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三角形
第一讲 与三角形有关的线段
1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC.三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
2.三角形三边的不等关系
三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。
3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
三角形的三条高相交于一点。
4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）
5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.
三角形三个角的平分线相交于一点
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
6.三角形的稳定性:

例1.一个等腰三角形的周长为32 cm，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.

例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.

例4.已知等腰三角形的周长是16cm．
（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；
（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；
  （3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．

例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

例6.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

※例7.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC=8，P是BC上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E.若△ABC的面积为14，问：PD+PE的值是否确定？若能确定，是多少？若不能确定，请说明理由.

【课堂练习】
1.下列说法错误的是( ).
A.三角形的三条高一定在三角形内部交于一点； B.三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点
C.三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点；D.三角形的三条高可能相交于外部一点
2.有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( )
A.1、2、3 B.1、2、4 C.2、3、4 D.2、3、6
3.已知三角形的周长为15cm，且其中的两边都等于第三边的2倍，则此三角形的最短边为（ ）
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
4.已知三角形的三边长分别为4、5、x，则x不可能是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5.等腰三角形的底边BC=8 cm，且|AC－BC|=2 cm，则腰长AC为( )
A.10 cm或6 cm B.10 cm C.6 cm D.8 cm或6 cm
6.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是[ ]
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
8.如图,在△ABF中，∠B的对边是（ ）
A.AD B.AE C.AF D.AC

9.图中三角形的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
10.已知，如图所示，△ABC的顶点坐标分别为A(-4,-3),B(0,-3),C(-2,1)，如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1,△AB1C的面积为S2,则S1,S2的大小关系为（ ）
A. S1>S2 B. S1=S2 C.S1<S2 D. 不能确定
11.如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A,B是方格纸的两个格点（即正方形的顶点），在这个的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位的三角形的个数是( ).
　 　A.8 　　　 B.9 　　　 C.10 　　　 D.11
12.图中有 个三角形，用符号表示为

13.图中共有 个三角形。
14.如图，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ =∠ ；E在AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的 ；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB.
15.如图,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE=
16.如图,以AD为高的三角形共有

17.如图，AB⊥BD于B, DC⊥AC于C,AC与BD交于点E,则△ADE的边DE上的高为 ，AE上的高为
18.长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有 种选法，它们分别是
19.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是____．
若x是奇数，则x的值是______；这样的三角形有______个；若x是偶数，则x的值是______；这样的三角形又有________个．
20.现有8根木棒，它们的长分别是1,2,3,4,5，6,7,8，若从8根木棒中抽取3根拼成三角形，要求三角形的最长边为8，另两边之差大于2，那么可以拼成的不同的三角形的有 种。
21.一个三角形的两边长分别是3和8，则第三边的范围是
22.如上图，BD=DE=EF=FC，那么，AE是_____的中线。
23.三角形三边的比是3∶4∶5，周长是96cm，那么三边分别是________cm.
24.已知等腰三角形的周长是25cm，其中一边长为10cm，求另两边长________
25.已知a,b,c是三角形的三边长，化简|a-b+c|+|a-b-c|.

26.已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b-2）2+│c-3│=0，且a为方程│x-4│=2的解，求△ABC的周长，判断△ABC的形状．

27.已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？

28.已知，△ABC的周长为18 cm，BE、CF分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交BC于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.

29.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm, 求AD的长.

30.在△ABC中,高CE,角平分线BD交于点O, ∠ECB=50°,求∠BOC的度数.

31.如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6厘米，AC=8厘米，BC＝10厘米，∠CAB=900,试求：
（1）AD的长；
（2） △ABE的面积；
（3） △ACE与 △ABE的周长的差。

【课后练习】
1.如图，以BC为公共边的三角形的个数是（　　）
Ａ.2 Ｂ.3 Ｃ.4 Ｄ.5

2.如图，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是（ ）
A.OE为△ABD中AB边上的高 B.OD为△BCE中BC边上的高
C.AE为△AOC中OC边上的高 D.OF为△AOC中AC边上的高
3.如图，在△ABC中EF∥AC，BD⊥AC于D，交EF于G，则下面说话中错误的是（ ）
A.BD是△ABC的高 B.CD是△BCD的高 C.EG是△ABD的高 D.BG是△BEF的高
4.在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（ ）
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
5.若三条线段中a=3，b=5，c为奇数，那么由a,b,c为边组成的三角形共有（　　）
A．1个 B.3个 C.无数多个 D.无法确定
6.如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（　　）
A. B. C. D.
7.三角形的一条高是一条（ ）
A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线
8.下列说法中，正确的是（ ）
A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部
C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部
9.下列说法正确的是〔 〕
A.直角三角形只有一条高 B.三角形的三条中线相交于一点
C.三角形的三条高相交于一点 D.三角形的角平分线是射线
10.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取〔 〕的木棒.
A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm
11.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm
12.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm，则此三角形的周长为（ ）
A.15cm B.18cm C.15cm或18cm D.不能确定
13.下列各组给出的三条线段中不能组成三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.3a，4a，5a C.3+a，4+a，5+a D.三条线段之比为3∶5∶8
14.在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,则S△ABC=
15.若为的三边，则______（填“＞，＝，＜”）．
16.如图，在△ABC中，BC边上的高是________；在△AFC中，CF边上的高是________；在△ABE中，AB边上的高是________

17.如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ABH的三条高是_______，这三条高交于________.BD是△________、△________、△________的高.
18.两根木棒的长分别为7cm和10cm．要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那么，第三根木棒长（cm）的范围是______
19.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.
20.用7根火柴首尾顺次连结摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数是__________
21.小鹏同学有长分别为10cm，8cm，9cm，2cm的四根小木棒，用来钉成三角形.请你帮他设计，可钉成几种不同的三角形.

22.已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.

23.已知BD是△ABC的中线，AC长为5cm，△ABD与△BDC的周长差为3cm.AB长为3cm，求BC的长.

24.在△ABC中,AB=AC, AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

25.两根木棒长分别为3厘米和6厘米，要截取其中一根木棒将它钉成一个三角形，如果要求三边长为整数，那么截取的情况有几种？

26.如图，△ABC中,AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠C=600，∠B=280，求∠DAE的度数。

27.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）∠ABE=15°，∠BAD=40°，求∠BED的度数；（2）在△BED中作BD边上的高；
(3）若△ABC的面积为40，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

28.如图，在三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，BC=16，AD＝3，BE=4，CF=6，你能求出三角形ABC的周长吗？

29.一块三角形的试验田，须将该试验田划分为面积相等的四小块，种植四个不同的优良品种，涉及两种以上的划分方案，并作图说明.

【能力提高】
1.如果三角形的三边长是三个连续自然数,则下面判断错误的是 ( ).
A.周长大于6 B.周长可以被6整除 C.周长可以被3整除 D.周长有时是奇数
2.三角形三边长a、b、c满足(a-b-c)(b-c)=0，则这个三角形是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.斜三角形 D.任意三角形
3.等腰三角形周长为23，且腰长为整数，这样的三角形共有（　　）个
A.4个　 　B.5个　 C.6个　　 D.7个
4.已知有长为1，2，3的线段若干条，任取其中3样构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形的个数是（　　）
A.5 B.7 C.8 D.10
5.△ABC的周长是24cm，三边a,b,c满足b:c=3:4且a=2c-b，则边a的长度是______
6.在△ABC中，a=6,b=8,则周长P的取值范围是____
7.a,b,c是△ABC中，，的对边，若，，，则的取值范围是_____
8.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为
9.如下图所示,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A(1,3),A1(2,3), A2(4,3), A3(8,3),B(2,0),B1(4,0),B2(8,0), B3(16,0).
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_________ ,B4的坐标是_________ .
(2)若按第(1)题的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,请推测An的坐标是_________ , Bn的坐标是________

10.如图，线段、相交于点，能否确定与的大小，并加以说明．毛

11.已知线段，．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为，和，则＝　　　，＝　　　，＝　　　；

（2）如图（4），对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想.

12.已知：在如图①至图③中，△ABC的面积为a，解答下面各题：

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1=_________（用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2=_________（用含a的代数式表示）；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB；连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，求S3的大小（用含a的代数式表示）；
（4）像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的多少倍？

第二讲 与三角形有关的角
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
1.按角分类:
三角形 直角三角形
斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
2.按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
3.三角形外角:三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。(共有6个外角)
4.三角形外角的性质：
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（3）三角形外角的和等于3600。

例1.用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

例2.如图，BE平分∠ABC,CD平分∠ACB， ∠A=500，求∠BOC的度数。

例3.一个零件形状如图所示，按规定∠BAC=900, ∠B=210, ∠C=200,检验工人量得∠BDC=1300，就断定此零件不合格，请运用所学知识说明理由。
A
B
C
D

例4.如图所示,在△ABC中,△ABC的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P＝∠A.

【课堂练习】
1.下列各图形中∠1=60°的是（ ）

2.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形
3.任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕
A.一个锐角 B.两个锐角 C.一个直角 D.一个钝角
4.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕
A.13 B.15 C. 14 D. 13或15
5.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )毛
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
6.在△ABC中，∠A=53°，∠B=63°，那△ABC的最小外角是（ ）
A.117° B.63° C.116° D.53°
7.如图，AB∥CD，∠A= 38°∠C= 80°，则∠M为（ ）
A.52° B.42° C.10° D.40°

8.如图所示，在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线，则∠DAE的度数为（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
9.如图所示，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
10.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，若∠1=∠2，则∠EDC的度数为（ ）
A. 40° B. 30° C. 20° D. 10°

11.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500,则∠B等于（ ）
A.30° B.70° C.30°或 70° D.20°或70°
12.图1为两个相同的长方形，若阴影区域的面积为10，则图2中的阴影面积等于（ ）
A.40 B.30 C.20 D.10

13.下面对三角形的外角叙述正确的是（ ）
A.外角一定大于内角 B.外角都大于90° C.外角大于60°小于180° D外角大于0°小于180°
14.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.
15.如图1，______

16.如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________度.
17.如图，∠A=650，∠B=750，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2=200，则∠1的度数
为 度。
18.三角形中最大的角是700，那么这个三角形是 三角形。
19.在△ABC中，∠A=90°，∠C=55°，则∠B=_____；若∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，则∠B=______
如图所示，∠a=______

20.如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1 与∠A的大小关系是
21.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点O,
(1)若∠ABC=400，∠ACB=500，则∠BOC=
（2）若∠ABC+∠ACB=1160，则∠BOC=
（3）若∠A=760，则∠BOC=
（4）若∠BOC=1200，则∠A=
(5)请找出∠A与∠BOC之间的数量关系为
22.如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝________度。
    如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝_______度。
     如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝______度。
     如图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_______度。 从上述结论中你发现了什么规律？
     如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋……＋∠An＝_________度。

23.如图，在△ABC中，∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD、CE相交于点H，求∠BHC的度数。

24.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=40°，并且∠ADE=∠AED，求∠CDE的度数．

25.如图，AB∥CD，AD∥BC，∠A的2倍与∠C的3倍互补，BE平分∠ABC，求∠A，∠DEB的度数?

26.如图所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A=80°，∠B=68°，∠CFE=78°，
求∠CEF的度数.

27.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.

【课后练习】
1.如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°

2.如图所示，D是等腰△ABC的腰AC上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AB于点F，若∠ADE=158°，则∠DEF=（ ） A.22° B.42° C.68° D.78°
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A. 60° B. 120° C. 60°或150° D. 60°或120°
4.如图，∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（ ）
A.∠1+∠2=∠3+∠4 B.∠1+∠2=∠4-∠3 C.∠1+∠4=∠2+∠3 D.∠1+∠4=∠2-∠3
5.如图，∠x的两边被一直线所截，用含α、β的式子表∠x为（ ）
A.α-β B.β-α C.180°-α+β D.180°-α-β
6.下面说法正确的是个数有（　　）
①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在ABC中，若∠A＋∠B=∠C，则此三角形是直角三角形。
A.3个 B.4个 C.5个 D.5个
7.如图，∠＝450，则x=

8.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是___ _度.
9.如图，在△ABC中，∠A=400，∠A=720，CE平分∠ACB,CDAB于D,DFCE,则∠CDF=
10.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于店E,∠A=450，∠BDC=600，求∠BED的度数。

11.如图，已知在ABC中，∠C=∠ABC,BEAC,BDE是正三角形，求∠C的度数。

12.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线，∠2=350,∠4=65°, 求∠ADB的度数.

13.在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC， BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数。

14.如图在△ABC,AD是高线,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC与∠BOA的度数。

15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，则∠ADC=_________，∠E=_________；
（2）若∠B=58°，∠ACB=102°，则∠ADC=_________，∠E=_________；
（3）若∠B=m°，∠ACB=n°，且n＞m，请用含m、n的式子表示∠ADC，∠E的度数．

【能力提高】
1.如图，下列说法错误的是( )
A.∠B >∠ACD B.∠B+∠ACB =180°-∠A C.∠B+∠ACB <180° D.∠HEC >∠B

2.如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，则∠B等于（ ）
A.25° B.30° C.45° D.60°
3.如图，已知AB=AC=BD，那么∠1和∠2之间的关系是（ ）
A.∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.3∠1-∠2=180°
4.如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=180,则∠GEF的度数是( )
A.80° B.90° C.100° D.108°

5.在锐角三角形中，∠A＞∠B＞∠C，则下列结论中错误的是（ ）
A. ∠A＞60° B. ∠B＞45° C. ∠C＜60° D. ∠B＋∠C＜90°
6.在△ABC中，∠A是锐角，那么△ABC是(　 )
　　A．锐角三角形　 　B．直角三角形 　 C．钝角三角形 D．不能确定
7.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=______

8.已知ABC的三边长分别为，且，求b的取值范围.

9.已知，如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=1200，求∠DAC的度数。

10.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°,求∠DAC的度数.

11.如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

12.如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=500，求∠P的度数.

13.如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，探索∠A与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。

14.如图，∠1=∠2=∠3，且∠BAC=700，∠DFE=500，求∠ABC的度数。

15.如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=2∠BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分∠ABP，PC平分∠APF，OD平分∠POE。（1）求∠BAO的度数；（2）求证：∠C=15°+∠OAP；
（3）P在运动中，∠C+∠D的值是否变化，若发生变化，说明理由，若不变求其值。

第三讲 与三角形有关的证明
例1.如图，已知，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗？为什么？

例2.如图，△ABC中，∠1与 ∠A有什么关系？为什么？

例3.如图，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系,并说明理由.

例4.如图，已知P是△ABC内任意一点，求证：PB+PC＜AB+AC。

例5.已知P是△ABC内任意一点，试说明AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC＞(AB＋BC＋CA)的理由.

【课堂练习】
1.如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△ABC的角平分线.

2.已知，如图，在中，O是高AD和BE的交点，观察图形，试猜想∠C和∠DOE之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．

3.如图，∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC的度数。

4.在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，下面的命题正确吗？若正确，请说明理由。⑴ ∠1=∠E +∠A +∠B; ⑵ ∠1 ＞∠A.

5.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系,并证明之。

6.如图，已知△ABC与△DEF是一副三角形的拼图，A,E,C,D在同一条直线上，
（1）求证：EF∥BC; (2)求∠1与∠2的度数。

【课后练习】
1.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．

2.如图，E是△ABC的边CA延长线上一点，D点在BC的延长线上，试说明：∠1<∠2.

3.如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I，IH⊥BC于H，试比较∠CIH和∠BID的大小．

【能力提高】
1.如图，∠ECF＝900,线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CBA的外角平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？说说你的理由。

2.（1）如图1，有一块直角三角形XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．

(1) (2)

3.如图1，在△ABC中，AEBC于E,AD为∠BAC的平分线。
（1）∠B=500，∠C=700，求∠DAE的度数；
（2）若∠C>∠B