极限存在准则-两个重要极限.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,三、两个重要极限,二、极限存在准则,2.5,极限存在准则 两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系,一、函数极限与数列极限的关系,定理,1,的充分必要条件是：,对任意数列,x,n,，,x,n,x,0,，,当,x,n,x,0,(,n,),时，,都有,定理,1,经常被用于证明某些极限不存在,.,例,1,.,证明,不存在,.,证,:,取两个趋于,0,的数列,及,显然当,n,时，,x,n,0,由定理,1,知,不存在,.,定理,2,(,两边夹法则,),如果函数,g,(,x,),f,(,x,),h,(,x,),满足：,二、极限存在准则,例,2,.,证明,证,:,利用两边夹法则,.,且,由,g,(,n,),h,(,n,),定理,3,（,收敛准则,）,定理,4,（,收敛准则,）,单调递减且有下界的数列必有极限,单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限,(,证明略,),例,3,已知数列,满足：,证明数列,收敛,证,先用数学归纳法证明,（,1,）当,n,=1,时，,结论成立,（,2,）当,n,=,k,时，,x,k,2,则,由数学归纳法知,x,n,2.,再证明该数列单调递增,由定理,2,知数列收敛,令,则,故极限存在，,备用题,1.,设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,圆扇形,AOB,的面积,证,:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,三、两个重要极限,为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：,时，,例,4,.,求,解,:,例,5,.,求,解,:,令,则,因此,类似可证,1,-,1,例,6.,求,解,:,原式,=,2.,我们可以通过列出函数,的部分取值列表,来观察该函数值的变化趋势,x,y,10,2.594,100,2.705,1000,2.7169,10000,2.71815,100000,2.71827,x,y,-10,2.88,-100,2.732,-1000,2.720,-10000,2.7183,-100000,2.71828,的值无限接近于一个常数,由此可得,:,令,z,=1/,x,则,x,时，,z,0,，,为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：,例,6.,求,解,:,令,则,说明,：,若利用,则,原式,解,:,原式,=,例,7,.,求,例,8,求,解,的不同数列,内容小结,1.,函数极限与数列极限关系的应用,(1),利用数列极限判别函数极限不存在,;,法,1,找一个数列,且,使,法,2,找两个趋于,及,使,不存在,.,(2),函数极限存在的两边夹法则,;,(3),单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限,2,.,两个重要极限,思考与练习,填空题,(1,4),P34,练习,2.4,2,（,6,）,解,P40,练习,2.5,2,（,7,）,解,P40,练习,2.5,2,（,8,）,解,P40,练习,2.5,2,（,9,）,解,