对的圆心角是角AOB而不是角AB
(3)经度与纬度
①纬度:某点P的纬度就是指经过这点的球半径与经过这点的纬度圈所在
的平面的夹角②经度:某点P的经度就是指经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线与地轴确定的半平面所在的二面角的大小.
(4)球内接长方体的性质: ①长方体的中心就是球心, ②长方体的对角线长就是球的直径
(5)正四面体的内切球与外接球的性质:它们是同心球,球心在正四体的高线上,内切球与外接球的半径的和等于正四面体的高,求解时可利用等体积法.
(6)球体积,球的表面积,弧长公式
一：棱锥的内切、外接球问题
例69：正四面体的外接球和内切球的半径是多少？
例70：设棱锥的底面是正方形，且，，
如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.
例71：一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为______
例72：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
例73：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为__________
例74：正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球的体积为_______________.
例75：表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A． B． C． D．
二：球类的截面问题
例76：球面上有三点、、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
例77：过球表面上一点引三条长度相等的弦、、，且两两夹角都为，若球半径为，求弦的长度．
例78：已知球的面上四点A、B、C、D，，，，则球的体积等于_______________.
例79：已知点A、B、C、D在同一个球面上，，，若，则球的体积是_______________.
例80：球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为，求这个球的半径．
例81：一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
例82：直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于
例83：正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为
【2012高考新课标文8】平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ( )
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
例84：【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
三：球面距离
例85：过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．
A．有且只有一个 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确
例86：已知、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？
例87：在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和．求球的表面积．
例88：如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则=
例89：在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是（ ）
A. B. C. D.
四：其它问题
例90：在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
例91：一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
例92：一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为．
例93：（2012新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
例94：（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=,则△OAB的面积为______________.
例95：在底面边长为2的正方体容器中，放入大球，再放入一个小球，正好可以盖住盖子（小球与大球都与盖子相切）， 求小球的半径。
例96：自半径为的球面上一点，引球的三条两两垂直的弦，求的值．
例97：在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．
例98：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为______________.
例99：设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于_____________.
例100：一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
向量法解立体几何
空间向量的坐标运算：
1.向量的直角坐标运算
设＝，＝则
(1)＋＝； (2)－＝；
(3)λ＝ (λ∈R)； (4)·＝；
2.设A，B，则
= .
3、设，，则
； .
4.夹角公式
设＝，＝，则.
5．异面直线所成角
=.
6．平面外
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