2025年北京大学自主招生数学试题.doc

北京大學自主招生数學试題
1  求证：边長為1的正五边形對角线長為

略解：
三角形ABE∽三角形DAE
则：

2   已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1
   求证△ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的二分之一

略解：如图得证
3  已知

4  排球單循壞赛 南方球队比北方球队多9支  南方球队總得分是北方球队的9倍 求证 冠軍是一支南方球队（胜得1分 败得0分）
解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支
所有球队總得分為
南方球队總得分為
北方球队總得分為
南方球队内部比赛總得分
北方球队内部比赛總得分

解得：
由于為整数
x=6或x=8
當x=6時
所有球队總得分為=210
南方球队總得分為=189
北方球队總得分為=21
南方球队内部比赛總得分=105
北方球队内部比赛總得分=15
北方胜南方得分=21-15=6
北方球队最高得分=5+6=11
由于11×15=165<189
因此南方球队中至少有一支得分超過11分．
冠軍在南方球队中
當x=8時
所有球队總得分為=300
南方球队總得分為=270
北方球队總得分為=30
南方球队内部比赛總得分=136
北方球队内部比赛總得分=28
北方胜南方得分=30-28=2
北方球队最高得分=7+2=9
由于9×17=153<270
因此南方球队中至少有一支得分超過9分．
冠軍在南方球队中
综上所述，冠軍是一支南方球队
5 （理科）O-XYZ坐標系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一种不透光立体 在點(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原點為圆心的圆C 被光照到的長度為2π 求C上未被照到的長度