初三数学：相似三角形常见模型.doc

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相似三角形常见模型一
【知识清单】
【典例剖析】
知识点一：A字型的相似三角形
A字型、反A字型（斜A字型）
（平行） （不平行）

（1） 如图，若，则
（2） 如图，如果，或，则

1、如图，已知，若，，，求证：.

2、 已知在中，是上的点，是上的点，连接，可得，线段，，求的值。

变式练习：
1、如图，，若，则
2、如图，，若，，,则，

3、（2014•乌鲁木齐）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=5，DC=8．若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有（　　）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

知识点二：8字型相似三角形
（蝴蝶型）
（平行） （不平行）
（1） 如图，若，则
（2） 如图，若，则
1、已知，为平行四边形对角线，上一点，过点的直线与，，的延长线，的延长线分别相交于点，，，
求证：

2、如图，设，求证：

变式练习：
1、（2010•威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．

﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C=∠B1BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F，试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形．

2、如图，已知线段AB∥CD，AD与B C相交于点K，E是线段AD上一动点。
(1)若BK=KC，求的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n>2)，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

知识点三：母子型证明三角形相似

（1） 如图，若,则
（2） 如图，若，，则

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证：．

变式练习：
1、已知：在正三角形中，点、分别是、延长线上的点，且,直线与相交于点
求证：①,②

2、已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证：．

【课后练习】
1、已知：在中，为中点，为上一点，且,、相交于点，
求的值

A
C
B
P
D
E
（第3题图）
3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．
（1）求证：AE=2PE；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

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