非线性控制系统.ppt

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,非线性控制系统,硕士研究生课程,2008,年,2,月,参考书目：,非线性系统,（第三版），,Hassan K.Khalil,，电子工业出版社,非线性控制系统理论与应用,，胡跃明 编著，国防工业出版社,非线性系统的分析与控制,，洪奕光 程代展 著，科学出版社,非线性理论数学基础,，姚妙新 陈芳启主编，天津大学出版社,第一章 绪论,1.1,非线性模型和非线性现象,一阶常微分方程组：,输入变量,状态变量,时间变量,1,。状态空间模型的几个基本概念,状态方程,输出方程,状态空间模型,无激励状态方程：,非自治系统,/,时变系统,自治系统,/,时不变系统：,如果系统不是自治的，就称为非自治系统或时变系统。,自治系统的平衡点：,对于状态空间中的点,x,*,只要状态从点,x*,开始，在将来的任何时刻都将保持在点,x*,不变，那么,这点称为系统的平衡点,。,2,。平衡点,平衡点可以是孤立的，也可能有一个平衡点的连续统。,3,。本质非线性现象：,有限逃逸时间,：,非稳定线性系统的状态只有当时间趋于无穷时才会达到无穷，而,非线性系统的状态可以在有限时间内达到无穷,多孤立平衡点,：,线性系统只有一个孤立的平衡点，而,非线性系统可以有多个孤立平衡点,，其状态可能收敛于几个稳态工作点之一，收敛于哪个工作点取决于系统的初始状态。,极限环,：,在现实生活中，,只有非线性系统才能产生稳定振荡,，有些非线性系统可以产生频率和幅度都固定的振荡，而与初始状态无关，这类振荡就是一个极限环。,混沌,：,非线性系统的稳态特性可能更为复杂，它既不是平衡点，也不是周期振荡或殆周期振荡，这种特性通常称为混沌。,特性的多模式,：,同一非线性系统显示出两种或多种模式。无激励系统可能有不止一个极限环。具有周期激励的系统可能会显示倍频、分频或更复杂的稳态特性，这取决于输入信号的幅度和频率。甚至当激励幅度和频率平滑变化时，也会显示出不连续的跳跃性能模式。,分频振荡、倍频振荡或殆周期振荡,：,非线性系统在周期信号激励下，可以产生具有输入信号频率的分频或倍频振荡，甚至可以产生殆周期振荡。,1.2,示例,1.2.1,单摆方程,摆锤沿切线方向的运动方程：（,k,为摩擦系数）,取状态变量：,状态方程为：,1,。单摆方程,单摆方程,解方程得平衡点：,实际平衡点：,单摆可以停留在平衡点（,0,，,0,）上，,几乎不可能停留在平衡点（,，,0,）上。,2,。单摆的平衡点,3,。无摩擦单摆方程,设,k=0,：,4,。有控制输入的单摆方程,输入力矩,1.2.2,隧道二极管电路,通过结点,c,的电流代数和为零：,电压定律：,取状态变量：,隧道二极管电路,的根为系统的平衡点,1.2.3,质量,-,弹簧系统,为摩擦阻力,为弹簧的回复力，只是位移,y,的函数,g(y),位移较小时：,位移较大时：,软化弹簧,硬化弹簧,1,。运动方程：,假设参考点位于,g(0)=0,处,弹性系数,2,。回复力分析：,阻力,F,f,包括：,静摩擦力,F,s,库仑摩擦力,F,c,粘滞摩擦力,F,v,3,。摩擦阻力分析：,a,。静摩擦力：,静摩擦系数,b,。库仑摩擦力：,c,。粘滞摩擦力：,当速度较小时：,4,。硬化弹簧的,Duffing,方程,：,运动方程,对于硬化弹簧，考虑线性粘滞摩擦力和一个周期外力,F=Acos,t,，可以得到,Duffing,方程：,这是研究具有周期激励的非线性系统的经典例子。,5,。线性弹簧的例子,：,对于线性弹簧，考虑静态摩擦力、库仑摩擦力和线性粘滞摩擦力，且当外力,F=0,时可得到：,其中：,取,状态模型为：,以上模型有一组平衡点,以上模型等式右边的函数是状态变量的不连续函数。,当,x20,时以上模型简化为线性模型：,当,x21,时，,z,2,变化快，曲线斜率,1,，当,z,1,1,时，,z,2,变化慢，,曲线斜率,0,，则被扰动系统的平衡点是非稳定焦点。,当,0,，则被扰动系统的平衡点是稳定焦点。,当,A,有多重非零特征值时，无穷小的扰动会产生一对复特征值，因此稳定（或非稳定）结点会继续保持为稳定（或非稳定）结点，或者变为稳定（或非稳定）焦点。,结点、焦点和鞍点平衡点称为结构稳定的,。,中心平衡点不是结构稳定的,。,当,A,有两个零特征值时，考虑四种可能的,Jordan,型扰动，四种情况下被扰动系统的平衡点分别是中心、焦点、结点和鞍点。,当,A,有一个零特征值时，零特征值的扰动会得到一个实特征值,1,=,，,可正可负。则此时被扰动系统有两个不相等的实数特征值，平衡点的类型取决于,2,和,的符号。,中心,焦点,结点,鞍点,2.2,多重平衡点,隧道二极管电路：,平衡点：,有摩擦力的单摆：,2.3,平衡点附近的特性,非线性系统：,设,p=(p,1,p,2,),是非线性系统的平衡点，并假设,f,1,f,2,连续可微。,在,(p,1,p,2,),处按泰勒级数展开：,定义：,状态方程改写为：,忽略高阶项：,向量形式表示：,其中：,雅可比矩阵在,p,点的计算值,称为,f(x),的雅可比矩阵,如果线性化后状态方程的原点对于不同的特征值是一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点，那么在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线就会具有一个稳定（或非稳定）结点、一个稳定（或非稳定）焦点或一个鞍点的特性。,如果线性化后的状态方程在平衡点附近具有同样的特性，就把非线性状态方程的平衡点称为稳定（或非稳定）结点、稳定（或非稳定）焦点或鞍点。,例,2.3,隧道二极管电路,解得三个平衡点分别为：,特征值：,-3.57,，,-0.33,特征值：,1.77,，,-0.25,特征值：,-1.33,，,-0.4,稳定结点,鞍点,稳定结点,得到三个雅可比矩阵：,平衡点分别为：,例,2.4,单摆,鞍点,稳定焦点,得到两个雅可比矩阵：,如果一个平衡点的雅可比矩阵在虚轴上没有特征值，那么这个平衡点就是双曲型的。,如果雅可比矩阵在虚轴上有特征值，那么非线性状态方程在平衡点附近的特性与线性化后的状态方程完全不同。,例,2.5,（,0,，,0,）是该系统的一个平衡点,在原点线性化后，雅可比矩阵的特征值为：,中心,用极坐标表示系统：,时，轨线类似稳定焦点的轨线。,时，轨线类似非稳定焦点的轨线。,如果,f(x),在平衡点的邻域内是解析函数，那么以下论述成立：对于线性化状态方程，如果原点是稳定（或非稳定）结点，那么，无论线性化后的特征值是否相同，在平衡点的一个小邻域内，非线性状态方程的轨线都将表现出类似稳定（或非稳定）结点的特性。,以上例子说明，在线性化状态方程中描述的中心特性在非线性状态方程中不一定成立。,2.4,极限环,当系统具有非平凡周期解,时就会振荡。,在相图中，周期解的图形是一条闭合的曲线，通常称为,周期轨道,或,闭轨道,。,线性系统振荡的例子,第二种情况 特征值为复数，,称为稳定焦点,称为非稳定焦点,称为中心,变为,Jordan,标准型后该系统的解：,其中：,系统有一个幅度为,r,0,的持续振荡，一般称为,谐振器。,线性系统振荡器有两个基本问题：,1,。鲁棒性问题,2,。振荡的幅度取决于初始条件,非线性系统振荡器的两个特点：,非线性振荡器是结构稳定的（鲁棒性好）,振荡幅度（稳态时）与初始条件无关,负阻振荡器,满足以下条件：,系统的惟一平衡点（,0,，,0,）,平衡点是非稳定结点或非稳定焦点,从能量的观点来考虑：,任意时刻,t,，储存在电感和电容中的能量为：,其中：,例,2.6,取三个不同值时的相图：,=5,时选择状态变量：,发生跳跃现象的振荡通常称为,张弛振荡。,稳定极限环,的性质：当,t,时，极限环邻域内的所有轨线,最终都趋于极限环。,非稳定极限环,的性质：当,t,时，所有始于接近极限环的,任意一点的轨线都将远离极限环。,Poincar-Bendixson,定理,2.6,周期轨道的存在,Bendixson,准则,指数法,引理,2.1,（,Poincar,-Bendixson,准则）考虑系统（,2.7,），设,M,是平面内的一个有界闭子集,使,M,不包含平衡点，或只包含一个平衡点，使雅可比矩阵,f/,x,在该点有实部为正的特征值（因此特征值是非稳定焦点或非稳定结点）,每条始于,M,的轨线在将来所有时刻都保持在,M,内,那么，,M,包含系统（,2.7,）的一个周期轨道。,二阶自治系统：,。（,2.7,）,向量场,f(x),方向向内,向量场,f(x),方向向外,向量场,f(x),与曲线相切,闭合曲线,V(x),连续可微,内积,定义集合：,定义集合：,例,2.7,谐振器,轨线在,M,内。,集合：,其中：,系统的平衡点为（,0,，,0,）,集合,M,不包含平衡点,例,2.8,平衡点（,0,，,0,）,其中：,特征值：,可以保证所有轨线包含在,M,内，即,M,内有一个周期轨道。,例,2.9,负阻振荡器,其中：,对以上条件加以限制：,根据以上条件，选择,h(v),：,选择状态变量：,状态模型为：,(0,0),为系统惟一的平衡点。,如图所示，状态平面由两条曲线分为四个区域：,证明,(p)p,，只要证明,V(E)-V(A)0,时，如果,p0,当,p,r,时，随,p,，,(p),单调减小到,-,通过选取足够大的,p,，即可保证,(p),为负，因此,(p)p,引理,2.2,（,Bendixson,准则）如果在平面上的简单连通区域,D,内，表达式,f,1,/,x,1,+,f,2,/,x,2,不总是为零，且符号不变，那么系统（,2.7,）在,D,内没有周期闭轨道。,例,2.10,：,D,为整个平面,如果,b0,时，,平衡点,：,两个雅可比矩阵为：,稳定结点,鞍点,1,。鞍结点分岔,一般来说，,分岔,就是当参数变化时，平衡点、周期轨道或稳定性质的改变。,以上例子中，分岔参数是,，分岔点是,=0,。,一般情况下，,分岔图,的坐标是平衡点或周期轨道的模值，实线表示稳定结点、稳定焦点和稳定极限环，而虚线表示非稳定结点、非稳定焦点和非稳定极限环。,有两个,平衡点,：,（,0,，,0,）点的雅可比矩阵,：,（,，,0,）点的雅可比矩阵,：,0,时，（,0,，,0,）是鞍点,0,时，（,0,，,0,）是稳定结点,2,。跨临界分岔,由于对稳态特性的影响不同，在跨临界分岔例子中的分岔称为,安全分岔,或,软分岔,，而鞍结点分岔中的分岔称为,危险分岔,或,硬分岔,。,0,时，,有三个平衡点：,雅可比矩阵,：,稳定结点,稳定结点,鞍点,3,。超临界叉形分岔,安全分岔,0,时，,（,0,，,0,）是惟一平衡点，为鞍点。,4,。次临界叉形分岔,危险分岔,例,2.12,隧道二极管电路,平衡点为两曲线的交点：,A,时，有一个稳定结点。,B,B,时，有一个稳定结点。,=A,和,=B,处，各有一个鞍结点分岔。,（,0,，,0,）点的雅可比矩阵,：,特征值：,j,5,。超临界,hopf,分岔,0,时，原点为非稳定焦点，有一个稳定极限环。,振荡幅度随,增大而增大，随,减小而减小。,当稳定焦点因小的扰动消失时，系统会有小幅度的振荡，因此它是安全分岔。,（,0,，,0,）是系统惟一平衡点,0,时，原点为非稳定焦点。,6,。次临界,hopf,分岔,0,时，有一个极限环：,是稳定极限环,有两个平衡点：（,0,，,0,），（,1,，,0,）,（,0,，,0,）总是鞍点。,-1,1,时，（,1,，,0,）是非稳定焦点。,时产生一条始于鞍点又止于鞍点的轨线，这样的轨线称为,同宿轨道,。,7,。全局分岔,发生分岔对平衡点,(0,0),和,(1,0),没有任何改变，这类全局分岔称为,鞍点连接,或,同宿分岔,。,