高中数学-必修4-第二章-平面向量.doc

【教育部·高等学年制】 高一·必修四 数学辅导练习及讲解
（仅内部享有·不得翻印）完成日期:___________________
高中数学 必修4
第二章 平面向量
平面向量的概念及线性运算·导学案
一、目标认知
学习目标：
　　1．了解向量的实际背景.
　　2．理解平面向量和向量相等的含义.
　　3．理解向量的几何表示.
　　4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义.
　　5．理解两个向量共线的含义.
　　6．了解向量的线性运算性质及其几何意义.
重点：
　　理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
难点：
　　平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
二、知识要点梳理
知识点一：向量的概念
　　1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
　　2．向量的表示方法:
　　(1)字母表示法:如等.
(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等.
　　(3)向量的有关概念
　　　 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度).
　　　 零向量:长度为零的向量叫零向量.
　　　 单位向量:长度等于1个单位的向量.
　　　 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
　　　 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.
　　　 共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).
　　　 规定:与任一向量共线.
　　要点诠释：
　　1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小
　　　 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
　　2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.
　　3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在
　　　 同一直线上的线段的位置关系.
知识点二：向量的加(减)法运算
　　1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则
　　2．运算律：①交换律：；②结合律：
　　要点诠释：
　　1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点.
　　2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题
知识点三：数乘向量
　　1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：
　　(1)；
　　(2)①当时，的方向与的方向相同；
　　　 ②当时.的方向与的方向相反；
　　　 ③当时，.
　　2．运算律
　　设为实数，结合律：；
　　分配律：，
　　3．共线向量基本定理
　　非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使.
　　要点诠释：
　　是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.
三、规律方法指导
1.向量的线性运算
　　(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；
　　(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住:连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.
2.共线向量与三点共线问题
　　向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念

§2.2 平面向量的线性运算

平面向量的基本定理及坐标表示·导学案
一、目标认知
学习目标：
　　1．了解平面向量的基本定理及其意义；
　　2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
　　3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
　　4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算.
难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
二、知识要点梳理
知识点一：平面向量基本定理
　　如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
　　①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
　　②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
　　　这说明如果且，那么.
　　③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
　　要点诠释：
　　平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.
知识点二：向量坐标与点坐标的关系
　　当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y).
　　要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).
知识点三：平面向量的坐标运算
运 算
坐标语言
加法与减法
记=(x1，y1)，=(x2，y2)
=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)
实数与向量的乘积
记=(x，y)，则=(x，y)
知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示
　　设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.
要点诠释：　　若，则∥不能表示成因为分母可能为0.三、规律方法指导
　　1．用向量证明几何问题的一般思路：
　　先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.
　　2．三点共线的判断方法
　　判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
　　=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，
　　若则A，B，C三点共线.

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

练习：

平面向量的数量积及平面向量的应用·导学案
一、目标认知
学习目标：
　　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
　　2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
　　3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
　　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
　　5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
　　6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角.
难点：用向量的方法解决几何、物理等问题.
二、知识要点梳理
知识点一： 平面向量的数量积
　　1.平面向量数量积(内积)的定义：
　　已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量叫与的数量积，记作，即有.并规定与任何向量的数量积为0.
　　2.一向量在另一向量方向上的投影：叫做向量在方向上的投影.
　　要点诠释：
　　1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
　　(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由的符号所决定.
　　(2)两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的
　 　　数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”
　 　　代替.
　　(3)在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出
　 　　.因为其中有可能为0.
　　2.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0°时投影为；当=180°时投影为.
知识点二：向量数量积的性质
　　设与为两个非零向量，是与同向的单位向量.
　　1. 2.
　　3.当与同向时，；当与反向时，. 特别的或
　　4.
　　5.
知识点三：向量数量积的运算律
　　1.交换律：
　　2.数乘结合律：
　　3.分配律：
　　要点诠释：1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c.但是；　　2.在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是
　显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.
知识点四：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量，，
　　2.设，则或
　　3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式).
三、规律方法指导
1.向量在几何中的应用：
　　(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

　　(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件

　　(3)求夹角问题，利用
　　(4)求线段的长度，可以利用或
2.向量在物理中的应用：
　　(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；
　　(2)向量在速度分解与合成中的作用.
§2.4平面向量的数量积

练习题：

§2.5平面向量应用举例

练习题：

高考真题：

平面向量单元复习与巩固
一、知识网络

二、目标认知
学习目标：
　　(1)平面向量的实际背景及基本概念
　　通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；
　　(2)向量的线性运算
　　　 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；
　　　 ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义
　　　 ③了解向量的线性运算性质及其几何意义.
　　(3)平面向量的基本定理及坐标表示
　　　 ①了解平面向量的基本定理及其意义；
　　　 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
　　　 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；
　　　 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
　　(4)平面向量的数量积
　　　 ①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
　　　 ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；
　　　 ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
　　　 ④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
　　(5)向量的应用
　　　经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.
重点：
　　1.向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积；
　　2.平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义；
　　3.两非零向量平行、垂直的充要条件；
　4.利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.
难点：
　　1.掌握相关概念、性质、运算公式、法则等；
　　2.明确平面向量具有几何形式和代数形式的双重身份，能够把向量的非坐标公式和坐标公式进行有机结合，注意“数”与“形”的相互转化；
三、知识要点梳理
知识点一、向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法：
　　(1)字母表示法：如等.
　　(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如，等.
　　(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点为在坐标原点，终点A坐标为，
　　　 则称为的坐标，记为=.
3.相等向量：长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量与相等，记为.
4.零向量：长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.
5.单位向量：长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.
6.共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定：与任一向量共线.注：共线向量又称为平行向量.
7.相反向量：长度相等且方向相反的向量.
知识点二、向量的运算
1.运算定义
运 算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法

+=
=
记=(x1，y1)，=(x2，y2)
则=(x1+x2，y1+y2)
=(x2-x1，y2-y1)

+=

实数与向量的乘积

记=(x，y)
则
两个向量的数量积

记
则=x1x2+y1y2
2. 运算律
　　加法：
　　①(交换律)； ②(结合律)
　　实数与向量的乘积：
　　①； ②；③
　　两个向量的数量积：
　　①·=·； ②()·=·()=(·)；③(+)·=·+·
3.运算性质及重要结论：(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合.
①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=(x，y)；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
符号语言：
坐标语言为：设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.
(3)两个向量垂直的充要条件
　 　　符号语言：
　 　　坐标语言：设非零向量，则
　　(4)两个向量数量积的重要性质：
　 　　① 即 (求线段的长度)；
　 　　②(垂直的判断)；
　 　　③ (求角度).
四、规律方法指导
1. 向量的线性运算
　　(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；
　　(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提.
2. 共线向量与三点共线问题
　　向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
(1)用向量证明几何问题的一般思路：
　　先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明.
(2)向量在几何中的应用：
①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
　　　(x1，y1)=(x2，y2)
　　②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

　　③求夹角问题，利用
　　④求线段的长度，可以利用或
经典例题精析
考点一：平面向量的概念
　　1．给出下列命题：
　　①若||=||，则=；
　　②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
　　③若=，=，则=；
　　④=的充要条件是||=||且//；
　　⑤ 若//，//，则//；
　　其中正确的序号是____________.
　　(2)设为单位向量，(1)若为平面内的某个向量，则；(2)若与平行则； (3)若与平行且，则.上述命题中，假命题个数是( ）A.0　　　 B.1 　　C.2 　　D.3
　　解析：
　　(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
　　　 ②正确；∵ ，∴ 且，又 A，B，C，D是不共线的四点，
　　　 　　　　∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，
　　　 　　　　则且，因此，.
　　　 ③正确；∵ =，∴ ，的长度相等且方向相同；又=，
　　　 　　　　∴ ，的长度相等且方向相同，∴ ，的长度相等且方向相同，故=.
　　　 ④不正确；当//且方向相反时，即使||=||，也不能得到=，
　　　 　　　　　故||=||且//不是=的充要条件，而是必要不充分条件；
　　　 ⑤不正确；考虑=这种特殊情况；
　　　 综上所述，正确命题的序号是②③.
　　(2)向量是既有大小又有方向的量，与模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时，故(2)、 (3)也是假命题.综上所述，答案选D.
　　总结升华：本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念.
　　举一反三：
　　【变式1】判断下列各命题正确与否：
　　(1)；
　　(2)；
　　(3)若，则；
　　(4)若，则当且仅当时成立；
　　(5)对任意向量都成立；
　　(6)对任意向量，有.
　　解析：(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对.
　　总结升华：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零.
考点二：平面向量的运算法则
　　2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示出来.

　　解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，
　　　　　只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.
　　　　　因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，
　　　　　所以，=＋，= =+，
　　　　　由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，
　　　　　所以=＋=+=++=2+，
　　　　　同样在平行四边形BCDO中，
　　　　　===＋(＋)=＋2，==-.
　　总结升华：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示.
　　3．(1)在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A. 　B. C. 　　　D.
　　解析：C.
(2)如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量( )
　　A.　　　 B.
　　C.　　　　D.
　　解析：，故选A.

　　4．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
　　①，②，③.
　　解析：①原式= ；
　　　　　②原式= ；
　　　　　③原式= .
　　5．设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0　　解析：原方程可化为：(2-3)+(-5+)+(4-3)=0，
　　　　　∴=+.
　　总结升华：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.
　　6．已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角.
　　解析：由题意，，且与的夹角为，
　　　　　所以，，
　　　　　，
　　　　　，
　　　　　同理可得.
　　　　　而，
　　　　　设为与的夹角，
　　　　　则.
考点三：平面向量的坐标及运算
　　7．已知中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，1)，BC边上的高为AD，求.
　　解析：设D(x，y)，则
　　　　　∵
　　　　　得
　　　　　所以.
　　8．已知点,试用向量方法求直线和(为坐标原点)交点的坐标.
　　解析：设，则
　　　　　因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上.
　　　　　即得，由点得，.
　　　　　得方程组，解之得.
　　　　　故直线与的交点的坐标为.

考点四：平面向量的性质
　　9．已知，，，按下列条件求实数的值.(1)；(2)；.
　　解析：
　　　　　(1)；
　　　　　(2)；

　　　　　　　　　　.
　　总结升华：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.

　　举一反三：
　　【变式1】平面内给定三个向量，回答下列问题：
　　(1)求满足的实数m，n；
　　(2)若，求实数k；
　　(3)若满足，且，求.
　　解析：(1)由题意得，所以，得.
　　　　　(2)，
　　　　　　 ；
　　　　　(3)
　　　　　　 由题意得，得或.

　　10．已知
　　(1)求；
　　(2)当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？
　　解析：(1)因为所以，则
　　　　　(2)，
　　　　　　 因为与平行，所以即得.
　　　　　　 此时，，则，
　　　　　　 即此时向量与方向相反.
　　总结升华：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法.

　　举一反三：
　　【变式1】已知=(3，4)，=(4，3)，求x，y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.
　　解析：由=(3，4)，=(4，3)，有x+y=(3x+4y，4x+3y)；
　　　　　又(x+y)⊥(x+y)·=０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；
　　　　　即25x+24y=０ ①；
　　　　　又｜x+y｜=1｜x+y｜２=１；
　　　　　(３x+4y)２＋(４x+3y)２=１；
　　　　　整理得25x２＋48xy+25y２=１即x(25x+24y)+24xy+25y２=１ ②；
　　　　　由①②有24xy+25y２=１ ③；
　　　　　将①变形代入③可得：y=±；
　　　　　再代回①得：.
　　总结升华：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
考点五：共线向量定理及平面向量基本定理
　　11．(天津文)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足，其中，且，则点C的轨迹方程为( )
　　A.3x+2y-11=0 　　　　B.(x-1)2+(y-2)2=5
　　C.2x-y=0 　　　　　　D.x+2y-5=0
　　解析：(法一)设，则.
　　　　　　　　 由得，
　　　　　　　　 于是，先消去，由得.
　　　　　　　　 再消去得，所以选取D.
　　　　　 (法二)由平面向量共线定理，
　　　　　　　　 当，时，A、B、C共线.
　　　　　　　　因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得即选D总结升华：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合.考点六：平面向量综合问题
　　12．已知向量与的对应关系用表示.
　　(1)证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；
　　(2)设，求向量及的坐标；
　　(3)求使，(p，q为常数)的向量的坐标.
　　解析：(1)设，则，
　　　　　　 故，
　　　　　　 ∴
　　　　　(2)由已知得=(1，1)，=(0，-1)
　　　　　(3)设=(x，y)，则，
　　　　　　 ∴y=p，x=2p-q，即=(2p-q，p).
　13．求证：起点相同的三个非零向量，，3-2的终点在同一条直线上.
　　证明：设起点为O，=，=，=3-2，
　　　　　则=2(-)，=-，，
　　　　　∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，
　　　　　即向量，，3-2的终点在同一直线上.
　　总结升华：(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点；
　(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点　　14．已知.
　　思路点拨：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式.
　　证明：设
　　　　　则.

　　总结升华：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等.
　　举一反三：
　　【变式1】已知，其中.
　　(1)求证：与互相垂直；
　　(2)若与()的长度相等，求.
　　解析：(1)因为

　　　　　　　所以与互相垂直.
　　　　　(2)，
　　　　　　 ，
　　　　　　 所以，
　　　　　　 ，
　　　　　　 因为，
　　　　　　 所以，
　　　　　　 有，
　　　　　　 因为，故，
　　　　　　 又因为，
　　　　　　 所以.
　　总结升华：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理.可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度.
　　15．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力.

　　解析：所求五个力的合力为，
　　　　　如图所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，
　　　　　由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，
　　　　　则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上.
　　　　　由正六边形的性质还可求得.
　　　　　故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同.
要求：仔细阅读《王后雄》P128~P138，例题抄题并作在习题本上。
高一数学·必修四 第3章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角和与差的三角函数·导学案
　　[重点]两角和与差的正弦、余弦、正切公式
　　[难点]余弦和角公式的推导
　　[知识结构]

1．两角和的余弦公式是三角函数一章和、差、倍公式系列的基础.其公式的证明是用坐标法，利用三角函数定义及平面内两点间的距离公式，把两角和α+β的余弦，化为单角α、β的三角函数（证明过程见课本）
　　2．通过下面各组数的值的比较:①cos(30°-90°)与cos30°-cos90° ②sin(30°+60°)和sin30°+sin60°.我们应该得出如下结论:一般情况下，cos(α±β)≠cosα±cosβ, sin(α±β)≠sinα±sinβ.但不排除一些特例，
如sin(0+α)=sin0+sinα=sinα.
　　3．当α、β中有一个是的整数倍时，应首选诱导公式进行变形.注意两角和与差的三角函数是诱导公式等的基础，而诱导公式是两角和与差的三角函数的特例.
　　4．关于公式的正用、逆用及变用
　　例. 求下列各式的值
　　①sin15°　　　　②sin24°cos36°+cos24°cos54°
　　③　　④ tan20°+tan40°+tan20°tan40°
分析与解答:
　 ①可将15°改写成60°-45°，再利用两角差的正弦公式sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=.
　　②若将式中的cos54°改写为sin36°则恰为两角和的正弦:
　　原式=sin24°cos36°+cos24°sin36°=sin(24°+36°).
　③将1+tan15°视为tan45°+tan15°,将1-tan15°视为1-tan45°tan15°，即利用tan45°=1，则式子恰为两角和的正切:原式.
　　④由于20°+40°=60°，又，
　　将其变形tan20°+tan40°(1-tan20°tan40°)tan20°tan40°将移到左边得.
　　说明:①③是直接利用两角差的正弦和两角和的正切公式，即所谓“正用公式”
　　②把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和正弦公式.
　　④则是利用了两角和正切公式的变形，找出tanα+tanβ、tanα·tanβ与tan(α+β)三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题.
　　变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如③中将“1”变形为tan45°，又如同角三角函数关系中的sin2α+cos2α=1，在化简式子时有着重要应用，但有时又需将“1”化为sin2α+cos2α如化简

　　5．关于求值、化简及证明题的基本要求:“求值”，顾名思义，显然最后应求出具体数值来；“化简”是将一个较复杂的三角式，化成最简单的式子.其要求如下:函数种类要最少、项数要最少、函数的次数要最低、能求出值的要求出其值，尽可能化为整式形式；至于“证明”，通常是采用从繁的一边变形到简的一边，若两边都较繁则两边分别化简为同一个式子，也可以采取两边相减或相除再进行化简的办法等.
　　[例题选讲]
　　例1．求下列各式的值
①tan15°+tan30°+tan15°tan30°　　 ②(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan44°)

③

分析与解答:①解法一:∵ ,
　　∴ tan15°+tan30°=1-tan15°tan30°　　∴ 原式=1-tan15°tan30°+tan15°tan30°=
　　解法二:原式=tan15°(1+tan30°)+tan30°

　　②∵ (1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°
　　=1+tan(1°+44°)(1-tan1°tan44°)+tan1°tan44°=2.
　　∴ 同理(1+tan2°)(1+tan43°)=(1+tan3°)(1+tan42°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2　故原式.
　　③ 原式
　　例2．解下列各题
　　（1）已知:，求cos(α-β)的值.
　　（2）已知:，，0°<α<90°, 0°<β<90°，求cosβ的值.
　　（3）已知:tanα和tanβ是方程2x2+x-6=0的两个根，求tan(α+β)的值.

分析与解答:

（1）由已知可求得.
　　当α在第一象限而β在第二象限时，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
　　当α在第一象限而β在第三象限时，cos(α-β).
　　当α在第二象限而β在第二象限时，cos(α-β).　　当α在第二象限而β在第三象限时，cos(α-β).
　　　说明:解这种题目时，应注意，需要讨论α、β在不同象限的情况.

　　（2）∵ 0°<α<90°, 　∴ ,
　　又∵ 0°<α<90°,　 0°<β<90°， ∴ 0°<α+β<180°, ∴ ,
　　∴ cosβ=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.

　　说明:解题中应用了β=(α+β)-α式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有2α=(α+β)+(α-β), 2β=(α+β)-(α-β), 2α+β=(α+β)+α等.
（3）由韦达定理，得， ， ∴ .

例3．求证下列恒等式
① cos(150°-β)=-　　②
③

分析与解答:
　　① 左边=cos150°·cosβ+sin150°·sinβ
　　∴