资源描述
四边形
知识脉络：
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：
因为ABCD是平行四边形Þ
4.平行四边形的判定：
.
5.矩形的性质：
因为ABCD是矩形Þ
6. 矩形的判定：
Þ四边形ABCD是矩形.
7．菱形的性质：
因为ABCD是菱形
Þ
8．菱形的判定：
Þ四边形四边形ABCD是菱形.
9．正方形的性质：
因为ABCD是正方形
Þ
（1） （2）（3）
10．正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
(3)∵ABCD是矩形
又∵AD=AB
∴四边形ABCD是正方形
11．等腰梯形的性质：
因为ABCD是等腰梯形Þ
12．等腰梯形的判定：
Þ四边形ABCD是等腰梯形
(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC
∵AC=BD
∴ABCD四边形是等腰梯形
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.
15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
一 基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.
二 定理：中心对称的有关定理
※1．关于中心对称的两个图形是全等形.
※2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
※3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.
三 公式：
1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）
2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）
3．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四 常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
※5．梯形中常见的辅助线：
边形的的性质：
（1）边形的内角和等于．
（2）任意多边形的外角和等于
（3）边形共有条对角线
（4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。
（5）正多边形的每个内角等于
四边形：
四边形的内角和等于360°, 外角和等于360°
1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；
2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，
最少没有钝角，没有直角，没有锐角；
3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．
平行四边形的性质:
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．
(2)平行四边形的对边平行且相等．
(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．
(4)平行四边形的对角线互相平分．
(5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
(6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．
平行四边形的判定:
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等
平行四边形的面积：
=BC·AE=CD·BF
同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.
=
矩形的性质：
(1)对边平行且相等。
(2)矩形的四个角都是直角．
(3)矩形的对角线相等．
(4)矩形是轴对称、中心对称图形．
(5) 矩形面积＝长×宽
矩形的判定：
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质．
(2)菱形的四条边都相等．
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)菱形是轴对称、中心对称图形．
(5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半
菱形的判定
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形．
(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．
(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．
(7)正方形的面积：若正方形的边长为，对角线长为，则
正方形的判定:
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．
(2)判定正方形的一般顺序：
①先证明它是平行四边形；
②再证明它是菱形(或矩形)；
③最后证明它是矩形(或菱形)．
梯形的判定：
(1)定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行．
(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出
等腰梯形的性质
(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．
(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．
(3)等腰梯形的对角线相等．
(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．
等腰梯形的判定
(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．
(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．
5．梯形的面积
(1) ．
(2)梯形中有关图形面积：
①．
②．
③．
6．中位线
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（三角形有三条中位线）
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。
（梯形的中位线有且只有一条）
梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中心对称图形：
定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
中心对称图形的性质：
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
轴对称图形
中心对称图形
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
沿对称轴对折
绕对称中心旋转180O
对折后与原图形重合
旋转后与原图形重合
如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形
这条直线叫做对称轴
这时,我们也说这个图形关于这条直线对称
1．定义：
平行四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
矩 形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
菱 形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
正 方 形
有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形
2．性质：
性质
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行
对边相等
对角相等
对角线互相平分
四边相等
四个角都是直角
对角线相等
对角线互相垂直
每条对角线平分一组对角
轴对称图形
中心对称图形
3．判定：
平行四边形
矩形
1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（定义）
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4．两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5．对角线互相平分的四边形是平行四边形。
1．有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（定义）
2．三个角是直角的四边形是矩形。
3．对角线相等的平行四边形是矩形。
其它：对角线相等且互相平分的四边形。
菱形
正方形
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）
2．四边相等的四边形是菱形。
3．对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
其它：1对角线垂直且互相平分的四边形是菱形。
2．一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
1．有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形。（定义）
2．一组邻边相等的矩形是正方形。
3．有一个角是直角的菱形是正方形。
其它：对角线互相平分相等且垂直的四边形是正方形。
4．面积公式
平行四边形：底×高 菱形：（1）底×高（2）对角线乘积的一半
矩形：邻边相乘 正方形：（1）（2）对角线乘积的一半
5．顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。如图一
顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的是四边形是菱形，
如矩形、等腰梯形或图二中图形等。
顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形，
如菱形或图三中图形等。
顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。
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