2023年北师大版七年级下册数学变量间的关系知识点梳理及典型例题.doc

第三章 变量之间的关系 知识点梳理及典型例题
知识回顾——复习
路程、速度、时间之间的关系： ， ， ；
知识点一 常量与变量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 .数值始终不变的量为 ；
在某一变化过程中，假如有两个变量x和y，当其中一个变量x在一定范围内取一个数值时，另一个变量y也有唯一一个数值与其相应，那么，通常把前一个变量x叫做 ，后一个变量y叫做自变量的 ；
注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如：s=60t，速度60千米/时是 ，时间t和里程s为变量.t是 ，s是 。
知识点二 用表格表达变量之间的关系
表达两个变量之间的关系的表格，一般第一行表达自变量，第二行表达因变量；
借助表格，可以表达因变量随自变量的变化而变化的情况。
注意：用表格可以表达两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.
知识点三 用关系式表达两个变量之间的关系
例如，正方形的边长为x，面积为y，则这个关系式就是表达两个变量之间的相应关系，其中x是 ，y是 ；一般地，具有两个未知数（变量）的等式就是表达这两个变量的关系式；
【温馨提醒】（1）写关系式的关键是写出一个具有自变量和因变量的等式，将表达因变量的字母单独写在等号的左边，右边是用自变量表达因变量的代数式.（2）自变量的取值必须使式子故意义，实际问题还要有实际意义.（3）实际问题中，有的变量关系不一定能用关系式表达出来.
【方法技巧】列关系式的关键是记住一些常见图形的相关公式和弄清两个变量间的量的关系.根据关系式求值实质上是求代数式的值或解方程.
知识点四 用图象表达两个变量间的关系
图象法就是用图象来表达两个变量之间的关系的方法；在用图象法表达变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表达 ，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表达 ，用坐标来表达每对自变量和因变量的相应值所在位置；
【温馨提醒】图象法能直观、形象地描述两个变量之间的关系，但只是反映两个变量之间的关系的一部分，而不是整体，且由图象拟定的数值往往是近似的.
【方法技巧】（1）借助图象，过某点分别向横轴、纵轴作垂线可以知道自变量取某个值时，因变量取什么值.（2）借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是上升下降的，则说明因变量随着自变量的增大而增大减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变.
知识点五 变量之间的关系的表达方法比较
表达变量之间的关系，可以用 、 和 ；其中表格法一目了然，使用方便，但列出的数值有限，不容易看出因变量与自变量的变化规律；关系式法简朴明了，能准确反映出整个变化过程中因变量与自变量之间的互相关系，但是求相应值时，要通过比较复杂的计算，并且在实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表达出来；图象法的特点是形象、直观，可以形象地反映出变量之间的变化趋势和某些性质，是研究变量性质的好工具，其局限性是由图象法往往难以得到准确的相应值；

专题一 能从表格中获取两个变量之间关系的信息
1．有一个水箱，它的容积是500 L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表
注水时间/min
0
5
10
15
20
25
30
注水量/L
200
250
300
350
400
450
500

（1）在这个注水过程中，反映的是两个变量 与 之间的关系，其中变量 是自变量，变量 是因变量；
（2）这个水箱原有水 L；
（3） min时水箱注满水；
（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水 L.
2．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：
温度（℃）
-5
0
5
10
15
长度（cm）
9.995
10
10.005
10.01
10.015

（1）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中 自变量， 长度是因变量.
（2）当温度是10 ℃时，合金棒的长度是 10.01cm．
（3）假如合金棒的长度大于10.05 cm小于10.15 cm，根据表中的数据推测，此时的温度应在 50 ℃～ 150℃的范围内．
（4）当温度为-20 ℃和100 ℃，合金棒的长度分别为 9.98cm和 10.1cm．

专题二 根据表格拟定自变量、因变量及变化规律
3．七年级（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：
爬坡长度x/m
30
50
80
100
150
200
爬坡时间y/min
2
3.7
6.5
9
14
20

（1）当爬到100 m时，所花的时间是多少？
（2）当爬到每增长10 m时，所花的时间相同吗？
（3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？

4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：
时 间（ s ）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
速度（m/s）
0
0.3
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个变量是自变量？哪个变量是因变量？
（2） 假如用t表达时间，v表达速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
（3） 当t每增长1 s时，v的变化情况相同吗？在哪一秒钟,v的增长量最大？
（4） 若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120 km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达成这个上限?

专题三 用关系式表达两个变量之间的关系
5．某水果批发市场香蕉的价格如下表：
 购买香蕉数
x（公斤）
 x≤20
 20<x≤40
 x>40
 每公斤价格
 8元
 7元
 6元
若小强购买香蕉x公斤（x大于40公斤）付了y元，则y关于x的关系式为 .

6.（1）某礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每一排都比前一排多1个座位，写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式，并写出自变量n的取值范围．
（2）在其他条件不变的情况下，请探究下列问题：
①当后面每一排都比前一排多2个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式是 m=2n+18
（1≤n≤25，且n是正整数）；
②当后面每一排都比前一排多3个座位、4个座位时，则每排的座位数m与这排的排数n的关系式分别是 m=3n+17
， m=4n+16
（1≤n≤25，且n是正整数）；
③某礼堂共有p排座位，第一排有a个座位，后面每一排都比前一排多b个座位，试写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式．

专题四 用关系式求值
栽种以后的年数n/年
高度h/厘米
1
105
2
130
3
155
4
180
…
…
7．一棵树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：

（1）此变化过程中 栽种以后的年数是自变量， 树苗的高度是因变量；
（2）树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为 ；
（3）栽种后 8年后，树苗能长到280厘米．

每月每户用水量
每吨价（元）
不超过10吨部分
0.50
超过10吨而不超过20吨部分
0.75
超过20吨部分
1.50
8．某市为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
（1）现已知小伟家四月份用水18吨，则应缴纳水费多少元？
（2）写出每月每户的水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系式．
（3）若已知小伟家五月份的水费为17元，则他家五月份用水多少吨？

专题五 曲线型图象
9．温度的变化是人们经常谈论的话题．请你根据图象，讨论某地某天温度变化的情况如图所示：
（1）上午10时的温度是 度，14时的温度是 度；
（2）这一天最高温度是 度，是在 时达成的；最低温度是 度，是在 时达成的；
（3）这一天从最低温度到最高温度通过了 小时；
（4）温度上升的时间范围为 ，温度下降的时间范围为 ；
（5）你预测次日凌晨1时的温度是 ．

10．如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中.
（1）请分别找出与各容器相应的水的高度h和时间t的变化关系的图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达成一半高度时，请在关系图的t轴上标出此时t值相应点T的位置．

专题六 折线型图象
11.如图，表现了一辆汽车在行驶途中的速度随时间的变化情况．
（1）A、B两点分别表达汽车是什么状态？
（2）请你分段描写汽车在第0分钟到第19分钟的行驶状况．
（3）司机休息5分钟后继续上路，加速1分钟后开始以60 km/h的速度匀速行驶，5分钟后减速，用了2分钟汽车停止，请在原图上画出这段时间内汽车的速度与时间的关系图．

第三章 变量之间的关系复习题
1．一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度就会发生变化，实验数据如下表：
所挂物体的质量/公斤
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度/cm
12
12.5
13
13.5
14
14.5
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)弹簧不挂物体时的长度是多少？假如用x表达弹性限度内物体的质量，用y表达弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？
(3)假如此时弹簧最大挂重量为15公斤，你能预测当挂重为10公斤时，弹簧的长度是多少？

2．如图：将边长为20cm的正方形纸片的四个角截去相同的小正方形，然后将截好的材料围成一个无盖的长方体。

(1) 这个情境反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？
(2)在以上问题中，若设截去的小正方形的边长是xcm，围成的无盖长方体的体积是ycm3,则y与x之间的关系式是__________________；
(3)若小正方形的边长是5cm，那么长方体的体积是多少cm3？当x=2.5cm体积是多少cm3
(4)根据以上关系式填下表：
x/cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y/cm3

(5)当x在什么范围变化时，y随x的增大而增大，当x在什么范围变化时，y随x的增大而减小？你又是根据哪种表达法得到的？
(6)请你估计x取何值时，制成的无盖长方体的体积最大？

3．小红与小兰从学校出发到距学校5千米的书店买书，下图反映了他们两人离开学校的路程与时间的关系。根据图形尝试解决你们提出的问题。
3
1
2
4
5
0
10
20
30
40
50
60
t/分钟
s/千米
实线---小兰
虚线---小红
（1）小红与小兰谁先出发？谁先达成？
（2）描述小兰离学校的路程与时间的变化关系。
（3）小兰前20分钟的速度和最后10分钟的速度是多少？如何从图像上直观地反映速度的大小？
（4）小红与小兰从学校到书店的平均速度各是多少？

4．一辆汽车以每小时50千米的速度行驶了t小时，行驶的路程为s千米.
（1）这个情境中，有哪些变量？其中自变量是什么？因变量是什么？
(2)你能用哪种方式表达路程与时间之间的关系？具体做一做。
（3）该汽车行驶2.5小时的路程是多少千米？
（4）一段公路全长350千米，这辆汽车行驶完全程需要多少小时？

5. 2023年6月份某一天沈阳的气温随时间变化的情况如图所示，回答下列问题：
温度/℃
20
22
24
26
28
时间
0
3
6
9
12
15
18
21
24
(1)这天的最高气温约是 ℃；
(2)这天一共有 个小时的气温在24℃以上；
(3)这天在 范围内温度在上升；
这天在 范围内温度在下降；
(4)请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约多少度。

6.果子成熟从树上落到地面，它落下的高度与通过的时间有如下的关系：
时间t/秒
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
…
高度 h/米
5×0.25
5×0.36
5×0.49
5×0.64
5×0.81
5×1
…
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)假如果子通过2秒落到地上，那么请估计这果子开始落下时离地面的高度是多少米？
(3)请你列出果子落下的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系式。
7．某种油箱容量为60升的汽车，加满汽油后，汽车行驶时油箱的油量Q（升）随汽车行驶时间t（时）变化的关系式如下：Q＝60－6t
(1)请完毕下表
汽车行驶时间t/小时
0
1
2.5
4
油箱的油量Q/升
60

(2)汽车行驶5小时后，油箱中油量是 升
(3)若汽车行驶过程中，油箱的油量为12升，则汽车行驶了 小时
(4)贮满60升汽油的汽车，最多行驶 小时
(5)下面哪个图像可以反映变量Q与t的关系的是（ ）
Q
t
（A）
Q
t
（B）
Q
t
（C）

情景创设：分析下面反映变量之间关系的图，想象一个适合它的实际情境.

（1）可以把x和y分别代表时间和距离，那么这个图可以描述为：小华骑车从学校回家，一段后，停下来修车，然后又开始往家走，直到回家；
（2）可以把x和y分别代表时间和速度，那么这个图可以描述为：一辆汽车，减速行驶一段时间后，匀速行驶了一段时间，然后逐渐减速，到了目的地停下来.
（3）可以把x和y分别代表时间和蓄水量，那么这个图可以描述为：一个水池先放水，一段后，停止，随后，又接着放水直到放完.
（4）可以把x和y分别代表时间和高度，那么这个图就可以描述为：一架飞机从一定的飞行高度慢慢下降一个高度，然后在这一高度飞行了一段时间后，快到机场时，开始降落，最后降落在机场.