2023年二元一次不等式组知识点讲解及习题.doc

第三节：二元一次不等式组与简朴的线性规划
1、 二元一次不等式表达的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表达直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表达哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）
2、 二元一次不等式组表达的区域：二元一次不等式表达平面的部分区域，所以二元一次方程组表达各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表达的区域）
例1、画出不等式2x+y-6<0表达的平面区域。

（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表达的平面区域。

（点的分布）
例2、已知点P(x0,y0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( )
A、3x0+2y0>0 B、3x0+2y0<0
C、3x0+2y0>8 D、3x0+2y0<8

（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x–2y + m = 0 的两侧，则（　 ）
A．m＜－7或m＞24 B．－7＜m＜24 C．m＝－7或m＝24 D．－7≤m≤ 24

（二元一次不等式组表达的平面区域）
例3、画出不等式组表达的区域。

（1） （2）

(已知区域求不等式)
例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表达的不等式。

x

1

y
O
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表达为

（已知不等式组求围成图形的面积）
例5、求不等式组表达的平面区域的面积

（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组所拟定的平面区域内整点个数

（绝对值不等式的画法）
例6、画出不等式|x|+|y|<1所表达的区域。

（跟踪训练）画出不等式|x-2|+|y-3|>3所表达的区域。

(整式不等式表达的区域)
例7、画出不等式（x+2y-1）(x-y+3)>0所表达的平面区域

（跟踪训练）画出不等式表达的平面区域

3、 线性规划：
（1） 线性规划问题举例设z=2x+y,式中变量x,y满足如下条件：求z的最大值，和最小值
由上面知道，变量x、y所满足的每一个不等式都表达一个平面区域，不等式组则表达这些区域的公共部分
直线：l0: 2x+y=0,作一组直线与l0平行，l:2x+y=t,(t为任意实数)可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x, y）满足2x+y>0.
（2）（线性）约束条件：即不等式组
(线性)目的函数：即上式中的z= 2x+y.
（3）可行解：满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解。
可行域：由所有可行解组成的区域叫做可行域
最优解：使得目的函数取得最大值和最小值得解叫做最优解。

（线性目的在线性约束条件下的最值）
例1、若x, y满足约束条件求z=x+2y的最大值是

(跟踪训练1)若x，y满足不等式组 则使k=6x+8y取得最大值的点的坐标是 .

（跟踪训练2）已知x，y满足约束条件 则的最小值为______________．

（最优解有无数个问题）
例2、给出平面区域如图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目的函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是 （ ）
A． B． C．2 D．

（跟踪训练）已知平面区域如右图所示，在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则的值为 （ ）

A． B． C． D．不存在

（线性规划解决实际问题）
例3、某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人天天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：
级别
加工能力(个/人天)
成品合格率(%)
工资(元/天)
Ⅰ
240
97
5.6
Ⅱ
160
95.5
3.6
工厂规定天天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂规定至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂天天支出的费用最少.

（跟踪训练）某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才干使总的用料面积最小?