导数微积分测试题.doc

榆树一中导数微积分月考试题（数学选修2-2.1-1）
一．选择题（本大题共12小题，共60分，只有一个答案正确）
1．已知函数f(x)=ax2＋c,且=2,则a的值为（ ）
A.1 B. C.－1 D. 0
2. （文）设，则（ ）．
A． B．
C． D．
（理）函数的导数是（ ）
(A) (B) (C) (D)

3.设函数的导函数为，且，则等于（ ）
A． B． C． D．

4.曲线在点P0处的切线平行于直线，则点P0的坐标是（ 　 ）．
A．(0，1) B．(1，0) C．(－1,－4)或（1，0） D．(－1,－4)

5．（文）．.设，则此函数在区间(0,1) 内为（ ）
A．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定

（理）函数的一个单调递增区间是（ ）
(A) (B) (C) (D)

6. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下右图所示，则导函数y=f ¢(x)可能为（ ）
x
y
O

x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D

7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
8．（文）若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　 　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
（理）8、设则,dx等于 (　 　)
A. B． C． D．不存在,

9．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为，则其表面积最小时，底面边长为（ ）． Ａ．　　Ｂ． Ｃ．　　D．
10. （文） 设是定义在Ｒ上的恒大于零的可导函数，且满足＞０，则当时有（　 　）．
　 A．　 B．
　 C．　　　　　　D．
（理）设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　 )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
11.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　 　)

12.(文) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是(　 　) A．[，＋∞) B．(0，] C．[，＋∞) D．(0，]
（理）已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c(　　 )
A．有最大值 B．有最大值－ C．有最小值 D．有最小值－

二、填空题（每小题5分，4小题共20分）：
13．（文）．若函数在处有极大值，则常数的值为_________
（理） ____________。

14．设，当时，恒成立，则实数的
取值范围为 。

15、 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有 成立，则不等式的解集是__________.

16、.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示，
x
y
0

-1
-2
-3
1
2
3
4
5
给出下列判断：
(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增；
(2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；
(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；
(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值；
(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极小值；
则上述判断中正确的是 .
三、解答题（每小题5分，4小题共14分）
17. (本小题满分14分)设f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.
(I)求函数f(x)的解析式； (II)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值．

18．（文）(本小题满分14分)已知函数是上的奇函数，当时，取得极值．（I）求函数的解析式；（II）当时，恒成立，求实数的取值范围。

（理）(本小题满分14分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(I)当a＝1时，求f(x)的单调区间； (II)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．

19．(本小题满分14分)已知函数(x>0)在x = 1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。（I）试确定a,b的值；（II）讨论函数f(x)的单调区间；
（III）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

20、(本小题满分14分)已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；

2
21．（文）(本小题满分14分) 2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）(本小题满分14分)已知函数（I）求；
（II）若

（理）(本小题满分14分) 2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题
设，其中，曲线在点（1，）处的切线与轴相较于点（0,6）．（Ⅰ）确定的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值
．

22附加题（理）已知函数f(x)＝ (x>0)． (I)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？给予证明； (II)若当x>0时，f(x)> 恒成立，求正整数k的最大值

答案
文科
一．选择题;
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
C
C
D
D
C
C
B
D
C
13 6
14 m>7
15 x<-2或 0<x<2
16 ③
17 解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.
又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2，
故f(x)＝2x3－12x.
(2)f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况表如下：
x
(－∞，－)
－
(－，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)

极大值

极小值

∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，
∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8，
当x＝时，f(x)min＝－8； 当x＝3时，f(x)max＝18.

18 （1） （2）
19 (1) （2）的单调递减区间为，而的单调递增区间为．(3) 的取值范围为
20
20【解析】（Ⅰ），故其定义域为令>0,得
令<0,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为
（Ⅱ）令又令解得
当x在内变化时，，变化如下表
x

)
+
0
-

↗

↘
由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，
21 (1)递增 x< -1-√2 或x>-1+√2 递减 (-1-√2, -1+√2 )
(2)a≥-5/4

理科
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
C
A
D
D
C
C
D
D
B
13 6
14 10
15 x<-2或 0<x<2
16 ③
17 (1) f(x)＝2x3－12x.
(2)最大值18
最小值-8√2
18 (1) 递增 (√2, ), 递减(0, √2)
(2) a=1/2
解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a，
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.

19．解：（1）由题意知，因此，从而．
又对求导得

．
由题意，因此，解得．
（2）由（I）知（），令，解得．
当时，，此时为减函数；
当时，，此时为增函数．
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．
（3）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．
即，从而，
解得或．
所以的取值范围为

20【解析】（Ⅰ），故其定义域为令>0,得
令<0,得故函数的单调递增区间为单调递减区间为
（Ⅱ）令又令解得
当x在内变化时，，变化如下表
x

)
+
0
-

↗

↘
由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，

21.(1)a=1/2 (2) 递增 (0,2),(3, ) 递减(2,3)
极大值9/2+6㏑2
极小值2+6㏑3

22. 解析：(1)f′(x)＝ [ －1－ln(x＋1)]
＝－ [ ＋ln(x＋1)]．
∵x>0，∴x2>0， >0，ln(x＋1)>0，
∴f′(x)<0.
因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(2)解法一：当x>0时，f(x)> 恒成立，
令x＝1，有k<2(1＋ln2)，
又k为正整数，∴k的最大值不大于3.
下面证明当k＝3时，f(x)> (x>0)恒成立，
即证当x>0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x>0恒成立．
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，
则g′(x)＝ln(x＋1)－1，当x>e－1时，g′(x)>0；
当0<x<e－1时，g′(x)<0，∴当x＝e－1时，
g(x)取得极小值g(e－1)＝3－e>0.
∴当x>0时，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x>0恒成立．
因此正整数k的最大值为3.
解法二：当x>0时，f(x)> 恒成立，
即h(x)＝ >k对x>0恒成立．即h(x)(x>0)的最小值大于k.
h′(x)＝
记φ(x)＝x－1－ln(x＋1)(x>0)，
则φ′(x)＝ >0，∴φ(x)在(0，＋∞)上连续递增，
又φ(2)＝1－ln3<0，φ(3)＝2－2ln2>0，
∴φ(x)＝0存在唯一实根a，且满足：
a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)．
由x>a时，φ(x)>0，h′(x)>0；
0<x<a时，φ(x)>0，h′(x)<0知：
h(x)(x>0)的最小值为
h(a)＝ ＝a＋1∈(3,4)．
因此正整数k的最大值为3.