资源描述
浙江大学2007-2008学年春季学期
《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷
一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
1.点M（1,－1, 2）到平面的距离d = .
2.已知,,,则 .
3.设可微，,则= .
4.设在[0，1]上连续，且＞, 与为常数.,则= .
5.设为连续函数，交换二次积分次序 .
二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题
目要求的，把所选字母填入题后的括号内）
6.直线l1:与直线l2:的夹角为
（A） . （B） . （C） . （D） . [ ]
7.设为连续函数，极坐标系中的二次积分
可以写成直角坐标中的二次积分为
（A） （B）
（C） （D） [ ]
＜
8.设 为的以2为周期的余弦级数，则
（A）. （B）. （C）. （D）. [ ]
9.设则在点O处
（A）偏导数存在，函数不连续 （B）偏导数不存在，函数连续
（C）偏导数存在，函数连续 （D）偏导数不存在，函数不连续 [ ]
三、解答题
10.（本题满分10分）求曲线L：在其上点M（1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.
11.（本题满分10分）设F可微，z是由F(,确定的可微函数，并设，求.
12.（本题满分10分）设D是由曲线与直线围成的两块有界闭区域的并集，求.
13.（本题满分10分）求空间曲线L：上的点到平面的距离最大值与最小值.
14.（本题满分10分）设平面区域D=，计算二重积分.
15.（本题满分5分）设当y＞0时可微，且已知
. 求.
浙江大学2007－2008学年春季学期
《微积分II》课程期末考试试卷答案
一、填空题（每小题5分，共25分）
1．.
2．.
3．
4．，
.
5．
或 或 .
二、选择题（每小题5分，共20分）
6．选（B）. l1的方向向量，l2的方向向量，.
7．选（D）. 积分区域，化成直角坐标后故知选（D）.
8．选（C）. .
9．选（A）. ，偏导数存在.
取，
随k而异，所以不连续．
三、解答题（10～14每题10分，15题5分，共55分）
10．由L，视x为自变量，有
以代入并解出，得
，
所以切线方程为
，
法平面方程为
，即.
11．.
12．D在第一象限中的一块记为D1，D在第三象限中的一块记为D2，
.
所以，原式.
13．L上的点到平面的距离为，它的最大值点，最小值点与的一致，用拉格朗日乘数法，设，
求偏导数，并令其为零有：
，，
， ，
．
解之得两组解. 所以当时，最小；当时，最大.
14．将分成如图的两块，的圆记为D1，另一块记为D2
+
15．由，有，从而知，又由，推知
，
所以，.
注：若用凑的办法亦可：
所以，．
．
浙江大学2006–2007学年春季学期
《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷
开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟
考生姓名： _____学号： 专业： ________
题序
一
二
三
四
五
六
七
总 分
得分
评卷人
一、 填空题（每小题5分，满分30分）
1． 直线在平面上的投影直线方程为
.
2． 数量场在点的梯度为
函数在P点沿的方向导数为 .
3． 设 具有二阶连续偏导数，则
.
4． 设，则.
5． 已知曲面与椭球面在第一卦限内相切，则切点坐标为
，公共切平面方程为.
6． 设函数，，其中
，则
二、 （满分10分）求直线 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
三、 （满分10分）计算.
四、 (满分15分)已知由方程确定，试求.
五、 （满分15分）设平面为曲线上的点
到平面的距离，求的最大，最小值 .
六、 (满分15分)如图是一块密度为（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R的半圆直 径上拼上一个矩形，矩形的另一边为h）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h；2.薄板绕x轴旋转的转动惯量.
七、 (满分5分) 求证:当时，成立不等式 .
参考解答：
一．1．； 2. ；
3. ；
4. 5. 6. .
二．直线：
曲面上点直线上点
则旋转曲面方程：
三．
四．
五．
最小距离：，最大距离：
六．形心：
即
七．设
且对固定的， 当当
所以，取得最小值且为0，则 ，即
1、已知,则_____________.
2、已知,则___________.
3、函数在点取得极值.
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
____________________.
6 知与均收敛,则常数的取值范围是( c ).
(A) (B) (C) (D)
7 数在原点间断,
是因为该函数( b ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、若,,,则下列关系式成立的是( a).
(A) (B) (C) (D)
9、方程具有特解( d ).
(A) (B)
(C) (D)
10、设收敛，则( d ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.
11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.解：的函数为。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式 (3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设，则
， ，
， (3分)
(6分)
14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.
解：
令,得,,为极小值点. (3分)
故在下的极小值点为,极小值为 (6分)
15、计算.
解： (6分)
6、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
解：＝＝ (6分)
17、解微分方程.
解：令,,方程化为,于是
(3分)
(6分)
18、判别级数的敛散性.
解： (3分)
因为
19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于,已知 ,, (3分)
那么 ,. (6分
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
，
求最优广告策略 解：公司利润为
令即
得驻点,而 (3分)
,,,
,
所以最优广告策略为：
电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设，证明：.
证：
22、若与都收敛,则收敛.
证：由于, (3分)
并由题设知与都收敛,则收敛,
从而收敛。 (6分)
1、设，则_____________.
2、已知，则＝___________.
3、设函数在点取得极值，则常数
4、已知,则________
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
__________________.
6、已知与均收敛,
则常数的取值范围是( ).
(A) (B) (C) (D)
7、对于函数,点( ).
(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点
(C) 是极大值点 (D) 是极小值
8、已知,,其中为,则( ).
(A) (B) (C) (D)
9、方程具有特解( ).
(A) (B)
(C) (D)
10、级数收敛，则级数( ).
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 敛散性不定
11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限.
13、设,求.
14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值.
15、计算.
16、计算二重积分,其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程.
18、判别级数的敛散性.
19、将函数展开成的幂级数.
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产单位甲产品,生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.
21、设,证明
.
22、若与都收敛,则收敛.
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
（）
2、计算广义积分= 。（）
3、设，则 。（）
4、微分方程具有 形式的特解.（）
5、设，则_________。（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、的值为 （ A ）
A.3 B.0 C.2 D.不存在
2、和存在是函数在点可微的 （ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （D ）。
A. ； B. ；
C、； D.
4、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，则其通解为 （C ）。
A.； B.；
C.； D.
5、无穷级数(为任意实数) （D）
A、收敛 B、绝对收敛 C、发散 D、无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：。
解： …（3分）
…（6分）
2、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解： …（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：方程两边对求导得:
,有 …（3分）
方程两边对求导得:
,有 …（6分）
4、求函数的极值。
解：，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和. …（2分）
对有，，，
于是，所以是函数的极大值点，且 …（4分）
对有，，，
于是， 不是函数的极值点。
6、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域；
解：. …（4分）
…（6分）
7、已知连续函数满足，且，求。
解：关系式两端关于求导得：
即 …（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：
= …（5分）
又，即，故，所以 …（6分）
8、求解微分方程=0 。
解：令，则，于是原方程可化为： …（3分）
即，其通解为 …（5分）
即
故原方程通解为： …（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：令,幂级数变形为,. …（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是, …（5分）
那么的收敛区间为. …（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
解：因为 …（2分）
由比值判别法知收敛()， …（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数收敛,证明级数也收敛。
证：， …（3分）
而由已知收敛，故由比较原则，也收敛。 …（5分）
2、设,其中为可导函数, 证明.
证明：因为, …（2分）
…（4分）
所以. …（5分）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
（）
2、计算广义积分= 。（）
3、设，则 。（）
4、微分方程具有 形式的特解.（）
5、级数的和为 。（）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、的值为 （ B ）
A、0 B、3 C、2 D、不存在
2、和在存在且连续是函数在点可微的 （ B ）
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面和及柱面所围的体积是 （ B ）
A. ； B. ；
C、； D.
4、设二阶常系数非齐次微分方程有三个特解，，，则其通解为 （D）
A、； B、；
C、 ； D、
5、无穷级数(为任意实数) （A）
A、无法判断 B、绝对收敛 C、收敛 D、发散
三、计算题(每小题6分,共60分)
1、求下列极限：。
解： …（3分）
…（6分）
2、求由在区间上,曲线与直线、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积。
解： …（4分）
…（6分）
3、求由所确定的隐函数的偏导数。
解：（一）令
则 ， ，
利用公式，得
…（3分）
…（6分）
（二）在方程两边同时对x求导，得
解出
， …（3分）
同理解出 …（6分）
4、求函数的极值。
解：，则
，，
，，
求驻点，解方程组得和. …（2分）
对有，，，
于是，所以点不是函数的极值点. …（4分）
对有，，，
于是，且，所以函数在点取得极小值, …（6分）
…（5分）
6、计算二重积分,其中是由及所围成的闭区域；
解： …（4分）
…（6分）
7、已知连续函数满足，求。
解：关系式两端关于求导得：
即 …（2分）
这是关于的一阶线性微分方程，其通解为：
…（5分）
又，即，故，所以 …（6分）
8、求微分方程的通解。
解 这是一个不明显含有未知函数的方程
作变换 令 ，则，于是原方程降阶为
…（3分）
， 分离变量，积分得
即 ，从而 …（5分）
再积分一次得原方程的通解
y＝ …（6分）
9、求级数的收敛区间。
解：令,幂级数变形为,. …（3分）
当时,级数为收敛；
当时,级数为发散.
故的收敛区间是, …（5分）
那么的收敛区间为. …（6分）
10、 判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：
解：因为 …（2分）
由比值判别法知收敛()， …（4分）
从而由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设级数收敛，证明也收敛。
证：由于， …（3分）
而,都收敛，故收敛，由比较原则知 收敛.。…（5分）
2、设,证明:。
证明： 因为
, …（2分）
, , …（4分）
所以 …（5分）
中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案
06年A卷
评分
阅卷人
1、已知,则_____________.
2、已知,则___________.
3、函数在点取得极值.
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
____________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
评分
阅卷人
7 知与均收敛,
则常数的取值范围是( ).
(A) (B) (C) (D)
8 数在原点间断,
是因为该函数( ).
(A) 在原点无定义
(B) 在原点二重极限不存在
(C) 在原点有二重极限,但无定义
(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、若,,
,则下列关系式成立的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
9、方程具有特解( ).
(A) (B)
(C) (D)
10、设收敛，则( ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
评分
评分
评阅人
11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评分
评阅人
12、求二重极限 .
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13、由确定，求.
评分
评阅人
14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.
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评阅人
15、计算.
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评阅人
16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
评分
评阅人
17、解微分方程.
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18、判别级数的敛散性.
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19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
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评阅人
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
，
求最优广告策略.
四、证明题(每小题5分,共10分)
评分
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评阅人
21、设，证明：.
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评阅人
22、若与都收敛,则收敛.
答案
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.
二、选择题(每小题3分,共15分)
6、(C ). 7、 (B). 8、(A ) . 9、(D). 10、(D).
三、计算题(每小题6分,共60分)
11、求由,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
解：的反函数为。且时，。于是
12、求二重极限 .
解：原式 (3分)
(6分)
13、由确定，求.
解：设，则
， ，
， (3分)
(6分)
14、用拉格朗日乘数法求在条件下的极值.
解：
令,得,,为极小值点. (3分)
故在下的极小值点为,极小值为 (6分)
15、计算.
解： (6分)
16、计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
解：＝＝ (6分)
17、解微分方程.
解：令,,方程化为,于是
(3分)
(6分)
18、判别级数的敛散性.
解： (3分)
因为 (6分)
19、将函数展开成的幂级数,并求展开式成立的区间.
解：由于,已知 ,, (3分)
那么 ,. (6分)
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
，
求最优广告策略.
解：公司利润为
令即
得驻点,而 (3分)
,,,
,
所以最优广告策略为：
电台广告费用(万元),报纸广告费用(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设，证明：.
证： (3分)
(6分)
22、若与都收敛,则收敛.
证：由于, (3分)
并由题设知与都收敛,则收敛,
从而收敛。 (6分)
06年B卷
一、填空题(每小题3分,共15分)
评分
阅卷人
1、设，则_____________.
2、已知，则＝___________.
3、设函数在点取得极值，则常数
.
4、已知,则________.
5、以(为任意常数)为通解的微分方程是
__________________.
二、选择题(每小题3分,共15分)
评分
阅卷人
6、已知与均收敛,
则常数的取值范围是( ).
(A) (B) (C) (D)
7、对于函数,点( ).
(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点
(C) 是极大值点 (D) 是极小值点
8、已知,,其中为,则( ).
(A) (B) (C) (D)
9、方程具有特解( ).
(A) (B)
(C) (D)
10、级数收敛，则级数( ).
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 敛散性不定
三、计算题(每小题6分,共60分)
评分
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评阅人
11、求,,所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
评分
评阅人
12、求二重极限.
评分
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13、设,求.
评分
评阅人
14、用拉格朗日乘数法求在满足条件下的极值.
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15、计算.
评分
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16、计算二重积分,其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域.
评分
评阅人
17、解微分方程.
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18、判别级数的敛散性.
评分
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19、将函数展开成的幂级数.
评分
评阅人
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产单位甲产品,生产单位乙产品的总费用为,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.
四、证明题(每小题5分,共10分)
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21、设,证明
.
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22、若与都收敛,则收敛.
07年A卷
一、填空题(每小题3分,共15分)
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阅卷人
1、设，且当时，，则 .
2、计算广义积分= .
3、设，则 .
4、微分方程具有 形式的特解.
5、设，则_________
二、选择题(每小题3分,共15分)
评分
阅卷人
6、的值为( ).
(A) (B) (C) (D)不存在
7、和存在是函数在点可微的( ).
(A) 必要非充分的条件 (B) 充分非必要的条件
(C) 充分且必要的条件 (D) 即非充分又非必要的条件
8、由曲面和及柱面所围的体积是( ).
(A) (B)
(C) (D)
9、设二阶常系数非齐次线性方程有三个特解，，，则其通解为( ).
(A) (B)
(C) (D)
10、无穷级数 (为任意实数) ( ).
(A) 收敛 (B) 绝对收敛
(C) 发散 (D) 无法判断
三、计算题(每小题6分,共60分)
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11、求极限.
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12、求由与直线、、所围图形绕轴旋转的旋转体的体积.
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13、求由所确定的隐函数的偏导数.
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14、求函数的极值.
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15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)的及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下的经验公式:
.
若提供的广告费用为万元,求相应的最优广告策略.
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16、计算积分,其中是由直线及所围成的闭区域.
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17、已知连续函数满足，且，求.
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18、求解微分方程=0.
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19、求级数的收敛区间.
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20、判定级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛.
四、证明题(每小题5分,共10分)
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21、设正项级数收敛,证明级数也收敛.
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评阅人
22、设,其中为可导函数, 证明
.
07（A）卷参考答案
（可能会有错误大家一定要自己核对）
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设，且当时，，则 。
（）
2、计算广义积分=
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