数字信号处理实验三时域及频域采样定理.doc

学生实验报告

开课学院及实验室： 电子楼317 2013 年 4 月 8 日
学院
机械与电气工程学院
年级、专业、班

姓名

学号

实验课程名称
数字信号处理实验
成绩

实验项目名称
实验三　时域及频域采样定理
指导老师

一、实验目的
熟悉并加深对采样定理的理解，了解采样信号的频谱和模拟信号频谱之间的关系。
二、实验原理
模拟信号经过理想采样，形成采样信号。采样信号的频谱和模拟信号频谱之间的关系如下：

此式告诉我们，采样信号的频谱是由模拟信号的频谱按照采样角频率周期性的延拓形成的，由此得到结论：采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才不会引起频率混叠。但用此式在计算机上进行计算不方便，下面我们将导出另外一个公式，以便在计算机上进行实验。
对模拟信号进行理想采样的公式如下式：
　　　　　　（3.1）
对上式进行傅立叶变换，得到：

将上式的积分号和求和号交换次序，得到：

在上式的积分号内，只有当时，才有非零值，因此：

式中，在树值上等于由采样得到的时域离散信号，如果再将代入，得到：
　　　　　　　　　（3.2）
上式的右边就是序列的傅立叶变换，即：
　　　　　　　　　（3.3）
上式说明采样信号的傅立叶变换可用相应序列的傅立叶变换得到，只要将自变量用代替即可。
这里有一个问题要解释，采样信号的频谱是将模拟信号的频谱按照采样角频频率为周期，进行周期性延拓形成的，而序列的傅立叶变换是以为周期，这里是否一致？答案是肯定的。因为按照公式，当时，，因此序列的傅立叶变换以为周期，转换到模拟域就是以采样频率为周期。另外，是的折叠频率，如果产生频率混叠，就是在该处附近发生，在数字域中，就是在附近易产生频谱混叠。有了以上的公式和概念，就可以用计算机研究对模拟信号的采样定理。
下面分析频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数，在[0，2π]上等间隔采样N点，得到
（3.4）

则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：
(3.5)
由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[]得到的序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果N>M，比原序列尾部多N-M个零点；如果N<M，z则=IDFT[]发生了时域混叠失真，而且的长度N也比x(n)的长度M短，因此。与x(n)不相同。
在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。因此放在一起进行实验。
三、使用仪器、材料
1、硬件：计算机 2、软件：Matlab
四、实验步骤
(一) 时域采样定理实验
1.　给定模拟信号如下：

假设式中A=444.128, , rad/s，将这些参数代入上式中，对进行傅立叶变换，得到，画出它的幅频特性，如图3.1所示。根据该曲线可以选择采样频率。

图3.1　的幅频特性曲线
2.　按照选定的采样频率对模拟信号进行采样，得到时域离散信号：

这里给定采样频率如下：，300Hz，200Hz。分别用这些采样频率形成时域离散信号，按顺序分别用、、表示。选择观测时间。
3.　计算的傅立叶变换：
　　（3.6）
式中，，分别对应三种采样频率的情况。采样点数用下式计算：
　　　　　　　　　（3.7）
（3.6）式中，是连续变量。为用计算机进行数值计算，改用下式计算：
　　　（3.8）
式中，，，；。可以调用MATLAB函数fft计算3.8式。
4.　打印三种采样频率的幅度曲线，，；。

（二）频域采样定理实验
给定信号如下：
编写程序分别对频谱函数在区间上等间隔采样32和16点，得到：

再分别对进行32点和16点IFFT，得到：

分别画出、的幅度谱，并绘图显示x(n)、的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。
提示：频域采样用以下方法容易变程序实现。
① 直接调用MATLAB函数fft计算就得到在的32点频率域采样
② 抽取的偶数点即可得到在的16点频率域采样，即。
③ 当然也可以按照频域采样理论，先将信号x(n)以16为周期进行周期延拓，取其主值区（16点），再对其进行16点DFT(FFT),得到的就是在的16点频率域采样。
五、实验过程原始记录（数据、图表、计算等）
(一) 时域采样定理实验MATLAB代码
A=444.128;
a=50*pi*sqrt(2);
w0=50*pi*sqrt(2);
fs1=1000;
fs2=300;
fs3=200;
Tp=0.05; %观察时间Tp=50ms
n1=0:Tp*fs1-1; %产生不同的长度区间n1,n2,n3
n2=0:Tp*fs2-1;
n3=0:Tp*fs3-1;
T1=1/fs1; %不同的采样频率对应的采样周期
T2=1/fs2;
T3=1/fs3;
x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); %产生采样序列
x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);
x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);
Xk1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n)的FFT变换
Xk2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT变换
Xk3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT变换
k1=0:length(Xk1)-1;
fk1=k1/Tp; %x1(n)的频谱的横坐标的取值
k2=0:length(Xk2)-1;
fk2=k2/Tp; %x2(n)的频谱的横坐标的取值
k3=0:length(Xk3)-1;
fk3=k3/Tp; %x3(n)的频谱的横坐标的取值
subplot(3,2,1)
stem(n1,x1,'.')
title('(a)Fs=1000Hz');
xlabel('n');
ylabel('x1(n)');
subplot(3,2,3)
stem(n2,x2,'.')
title('(b)Fs=300Hz');
xlabel('n');
ylabel('x2(n)');
subplot(3,2,5)
stem(n3,x3,'.')
title('(c)Fs=200Hz');
xlabel('n');
ylabel('x3(n)');
subplot(3,2,2)
plot(fk1,abs(Xk1))
title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度');
subplot(3,2,4)
plot(fk2,abs(Xk2))
title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度')
subplot(3,2,6)
plot(fk3,abs(Xk3))
title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz');
xlabel('f(Hz)');
ylabel('幅度')
实验图像：

（二）频域采样定理实验MATLAB代码
M=32;
N=27;
n=0:1:N-1;
xn=(n>=0&n<=13).*(n+1)+(n>=14&n<=26).*(27-n); %产生x(n)
Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)]
X32k=fft(xn,32); %32点FFT[x(n)]
x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)
m=0:15; %x(n)以16为周期作周期延拓并取主值区间，得到序列x16n
x16n=(m>=0&m<=13).*(m+1)+(m>=14&m<=26).*(27-m)+(m>=0&m<=10).*(11-m);
X16k=fft(x16n,16);
k=0:1023;
wk=2*k/1024; %连续频谱图的横坐标取值
subplot(3,2,1);
plot(wk,abs(Xk));
title('(a)FT[x(n)]');
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('|X(e^j^\omega)|');
axis([0,1,0,200])
subplot(3,2,2);
stem(n,xn,'.');
title('(b)三角波序列x(n)');
xlabel('n');
ylabel('x(n)');
axis([0,32,0,20])
k=0:M/2-1; %离散频谱图的横坐标取值
subplot(3,2,3);
stem(k,abs(X16k),'.');
title('(c)16点频域采样');
xlabel('k');
ylabel('|X_1_6(k)|');
axis([0,8,0,200])
n1=0:M/2-1;
subplot(3,2,4);
stem(n1,x16n,'.');
title('(d)16IDFT[X_1_6(k)]');
xlabel('n');
ylabel('x_1_6(n)');
axis([0,32,0,20])
k=0:M-1; %离散频谱图的横坐标取值
subplot(3,2,5);
stem(k,abs(X32k),'.');
title('(e)32点频域采样');
xlabel('k');
ylabel('|X_3_2(k)|');
axis([0,16,0,200])
n1=0:M-1;
subplot(3,2,6);
stem(n1,x32n,'.');
title('(f)32IDFT[X_3_2(k)]');
xlabel('n');
ylabel('x_3_2(n)');
axis([0,32,0,20])
实验图像：

六、实验结果及分析
1. 由时域采样定理实验的图像可见，采样序列的频谱是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；而采样频率为200Hz时频谱混叠情况更很严重。
由实验图像可以看出，时域非周期对应着频域连续。对连续时间函数采样处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则会引起频域的混叠。要满足信号的采样频率Fs不能小于最高频率Fc的两倍，不满足时，频率会在ω=π附近或者f=fs/2时产生混叠且在该点混叠最严重。
2. 频域采样定理实验图像验证了频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数X(ejω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时，N点IDFT[]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：
由于N<M，发生了时域混叠失真，所以的效果与x(n)不相同，如(c)和(d)所示。当N=32时，如(e)和(f)所示，由于N>M，满足频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此与x(n)相同。
由结果可知，对一个信号的频谱进行采样处理时，必须严格遵守频域采样定理，否则，用采样的离散频谱恢复原序列信号时，所得的时域离散序列会存在混叠失真的情况。