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2019～2018学年度第二学期期中
高一数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知直线在两个坐标轴上的截距之和为，则实数的值为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知点，，则线段的垂直平分线的方程是
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知三点共线，则
（A） （B） （C） （D）
（4）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为120°，则圆锥的表面积为
（A）π （B）2π （C）3π （D）4π
（5）已知三棱柱中，底面，，，，，则该三棱柱的表面积是
（A） （B） （C） （D）
1
1
正（侧）视图
第6题图
（6）一个四棱锥正视图和侧视图为两个完全相同的等腰直角三角形，其腰长为1，则该四棱锥的体积为
（A） （B）
（C） （D）
（7）三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=2，AB=BC=1，则其外接球的表面积为
（A）6π （B）5π （C）4π （D）3π
（8）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，则
（A） （B） （C）或 （D）
（9）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，，则的面积是
（A） （B） （C） （D）
（10）是两个不同的平面，是两条不同的直线，有下列四个命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，，那么； ④如果内有不共线的三个点到的距离相等，那么.其中正确命题的序号为
（A）②③ （B）①④ （C）①②③ （D）①②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
（11）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为________.
A
B
C
D
E
第13题图
（12）已知直线与平行，则实数________.
（13）如图，在山底测得山顶仰角，沿倾斜角
为的斜坡走米至D点，又测得山顶仰角为，
则山高=________米.
（14）正四面体A-BCD中，E为BC中点，F为AD中点，则AE与CF所成角的余弦值为________.
（15）已知动直线l1: x＋my－1＝0过定点A，动直线l2: mx－y－2m＋1＝0过定点B，直线l1与l2交于点P，则|PA|2+|PB|2=________．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足.
（I）若，求的值；
（II）若的面积为，求证为等腰三角形.
（17）（本小题满分12分）
D
P
B
C
E
F
A
第17题图
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，，，F分别为AB，PC的中点.
（I）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求PA的长；
（II）求证：PE⊥BC；
（III）求PC与平面PAD所成角的正切值.
（18）（本小题满分12分）
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为．
（I）求顶点的坐标；
（II）求直线的方程．
（19）（本小题满分12分）
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足．
（I）求的大小；
（II）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
（20）（本小题满分12分）
C1
N
C
B1
M
B
A1
A
第20题图
已知三棱柱的底面是正三角形，侧面为菱形，且，平面平面，，分别是，的中点.
（I）求证：∥平面；
（II）求证：；
（III）求BA1与平面所成角的大小．
2019～2018学年度第二学期期中
高一数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
BAADD CABDA
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
（11） （12） （13）300 （14） （15）2
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分12分）
解：（I）因为，所以. ……………………2分
由正弦定理得，即. ……………………… 4分
解得. …………………………6分
（II）由题意得，=，即，所以. ………………8分
由余弦定理， ………………9分
得4= ,即. ………………10分
那么，由此得
所以为等腰三角形. …………………12分
D
P
B
C
E
F
A
G
（17）（本小题满分12分）
解：（I）设PA=，由题意知
解得，所以PA=2 ………………2分
（II）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD
所以 …………………………………………………4分
又∠ABC =90°
所以
因为平面PAB, 平面PAB,
所以平面PAB …………………………6分
又平面PAB
所以PE⊥BC …………………………7分
（III）取AD的中点G，连结CG，PG
因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，则AB⊥平面PAD， ……………………8分
由题意知BC∥AG，BC=AG，所以四边形ABCG为平行四边形
所以CG∥AB，那么CG⊥平面PAD
所以为PC与平面PAD所成角 ……………………10分
设PA=，则CG=，PG=，在直角三角形中，
所以PC与平面PAD所成角的正切值为 ……………………12分
（18）（本小题满分12分）
解：（I）设顶点的坐标为；
因为顶点在直线上，所以 ………………………2分
由题意知的坐标为，
因为中点在直线上，所以，
即； ……………………………4分
联立方程组，解得顶点的坐标为………………6分
（II）设顶点关于直线的对称点为，
由于线段的中点在在直线上，得方程，
即 ………………………………………7分
由直线与直线垂直，得方程，
即； …………………………8分
联立方程组，得 …………………………………10分
显然在直线上，且顶点的坐标为，
得直线的方程为 ……………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
解：（I）因为，
由正弦定理得：，
即， ………………………2分
,因为，
所以，，即， ………4分
因为，所以，解得 ……………………6分
（Ⅱ）由（I）知，又，所以，
……………………………………………………9分
因为为锐角三角形，所以,且，
即且
由此得，； …………………………………10分
所以，
所以 ………………………………12分
C1
C
B1
N
B
A1
A
O
M
P
（20）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）取的中点，连接，.
因为，分别是,的中点，
所以∥, ………2分
又因为∥
所以∥且
所以四边形为平行四边形，
所以∥． ………………………………………………………………4分
又因为平面，平面，
所以∥平面． ………………………………………………………5分
（Ⅱ）取的中点,连结，.
由题意知，
又因为平面平面，
所以平面． …………………………………………7分
因为平面 所以
因为四边形为菱形，所以
又因为∥, 所以
所以平面，又平面
所以． ……………………………………………10分
（III）连结A1O，由（Ⅱ）知平面
所以为BA1与平面所成的角 ………………………11分
在直角三角形中，
所以，即BA1与平面所成的角为 .……………………12分
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