必修五等比数列的知识点归纳和习题训练.doc

必修五：等比数列

知识点一：等比数列的定义、等差中项和通项公式
1.等比数列的定义：，称为公比
2. 通项公式：
， 首项：；公比：
推广：， 从而得或
等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比（）。
3. 等比中项
如果成等比数列，那么叫做与的等差中项．即：或
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
数列是等比数列

【典型例题】

1.等比数列{} 中，a6＝6，a9＝9，则a3等于(　　)
A．3　　　　　　　 D．4
2. 已知等比数列{}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
3. 已知等比数列的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则＝ .
4. 已知数列的通项公式为，则数列 等比数列数列（填是或者不是），若是则该数列的首项 ，公比 .
5.设成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）
A. B． C． D．1
6、等比数列中，（ ）
A．2 B． C．2或 D．－2或

【习题实践】

1．已知等比数列{}的公比为正数，且a3·a9＝2，a2＝1，则a1＝(　　)
　　　　　 D．2
2．如果将20、50、100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比是（ ）
A． B． C． D．

3．数列的前n项和记为，已知，求数列的通项公式．

4.设为数列的前n项和，，其中是常数．
(1)求和；
(2)若对于任意的成等比数列，求的值．

知识点二：等比数列的前n项和

等比数列的前n项和公式：
(1) 当时，
(2) 当时，
前n项，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比。

【典型例题】

1. 设{}是公比为正数的等比数列，若a1＝7，a5＝16，则数列{}前7项的和为(　　)
A．63 B．64 C．127 D．128
2. 已知数列{}的前n项和为，若＝2n－1，则a8＝.
3. 若等比数列的前项之和为，则等于（ ）
A．3 B．1 C．0 D．
4. 设为等比数列的前项和，已知，，则公比
A.3 （B）4 （C）5 （D）6
5. 设等比数列{}的公比q＝2，前n项和为，则＝(　　)
A.2 B.4
6. 设等比数列{}的前n项和为.若a1＝1，S6＝4S3则a4＝.
7. 设f(n)＝a＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋10(a≠0，n∈N)，则f(n)＝.
8. 数列是等比数列，其中48，S260，求S3n．

【习题实践】
1.设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于(　　)
A. B. C. D.
2.设等比数列{}的前n项和为，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝.
3.已知等比数列{}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于(　　)
A．50 B．70 C．80 D．90
4.已知数列为等比数列，若，则等于(　　)
A．12 B．24 C．16 D．32
5． 已知等比数列前n项和为，，则数列的公比为．
6． 等比数列{的前n项和,则=( )
A． B． C． D．
7．在等比数列{}中，S4=1，S8=4，则a17181920
8. 若数列的前n项和为，则数列的通项公式为;
9.若等比数列中，，前n项的和为，则公比，项数；

10. 在等比数列中，（1）已知，求和；（2）已知,求和

知识点三：等比数列的证明方法、判定方法和性质

1. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 ；
（2） 等比中项：（0）为等比数列；
（3） 通项公式：为等比数列；
（4） 前n项和公式：为等比数列；
2. 等比数列的证明方法
依据定义：若或为等比数列。
3. 等比数列的性质
（1）若,则.特别的,当时,得
注：
（2）若数列,为等比数列,则
①数列,,, (k为非零常数) 均为等比数列；
②数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列；
③若为等比数列,则数列，，，成等比数列
④若为等比数列,则数列, , 成等比数列；
⑤ 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列
(3) ①当时， ②当时，
,
③当时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;
④当时,该数列为摆动数列.
(4)在等比数列中, 当项数为时,.
(5)若是公比为q的等比数列,则.

【典型例题】
1. 已知是数列的前n项和,那么（ ）
A.是等比数列 B．当时是等比数列
C.当,时是等比数列 D．不是等比数列
2.已知是等比数列，且，，那么（ ）
A． 10 B． 15 C． 5 D．6
3.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ）
①，是等比数列 ②成等差数列 ③，成等比数列 ④，成等比数列。
A． 5 B．4 C．3 D．2
4. 已知等比数列{}的各项均为不等于1的正数，数列{}满足＝ ，b3＝18，b6＝12，则数列{}前n项和的最大值为．
5.已知是等比数列，，且，等于（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6. 等比数列{}中，（1），求通项公式；（2）已知，求的值。

7. 已知是等比数列，
(1)若，，则 .
(2)若，，则.
8．等比数列共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝.

【习题实践】
1. 在等比数列{}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7等于(　　)
A.－1 B．1 C．±1 D．以上都不正确
2. 已知等比数列{}的前n项和＝t·5n－2－，则实数t的值为(　　)
A．4 B．5
3.等比数列是递减数列，其前n项的积为，若，则等于(　　)
A．±2 B．±4 C．2 D．4
4．数列成等比数列，,则的值等于（ ）
A．35 B．36 C．37 D．38
5. 设成等差数列，公差为5，则;
6. 正项等比数列中，若，则数列的前10项的和为 7. 若成等差数列，则
8．已知等比数列{}，公比且a13+…49=30,则a123+…50=( )
A．35 B．40 C．45 D．50
9. 在等比数列的前n项和中，最小，且，前n项和，求n和公比q。

10.一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．

知识点四：等比数列的应用

1.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

2.等比数列的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列，由的前n项的和是（ ）A. B． C． D．
3．在等比数列中，a1＝2，前n项和为，若数列也是等比数列，则等于(　　)
A．2n＋1－2 B．3n C．2n D．3n－1
4. 已知是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋＋1＝(　　)
A．16(1－4－n)　　　　　　B．16(1－2－n) (1－4－n) (1－2－n)
5. 已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点为(b，c)，则等于(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－2
6.在等比数列中，若,则的值为．
7.在等比数列中，已知对任意正整数n，有，则[ ]
A. B. C. D.
8.等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项 C．11项 D．10项
9.已知a，b，c成等比数列，则二次函数f(x)＝2＋＋c的图象与x轴的交点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
10.设是正数等差数列，是正数等比数列，对应的函数图象如图，且，则(　　)
A. B． C． D．
11.已知等比数列中，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的最大值及相应的值．

12.已知数列满足，.
(1)令，证明：是等比数列；
(2)求的通项公式．

知识点五：等差数列和等比数列的综合应用

【典型例题】

1.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于(　　)
A．4　　　　B．2 C．－2 D．－4
2. 若两个数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两个数为两根的一元二次方程是(　　)
A．x2－6x＋5＝0 B．x2＋12x＋25＝0
C．x2＋6x－25＝0 D．x2－12x＋25＝0
3.等差数列中，,数列为等比数列，且，则的值为(　　)
A．2 B．4 C．16 D．8

4. 有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为。
5. 数列{}中，＝设数列{}的前n项和为，则S9＝.

5.三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．

6.在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000.求此四个数．

7.若 是公差不为0的等差数列的前n项和，且成等比数列．
(1)求数列的公比；
(2)若，求的通项公式．

8.已知数列，.
(1)设，求证：是等比数列；(2)设，求证：是等差数列；
(3)求数列的通项公式和前n项和公式．

9. 设数列和满足，且数列{是等差数列，数列是等比数列．
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

10.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和

【习题实践】
1．首项为a的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和为(　　)
A．　　　　　　B． C． D．
2.已知数列满足当n>1时，，且
(1)求证:数列为等差数列；
(2)试问{}中的项？如果是，是第几项；如果不是，说明理由

3．已知数列{}中，=，点在直线上，（n）
（1）令=,求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式。

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