小升初考试所有题型都在这里（质数合数约数余数倍数公约数）图文详解.pdf

,/小升初数学第二讲数论专题小学数学小升初数学室目录：L整除2：质和合数3.约数、倍数4.公约数、公倍数5.余数6.其他数论问题7/小升初数学如1L整除(一)整除的定义若整数a除以整数6,除得的商为翱(-)整除的性质(1)已知、bc,则a|(b+c)(2)已知的ac,则b c.J(3)已知a be且(4b)=l,则a(4)已知a c且be,则4b c.典点概述；1.且没有余数，就说能被6整除，或6能整除。，记作ba.,a|(b-c)JVy小升初数学述一,（三）常用判断法1.尾数判断法能被2或5整除的：个位数字可被2或5整除.能被4或25整除的：末两位可被4或25整除.能被8或125整除的：末三位数可被8或125整除.2.数字和判断法能被3或9整除的：各位数字之和能被3或9整除.能被99整除的：从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数.3.奇偶位求差法能被11整除的：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除.（注意：我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位、统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、.第6位统称为偶数位.我们把“奇数位上的数字之和”简 称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位 和“）3*小升初数学述一,（三）常用判断法4.三位截断法能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除.5.形如阪而c的数可以被7、11、13整除，在多位数的判断巾可以将这样的六位数“去掉”醐断.16.对于没有整除特性的数，可以利用列竖式的方式找到能被这个数整除的数,J4,小升初数学典型例题例题L一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数 是4的倍数，这样的四位数中最小的是.解：四位数要最大，千位、百位均应是9,因此，最大的满足条件的四位数可以设为99ab,由于99a可以被4整除，故a取最大值为6,又因为99ab可以被9整除，则b=3,小升初数学例题2.已知七位数92AB4329能被99整除，那么两位数AB=_ 解：在92AB4329 中，奇数位上的数是9、3、B、2,则它们的和是9+3+2+B=14+B,偶数位上的数是2、4、A、9,则它们的和是，2+4+A+9=15+A,又因为一个整数的数字和能被9整除，一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差(包括0)能被11整除，所以 14+A+15+B=29+A+B=9的倍数，(14+B)-(15+A)=11 倍数，由29+A+B可知，式子的值可能是36、45,由(14+B)-(15+A)是11的倍数可知45不合适，所以29+A+B=36,A+B=7,则(14+B)-(15+A)=0,由此可推出A=3,B=4,/小升初数学例题例题3,有一个2000位的数能被9整除,它的个位数字之和为aa的 各位数字之和为bb的各位数字之和为c,请问c是多少？解：首先ab7c均为9的倍数且不为0.2000位的数能被9整除的数中洛位数 字之和最大的数是2000个9故a49*2000=18000而不大于18000的数中，各 位数字之和最大的数是0999故b435不大于35且为9的倍数的数有：2789故 c=9,/小升初数学典型例题例题4.小华往一个水池里扔石子.第一次扔1颗石子，第二次 扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子他准备扔 到水池的石子总数是U1的倍数，那么小华最少需要扔次分析：由题意可知，本题是一个等差数列高斯求和的题，欲求应扔石头的次数，即数列的项数，我 们可设应扔n次，那么根据高斯求和可求出所扔石子总数为：l+2+3+.+nJx(n+1).依题意 知x(n+1)能被106整除，因此可设;X(n+1)=106a,(a为106的朋倍)即nx(n+1)=212a,把212分解质因数得：212a=2x2x5为根据n与n+1为两个相邻的自痛，可知 2x2xa=52(或54).当2x2xa=52时，a=13.当2x2xa=54时，a=13-,3不是蟹,不符合题 意舍去.因此，nx(n+1)=52x53=52x(52+1),即n=52,所以冬冬应扔52次.小升初数学典型例题例题4.小华往一个水池里扔石子.第一次扔1颗石子，第二次 扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子.他准备扔 到水池的石子总数是111的倍数，那么小华最少需要扔次解答：解：设冬冬应扔n次，根据高斯求和可求出所扔石子总数为，l+2+3+n=:x(n+1),依题意知:X(n+1)能被106整除，因此可设2X(n+1)=106a,即nx(n+1)=212a,又212a=2x2x53a,根据n与n+1为两个相邻的自缴，可知2x2xa=52(或54)当2x2xa=52时，a=13.当2x2xa=54时,a=13)a不是整数，不符合题意舍去.因此,nx(n+1)=52x53=52x(52+1),所以n=52,冬冬应扔52次.,/小升初数学Z1典型例题例题4.小华往一个水池里扔石子.第一次扔1颗石子，第二次 扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子.他准备扔 到水池的石子总数是111的倍数，那么小华最少需要扔次点评：解题此题的关键是运用高斯求和公式，把数列的和 表示为106的整数倍知识点概述2.质数与合数（一）质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了 1和它自身外,还能被其他数整除的数.（二）分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式.例如280=2,x5x7.小升初数学典型例题例题5.有一个质数是两位数，个两位数的质数是_这两位数上的数字相差6,则这$“J!详解小升初数学例题6.请写出一个两位数，使得它与3、5、7、位数字之和都是质数：*n的乘积的各 j JfKl小升初数学例题7.三个不同的质数平方之和是9438,这三个质数之和是一分析：其中一定含有2,其余两个数的和是9434,且必为奇 数，分析尾数可得有一个是5,/小升初数学典型例题例题8.求质数P，使得4，+1、6/+1都是质数解答一：考虑p对5的余数余数为1时余数为1H寸：4P八2+1三4*1+1三0(mod5)由于4P八2+1=4*2八2+1=17,而又可 以被5整除，所以一定不是质数余数为2日寸：6P八2+1三6*4+1三0(mod5),由于6P八2+1=6*2八2+1=25,而又可 以被5整除，所以一定不是质数余数为3日寸：6P八2+1三6*9+1三0(mod5)由于6P八2+1=6*2八2+1=25,而又可 以被5整除，所以一定不是质数余数为4时：4P八2+1 三4*16+1 三0(mod5),由于4P八2+l=4*2A2+l=17,而又 可以被5整除所以一定不是质数；所以由上可知5|p,然而p是质数所以p只能是5.典型例/I小升初数少V匕1*例题8.求质数P，使得4,+1、6/+1都是质数 解答二：质数除了2,其余的都是奇数 经过验证2不满足要求而奇数的平方的个位分别是L9,5,9,l乘4和乘6以后的个位分别是4,6。6,46,4,0,4,6再加L个位数字分别是5,7,1757,5,1,5,7详解很显然，个位是5的数中除了5本身以外都不是质数，要同时满足4P人2+1和6PA2+1同时是质数的只有个位为1的数，也就是个位数字只 能是5,而个位数字是5的质数就只有p二5,/小升初数学例题9.101个连续的非零自然数的和恰好是4个不同的质数的积,那么这个最小的和是分析：设此101个连续的非零自然数，第1个数是n,则最末 一个数是n+100.其和=(n+n+100)X1014-2=(n+50)X101,因101是一个质数，要使(n+50)X101是四个不同 的质数的积，则(n+50)必是三个不同质数的积.且 n+5050,大于等于50且是三个不同质数的积的自然数，最 小是66=2X3X11,因此最小的n=16,从16开始的这101个 连续非零自然数的和=66X101=6666,由此得出答案即可.,/小升初数学例题9.101个连续的非零自然数的和恰好是4个不同的质数的积,那么这个最小的和是解答：解：设此101个连续的非零自然数，第1个数是n,则 最末一个数是n+100.和=(n+n+100)X1014-2=(n+50)X101,由和恰好是四个不同的质数的积，(n+50)X101=aXbXcX101,其中，a,b,c,101互质，求最小值，可设a=2,b=3,aXbXc50,最小是66=2X3X 11,所以c最小为11,最小和为2 X3X11X 101=6666.小升初数学44X例题9.101个连续的非零自然数的和恰好是4个不同的质数的积,那么这个最小的和是点评：此题关键是利用连续自然数的和的计算方法，求得 和，进一步分解，利用质数的特点探讨解决问题以2小升初数学例题10.两名运动员进行了一场乒乓球比赛，三局两胜，每局 先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜.结果 三局比赛下来，单方最高得分不超过20分，把每人每局的得分 乘在一起恰为480480,那么各局比分分别是、.（按大比小的方式写）分析：因为单方最高得分都不超过20分，所以480480=16X14X1X11X15X13,并且每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜，所以比分为：16：14；1：11；15：13.解*:解:根据题意机器分析得：480480=16 X14X1X11X15X13,而且且每局先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜，所以比分为:16：14；1：11；15：13.详解小升初数学例题10.两名运动员进行了一场乒乓球比赛，三局两胜，每局 先得11分者为胜，如果打到10平，则先多得2分者为胜.结果 三局比赛下来，单方最高得分不超过20分，把每人每局的得分 乘在一起恰为480480,那么各局比分分别是、.（按大比小的方式写）点评：解答本题的依据是：根据题意把480480写成20以内 自然数的乘积的形式，进而找出各局的比分详解I小升初数学知1识感概述工约数、倍数(-)基本概念，(1)如果a能被b整除(b|a),贝幼是a的约数(因数)，a是方的倍数.(2)约数具有“配对”性质：大约数对应小约数.1(-)约数个数1(1)分解质因数，指数加1再相乘.J(2)平方数有奇数个约数，非平方数有麟个约数.,/小升初数学典型例题【例】有2012盏灯，分别对应编号广2014的共2014个开关.现在有编号2014的2014个人来按动这些开关.已知第 一个人按的开关是1的倍数，第二个人按的开关是2的倍数，第三个人按的开关3的倍数以此类推，第2014个人按的开关 是2014的倍数.如果，一开始灯全是亮着的，那么这2014个 人全都按完后，还有多少盏灯是亮的？【解】如果一个灯一开始为亮,还亮,那么它贼了偶数次,说明它雕数个约数,是一个非 完全平方数.所以平方谁编号的灯都灭了.从12014中，共44个平方数，所以有的44盏灭了，最 后还有2014-44=1970盏灯亮着,1小升初数学例题11.有一个自然数，它最小的两个约数的差是4,最大的两 个约数的差是308,则这个自然数是分析：因为，最小的约数为工，所以第二小的约数为1+4,因此最大的约数为本身x,第二大的约数为x+5,根据“最 大的两个约数的差是308，可得x-x+5=308,由此解答即 可.小升初数学Z1例题11.有一个自然数，它最小的两个约数的差是4,最大的两 个约数的差是308,则这个自然数是解答：解：因为.最小的约数为1,所以第二小的约数为1+4,因此最大的约数为本身x,第二大的约数为x:5.所以.x-x4-5=308,x4=308,5x=308,5x=308、，5x=308x.,x=385;故答案为：385.详解小升初数学例题11.有一个自然数，它最小的两个约数的差是4,最大的两 个约数的差是308,则这个自然数是点评：解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，再根 据数量关系等式，列方程解答即可.小升初数学例题12,已知。与b的最大公约数是14,。与b的最小公倍数是350,，b与c的最小公倍数也是350.满足上述条件的正整数。、b、c共有组.解：根据题意,可得14能整除a,a能整除350,14能整除b,b能整除350,因为 14=2X7,350=2X7X52,所以 a=14 或 a=14 X 5=70或 a=14 X 25=350；(1)当a=14时,b=14或b=14X5=70或b=14X25=350,因为a与b的最大公约数是14,(2)所以当a=70,350时,b都只能取14,则满足条件的a、b共有5组：a=14,b=14；a=14,b=70；a=14,b=350；a=70,b=14；a=350,b=14；对于a、b的每组值，c均有4个不同的值：25,50,175,350.所以满足条件的正整数a、b、c共有：5X4=20(组)答：满足上述条件的正整数a,b,c共有20组.小升初数学知谀感概述3.约数、倍数(三)约数和公式1(1)设一个数的质因数分解式为内xpfxxp：,这这例的约数和为1(1+R+P，r+P?)x(l+p?+p,+的卜X0+4+走+琮).，【例】若某数的质因数分解式为axbxc则约数和为(l+a)x(l+b)x(l+c+d)小升初数学典型例题【例】一个自然数/V有9个约数，而/V：恰好有8个约数.求满 足条件的N的最小值【解】N有9个约数，则N的质因数分解式为口8或吁义口2,再结合Ml的情况，经尝试可知，最 小的为 22x72=196i,/小升初数学知识点概述4.公约数、公倍数()基本概念(1)女赢。是会干个数公有的约数，则称。为它们的公约数，其中最大的叫作最大公约数.(2)如果b是若干个数公有的倍数，则称b为它们的公倍数，其中最小的叫作最小公倍数.(3)公约数是最大公约数的约数，公倍数是最小公倍数的倍 数.小升初数学典型例题(二)计算方法(1)分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数 连乘起来.【例】231=3x7x11,252=22x32x7,所以Q3L252)=3x7=21小升初数学典型例题（二）计算方法（2）短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.2|18 12【例】3|9 6,所以Q248)=2x3=63 2,/小升初数学知识点概述4.公约数、公倍数(3)辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的 那个余数，就是所求的最大公约数.用辗转相除法求两个数的 最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第 一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又 用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一 个余数去除前一个余数，直到余数是0为止.那么，最后一个 除数就是所求的最大公约数.(如果最后的除数是工，那么原来 的两个数是互质的)小升初数学典型例题【例球600和1515的最大公药数:1515600=2”315s 600-315=1,285;315+28530+15=20;所以1515利600的最大公约数是151,/小升初数学，知识点概述4.公约数、公倍数(三)基本性质(1)axb=(a：b)xqb卜(2)两个数的最大公约数是它们和或差的约数.1(3)已知两个未知数的最大公约数，可利用最大公约数把这两个数表示出来.(四)两个最简分数的最大公约数、最小公倍数1,/小升初数学Z15.余数.Ms（一）求余数(1)(2)(3)(4)(5)直接做除法特征求余（用整除性判定的方法计算余数）替换求余周期求余分解求余（二）物不知数问题（求被除数）（1）也称“韩信点兵”，关于它的解法，后人总结出“中国 剩余定理”（也称“孙子定理”）（2）物不知数问题的基本解法是逐步增加条件，逐步找寻,/小升初数学典型例题【例】一个三位数除以3余1,除以5余2,除以7余4,则这个三位；数最小是多少？【解】满足第三个条件的数是4,11,18,25,32,发现32可以同时满足后两个条件；接下看，同时满足后两个条件的数为32,32+5X7=67,32+5X7X2=102,发现67能同时满足三个条件，所以满足条件的数为67+357卜（其中为自然数）.那么满足条件的三位数最小为1721小升初数学知识点概述5.余数()同(1)如果o和b除以c的余数相同，则称。、b对c同余.如，10 和28对9同余.(2)如果0、b对c同余，则是c的倍数,/小升初数学例题13.小张同学在计算有余数的除法时，把被除数184错写成 148,这样算出的商比原来少了 4,而余数没变.这道题的除数和余 数各是多少？解：除数为(184-148)4-4=9 正确的算式是184 9=204 所以,余数为4,/小升初数学典型例题例题14.2014除以某数的余数都为10,这样的数共有多少个？；解：2014-10=2004,2004 的因数有：2、3、4、6、12、167、234、468、501、1002、2004.所以这样的数是：12、167、234、468、501、1002、2004六个。IwwlIwwl Iwwl小升初数学例题22.把一个两位数质数写在另一个不同的两位数质数右边,得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除.这样的两个质数乘积最大是,最小是若m=l,a+b=198且为两位数 显然只有99+99这时a,b不 是质数，若m=3,a+b=66 则 a=13 b=53,或a=19 b=47,或a=23 b=43,或a=29 b=37,若m=9,a+b=22 则a=U b=U(舍去),其他的m值都不存在满足的a,b,综上a,b实数对有(13,53)(19,47)(23,43)(29,37)共4对,当两个质数最接近时，乘积最大，所以两个质数乘积最大是：29X37=1073,故答案为：1073.