八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题.doc

金老师复习（2） 一元二次方程
（一）、一元二次方程的概念
1．理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式（a>0）；
2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
（1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
3． 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
（二）、一元二次方程的解法
1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
3．值得注意的几个问题：
(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.
形如的方程的解法：当时，;当时，;当时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程的根
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；
当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；
当时，方程无实数根.
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
（4）因式分解法：
因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。
（三）、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）=
（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）
①当方程有实数根；②当方程无实数根；
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。
例：求证：方程无实数根。
（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。
（四）、一元二次方程的应用
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。
（五）新题型与代几综合题
（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？
（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？
(3) 已知：分别是的三边长，当时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求证：是直角三角形。
（4） 已知：分别是的三边长，求证：方程没有实数根。
（5） 当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数？
（6） 已知关于的方程，其中为实数，（1）当为何值时，方程没有实数根？（2）当为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。
答案：（1）（2）.
（六）相关练习
（一） 一元二次方程的概念
1．一元二次方程的项与各项系数
把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：
（1）
（2）
2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) 为何值时，关于的方程是一元二次方程。
（2） 若分式，则
3．由方程的根的定义求字母或代数式值
(1)关于的一元二次方程有一个根为0，则
(2) 已知关于的一元二次方程有一个根为1，一个根为，则，
（二）一元二次方程的解法
1．开平方法解下列方程：
（1） (2)

2．配方法解方程：
（1） (2) \

3．公式法解下列方程：
（1） （2）

4．因式分解法解下列方程：
（1） (2) （3）

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：
(1) (2)

（三）一元二次方程的根的判别式
1．不解方程判别方程根的情况：
（1）4 （2） (3)

2．为何值时，关于x的二次方程
（1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根

3.为何值时，方程有实数根.

（四）一元二次方程的应用
1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

2.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

3． 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？