2023年任意角的三角函数知识点.doc

2.1任意角的三角函数
课前复习：
1. 特殊角的三角函数值记忆
新课讲解：
任意点到原点的距离公式：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表白α一定是正角或负角，以及α的大小，只表白与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于拟定的角α，四个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；同理当时，无意义；
④除以上两种情况外，对于拟定的值α，比值、、、分别是一个拟定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表达——三角函数线。
有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅳ）
（Ⅲ）

由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线
在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆
内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
题型一：求解三角函数值
一般角：运用三角函数的定义
特殊角：先化为0至360度之间的角

例1．求下列各角的四个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．

例2．已知角α的终边通过点，求α的四个函数值。

变式训练1：已知角α的终边过点，求α的四个三角函数值。

变式训练2：角的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sin的值是( )
A. B.－ C. 或－ D.1

例3．求下列三角函数的值：
（1） （2），

变式训练1： D

题型二：判断三角函数值在不同象限内的正负性
例4．拟定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式训练1： B

变式训练2：

变式训练3： 若θ是第二象限角，则( )
A.sin＞0 B.cos＜0 C.tan＞0 D.cot＜0
变式训练4： 若角、β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是( )
A.sin=sinβ B.cos=cosβ C.tan=tanβ D.cot=cotβ
变式训练5： sin2·cos3·tan4的值( )
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在
例5．求函数的值域

变式训练1： 若++=－1，则角x一定不是( )
A.第四象限角 B.第三象限角
C.第二象限角 D.第一象限角
例6．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．

课上练习：
1.有下列命题：
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数的值相同的角也相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同.
其中对的的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若角的终边通过P（－3，b），且cos=－，则b=_________，sin=_________.
3.在（0，2π）内满足=－cosx的x的取值范围是_________.
4.已知角的终边在直线y=－3x上，则10sin+3cos=_________.
5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第_________象限.
6.计算
， ， ， ，
7.解答题：
(1）若点是角终边上的一点，且满足，，求sin，的值

（2）已知角的终边上有一点，求sin,cos,tan的值；