高中数学立体几何中动态问题及探索问题组卷有详细复习资料.doc

立体几何动态问题及探索问题

一．选择题（共11小题）
1．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A．
AC⊥SB

B．
AB∥平面SCD

C．
SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．
AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
2．（2009•中山模拟）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
3．（2007•东城区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（　　）

A．

B．

C．

D．

　4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有（　　）

A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
5．△ABC所在平面外一点P，分别连接PA、PB、PC，则这四个三角形中直角三角形最多有（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个
6．如图：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=a，若PA⊥面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是（　　）

A．
a＞4
B．
a≥4
C．
0＜a＜4
D．
0＜a≤4
7．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（　　）
①AA1⊥MN ②异面直线AB1，BC1所成的角为60°
③四面体B1﹣D1CA的体积为 ④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
8．设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（　　）

A．
平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B．
它们两两都垂直

C．
平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直

D．
平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
9．（2014•濮阳二模）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如图，正方体AC1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

A．
AC1⊥平面A1BD
B．
H是△A1BD的垂心

C．
AH=
D．
直线AH和BB1所成角为45°
11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）

A．
MC⊥AN
B．
GB∥平面AMN
C．
面CMN⊥面AMN
D．
面DCM∥面ABN
二．填空题（共7小题）
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当=　_________　时，D1E⊥平面AB1F．

13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的　_________　心；
（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的　_________　心；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的　_________　心；
（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的　_________　心．
14．如图，平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③平面ABC⊥β；
④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．
其中能成为增加条件的是　_________　．（把你认为正确的条件的序号都填上）

15．（2007•江西），正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题：　_____　
A．点H是△A1BD的垂心；B．AH垂直平面CB1D1；C．二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值为；
D．点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）

16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（I）求证：AD⊥PC；
（II）求三棱锥P﹣ADE的体积；
（III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为　_________　（写出所有正确结论的序号）．

18．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为　_________　．

三．解答题（共12小题）
19．（2014•德阳模拟）如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，使∠CAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥C﹣BOD的体积；
（2）求证：CB⊥DE；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．

20．（2014•江西一模）如图，∠ACB=45°，BC=6过A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，沿AD将△ABD折起，组成三棱锥A﹣BCD，过点D作DE⊥平面ABC，且点E为三角形ABC的垂心．
（1）求证：△BDC为直角三角形．
（2）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大？并求出其最大值．

21．（2014•江门一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数λ，使PC⊥平面ADE？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

22．（2013•辽宁一模）如图，直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2．
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．

23．（2013•石景山区一模）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求直线AB与平面PDC所成角；
（3）设点E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

24．（2013•成都模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）设平面PAB∩平面PCD=m，求证：CD∥m；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅲ）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为，求的值．

25．（2013•眉山二模）如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，CD=2AB=2AD．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）在EC上找一点M，使得BM∥平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明．

26．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

27．（2014•江西模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．

28．（2014•淮南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PBQ；
（Ⅱ）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PA∥平面BMQ．

29．（2014•荆门模拟）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAD；
（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
（3）若M为线段AB上靠近A的一个动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？

30．（2014•衡阳三模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若点M在线段EF上移动，试问是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成的二面角为45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．（2011•辽宁）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A．
AC⊥SB

B．
AB∥平面SCD

C．
SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．
AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
综合题；探究型．
分析：
根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
解答：
解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，
而△SAO≌△CSO，
∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
点评：
此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．

2．（2009•中山模拟）如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
综合题．
分析：
①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
②此时AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．
③因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC．因为AC∩CD=C，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
④若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
解答：
解：①因为AC⊥β，且EF⊂β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF⊂α所以EF⊥AB．
因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成为增加的条件．
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．
③AC与CD在β内的射影在同一条直线上
因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．
所以EF与CD在β内的射影垂直，
AC与CD在β内的射影在同一条直线上
所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成为增加的条件．
④若AC∥EF则AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成为增加的条件．
答案为：①③．
故选B．
点评：
本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件，这种题型比较注重基础知识的灵活变形，是个易错题．

3．（2007•东城区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系．
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．
解答：
解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN
∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
故动点M的轨迹肯定过点D和点N
而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面
线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线
故选A
点评：
本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题

4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，且AD=3AB，点E是底面的边BC上的动点，设，则满足PE⊥DE的λ值有（　　）

A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
连接AE，根据三垂线定理可得AE⊥DE，所以E在以AD为直径的圆上，根据AD=3AB，可得E在以AD为直径的圆与BC有两个交点，故可得结论．
解答：
解：连接AE，则
∵PA⊥底面ABCD，PE⊥DE，
∴根据三垂线定理可得AE⊥DE，
∴E在以AD为直径的圆上，
∵AD=3AB，
∴E在以AD为直径的圆与BC有两个交点，
∴满足PE⊥DE的λ值有2个．
故选C．
点评：
本题考查三垂线定理，考查直线与圆的位置关系，判定E在以AD为直径的圆上是关键．

5．△ABC所在平面外一点P，分别连接PA、PB、PC，则这四个三角形中直角三角形最多有（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角，则可知三棱锥四个面都是直角三角形，从而可得结论．
解答：
解：如果一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．
因为BC⊥VA的射影AB，所以VA⊥平面ABC的斜线VB，
所以∠VBC是直角．
由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．
因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．
所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．
故选A．
点评：
本题重点考查线面垂直的判定与性质，考查学生的探究能力，属于基础题．

6．如图：已知矩形ABCD中，AB=2，BC=a，若PA⊥面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是（　　）

A．
a＞4
B．
a≥4
C．
0＜a＜4
D．
0＜a≤4

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
由线面垂直的判定得到PA⊥DE，又PE⊥DE，由线面垂直的判定得到DE⊥平面PAE，得到DE⊥AE，说明E为以AD为直径的圆上的点．从而得到a的取值范围．
解答：
解：∵PA⊥平面AC，
∴PA⊥DE，
又∵PE⊥DE，PA∩PE=P，
∴DE⊥平面PAE，
∴DE⊥AE．
即E点为以AD为直径的圆与BC的交点．
∵AB=2，BC=a，满足条件的E点有2个
∴a＞2AB=4．
故选：A．
点评：
本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．

7．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别在线段AB1，BC1上，且AM=BN，给出以下结论：其中正确的结论的个数为（　　）
①AA1⊥MN
②异面直线AB1，BC1所成的角为60°
③四面体B1﹣D1CA的体积为
④A1C⊥AB1，A1C⊥BC1．

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角．
专题：
计算题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：
根据正方体的性质和线面平行、性质的性质，可证出AA1⊥MN，得到①正确；根据异面直线所成角的定义与正方体的性质可得异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；根据正方体、锥体的体积公式加以计算，可得
四面体B1﹣D1CA的体积为，得到③正确；利用线面垂直的判定与性质，结合正方体的性质可证出A1C⊥AB1且A1C⊥BC1，得到④正确．即可得到本题答案．
解答：
解：对于①，分别作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E、F，连结EF
由AM=BN利用正方体的性质，可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF，可得MN∥平面ABCD
∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥MN，因此可得①正确；
对于②，连结B1D1、AD1，可得∠B1AD1就是异面直线AB1，BC1所成的角
∵△B1AD1是等边三角形，∴∠B1AD1=60°
因此异面直线AB1，BC1所成的角为60°，得到②正确；
对于③，四面体B1﹣D1CA的体积为
V=﹣4=1﹣4×=，得到③正确；
对于④，根据A1B1⊥平面BB1C1C，得到A1B1⊥BC1，
由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1C，
结合A1C⊂平面A1B1C，得A1C⊥BC1，同理可证出A1C⊥AB1，从而得到④正确
综上所述，四个命题都是真命题
故选：D

点评：
本题给出正方体中的几个结论，判断其正确与否，着重考查了正方体的性质、线面垂直与平行的判定与性质、异面直线所成角的定义与求法和锥体体积公式等知识，属于中档题．

8．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是（　　）

A．
平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直

B．
它们两两都垂直

C．
平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直

D．
平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
计算题．
分析：
由P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，知AB⊥BC，PA⊥BC，故BC⊥面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC；由P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，知AD⊥AB，PA⊥AD，故AD⊥面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．
解答：
解：∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，
∴AB⊥BC，PA⊥BC，
∴BC⊥面PAB，
∵BC⊂面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC；
∵P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，
∴AD⊥AB，PA⊥AD，
∴AD⊥面PAB，
∵AD⊂面PAD，
∴平面PAB⊥平面PAD．
故选A．
点评：
本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

9．（2014•濮阳二模）如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
直线与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
因为总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．
解答：
解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB，
∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．
故选A．

点评：
本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

10．（2010•湖北模拟）如图，正方体AC1的棱长为1，连接AC1，交平面A1BD于H，则以下命题中，错误的命题是（　　）

A．
AC1⊥平面A1BD
B．
H是△A1BD的垂心

C．
AH=
D．
直线AH和BB1所成角为45°

考点：
直线与平面垂直的判定；三角形五心；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．
专题：
计算题．
分析：
如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：
①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．
（注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）
解答：
解：正方体的体对角线AC1有以下性质：
①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．
故选项A，B，C正确，
故选D．
点评：
本题主要考查正方体体对角线的性质，对正方体要视为一种基本图形来看待，考查空间想象能力，属基础题．

11．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，MD=BN=1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）

A．
MC⊥AN
B．
GB∥平面AMN
C．
面CMN⊥面AMN
D．
面DCM∥面ABN

考点：
直线与平面垂直的判定．
专题：
计算题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：
由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案．
解答：
解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，
∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示
对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线
因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故A正确；
对于B，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D
而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故B正确；
对于C，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角
所以面CMN⊥面AMN不成立，故C不正确；
对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故D正确
故选：C

点评：
本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假．着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

二．填空题（共7小题）
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当=　1　时，D1E⊥平面AB1F．

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
证明题；空间位置关系与距离．
分析：
要D1E⊥平面AB1F，先确定D1E⊥平面AB1F内的两条相交直线，由三垂线定理易证D1E⊥AB1，同理证明D1E⊥AF即可．
解答：
解：连接A1B，则A1B是D1E在面ABB1A内的射影
∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1，
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．
连接DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．
∵ABCD是正方形，E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F．
∴=1时，D1E⊥平面AB1F．
点评：
本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力．

13．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的　垂　心；
（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的　内　心；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的　垂　心；
（4）若PA、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的　外　心．

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三边的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OE=OF=OD，三线段分别垂直于对应的边，可得其为内心；同理可得P到△ABC三个顶点的距离相等，则O是△ABC的外心；PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心．
解答：
解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
（1）若PA、PB、PC两两互相垂直，由可证得BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，即此时点O是三角形三边高的交点，故此时点O是三角形的垂心，故应填：垂．
（2）若P到△ABC三边的距离相等，E，F，D分别是点P在三个边上的垂足，故可证得OE，OF，OD分别垂直于三边且相等，由内切圆的加心的定义知，此时点O是三角形的内心，故应填：内；
（3）若PA⊥BC，PB⊥AC，因为PO⊥底面ABC，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心；故应填：垂．
（4）若PA、PB、PC与地面ABC成等角，由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，故应填：外；
综上，三空答案依次应为垂、内、垂、外

点评：
本题考查棱锥的结构特征，三角形五心的定义，考查逻辑思维能力，是基础题．

14．如图，平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面4个条件：
①AC⊥β；
②AC与α，β所成的角相等；
③平面ABC⊥β；
④AC与BD在β内的射影在同一条直线上．
其中能成为增加条件的是　①③④　．（把你认为正确的条件的序号都填上）

考点：
直线与平面垂直的性质．
专题：
探究型；空间位置关系与距离．
分析：
要增加一个条件，推出BD⊥EF，由AB⊥α，CD⊥α，则平面ABDC与EF垂直，需要加一个条件能够使得线与面垂直，把几个选项逐个分析，得到结论．
解答：
解：要增加一个条件，推出BD⊥EF，
∵AB⊥α，CD⊥α，∴平面ABDC与EF垂直，
∴需要加一个条件能够使得线与面垂直，
①通过线面垂直得到线线垂直，使得EF垂直于平面ABDC，所以①可以成为增加的条件；
②AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直，所以②不可以成为增加的条件；
③因为平面ABC⊥β，平面ABDC⊥α，α∩β=EF，所以EFEF⊥平面ACBD，所以③可以成为增加的条件；
④因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD，所以EF与CD在β内的射影垂直，
因为AC与BD在β内的射影在同一条直线上，所以EF⊥AC
因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，所以④可以成为增加的条件．
故答案为：①③④
点评：
本题是个开放性的命题，解决此类问题关键是熟记相关的平行与垂直的定理，准确把握定理中的条件．

15．（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有下列四个命题：　ABC　
A．点H是△A1BD的垂心；
B．AH垂直平面CB1D1；
C．二面角C﹣B1D1﹣C1的正切值为；
D．点H到平面A1B1C1D1的距离为其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）

考点：
直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
结合正方体图形，逐一判断选项，求得结果即可．
解答：
解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；
面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，B正确；
连接A1C1∩B1D1=O⇒∠COC1即为二面角C﹣B1D1﹣C1的平面角，，C正确；
对于D，连接AC1，⇒AC1⊥面A1BD，故点H是AC1
的三等分点，故点H到平面A1B1C1D1的距离为．从而D错．
则应填ABC．
点评：
本题考查直线与平面垂直的判定，二面角及其度量等知识，考查空间想象能力，是基础题．

16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（I）求证：AD⊥PC；
（II）求三棱锥P﹣ADE的体积；
（III）在线段AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（I）根据线面垂直证明线线垂直即可；
（II）利用三棱锥的换底性，求得棱锥的高与底面面积，再利用体积公式计算即可；
（III）假设存在，根据线面平行的条件，判断M点的位置，再求AM的长即可．
解答：
解：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD．
又因为ABCD是矩形，∴AD⊥CD．
又∵PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD．
又∵PC⊂平面PCD，
∴AD⊥PC．
（II）∵AD⊥平面PCD，VP﹣ADE=VA﹣PDE，
∴AD是三棱锥A﹣PDE的高．
∵E为PC的中点，且PD=DC=4，
∴S△PDE=S△PDC==4，
∴VP﹣ADE=VA﹣PDE==．
（III）取AC中点M，连结EM、DM，
∵E为PC的中点，M是AC的中点，
∴EM∥PA，
又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，
∴PA∥平面EDM．
AM=AC=
即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为．

点评：
本题考查直线与平面垂直的判定、棱锥的体积计算及线面平行的判定．

17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：
①A1C⊥平面B1EF；
②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线．
其中正确结论的序号为　②③　（写出所有正确结论的序号）．

考点：
直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
①找出A1C所垂直的平面的位置，进而可知EF为其它位置时不垂直；
②先作出其正投影，即可判断出结论；
③利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出．
解答：
解：①知道当点E与D1重合、点F与A重合时，A1C⊥平面AB1D1（即平面B1EF），而EF为其它位置时不垂直，故不正确；
②如图所示，EF在侧面BCC1B1上的正投影为BE1，则△BB1E1的面积=，为定值，因此正确；
③如图2所示，在边B1B上取B1M=D1E，连接EM；在平面ABB1A1内作MN∥AB交B1F于N点，连接EN，则EN∥平面A1B1C1D1．
综上可知：只有②③正确．
故答案为②③．

点评：
熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理及正投影是解题的关键．

18．在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为　45°　．

考点：
平面与平面垂直的性质．
专题：
计算题．
分析：
折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．
解答：
解：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH2=（3cos