面面垂直的性质答案答案(课堂PPT).ppt

平面与平面垂直的性质,1.了解平面与平面垂直的性质定理的推导过程.,2.理解平面与平面垂直的性质定理.,3.能够利用平面与平面垂直的性质定理证明空间中的线、面的垂直关系.,1.本课重点是平面与平面垂直的性质定理的理解.,2.本课难点是平面与平面垂直的性质定理的应用.,平面与平面垂直的性质定理,(1)文字语言,条件：两个平面垂直.,结论：一个平面内垂直于_的直线与另一个平面_.,(2)符号语言,=,l,_,_,交线,垂直,a.,a,a,l,(3)图形语言,(4)作用,面面垂直_垂直；作面的垂线.,线面,1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？,2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？,1.两个平面垂直，在一个平面内的一条直线若与两平面的交线相交，则该直线一定与另一个平面垂直吗？,提示：,不一定.只有与交线垂直的直线才与另一个平面垂直.,2.两个平面垂直，若一个平面内的一条直线和两平面的交线垂直，则该直线就一定垂直于另一个平面的所有直线吗？,提示：,一定.由面面垂直的性质可知，该直线垂直于另一平面，因此也就垂直于这个平面内的所有直线.,3.设两个平面互相垂直，则下列说法中：,(1)一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面.,(2)过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一平面内.,(3)过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面.,(4)分别在两个平面内的两条直线互相垂直或平行.,正确的序号是_.,【解析】,(1)错误，平面内的直线只有垂直于交线的才垂直于另一个平面.(3)错误，因为过交线上一点垂直于交线的直线，一定在过交线上该点的垂面上，不一定在另一个平面中.分别在两个平面内的两条直线可能异面、平行、相交(包括垂直),故(4)错误.只有(2)正确.,答案：,(2),4.如图所示，已知平面平面，,=,l,，A,l,，B,l,，AC，,BD,AC,l,，BD,l,，且AB=4，,AC=3，BD=12，则CD=_.,4.如图所示，已知平面平面，,=,l,，A,l,，B,l,，AC，,BD,AC,l,，BD,l,，且AB=4，,AC=3，BD=12，则CD=_.,【解析】,连接BC,AC,l,BC=,又平面平面，=,l,，BD,l,BD平面，BDBC，CD=,答案：,13,对平面与平面垂直的性质的认识,两个平面垂直的性质定理也可简述为“面面垂直，则线面垂直”.该定理可作为“线面垂直”的判定方法：只要有两个平面垂直，那么过平面内一点向交线作垂线便得线面垂直，进一步有线与线的垂直.平面与平面垂直的判定与性质相结合，为证明线线垂直、线面垂直提供了更多的技巧.,面面垂直的性质定理的应用,【技法点拨】,应用面面垂直的性质定理的策略,(1)应用步骤:面面垂直 线面垂直线线垂直.,(2)应用类型:证明线面垂直、线线垂直;,作线面角或作二面角的平面角.,【典例训练】,1.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面上，且ACPC,平,面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图,形是(),(A)一条线段,(B)一条直线,(C)一个圆,(D)一个圆，但要去掉两个点,2.如图所示，平面，直线a，,且，=AB,a，,aAB.,求证：a.,【解析】,1.选D.平面PAC平面PBC,ACPC,AC平面PAC,且平面PAC平面PBC=PC，,AC平面PBC.,又BC平面PBC，ACBC，ACB=90，,动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.,2.a,过a作平面交于a，,aAB.,，=AB，,a，,a.,【思考】,在应用面面垂直的性质定理时应注意哪几点？,提示：,应特别注意三点：(1)两个平面垂直是前提条件；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.,【变式训练】,是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn;,n;m.,以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.,【变式训练】,是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：mn;,n;m.,以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.,【解析】,利用面面垂直的判定，可知为真；利用面面垂直的性质，可知为真.应填“若则”，或“若则”.,答案：,若则(或若则),与面面垂直有关的计算,【技法点拨】,与面面垂直有关的计算的方法,(1)求角的大小.由所给面面垂直的条件先转化为线面垂直，再转化为线线垂直，一般转化为在三角形中的计算问题.,(2)求线段的长度、点到直线或平面的距离以及几何体的体积.求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法.,2.如图所示，正四棱柱ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,底面边长为2 侧棱长为4，E，F分别,为棱AB,BC的中点，EFBD=G.,(1)求证：平面B,1,EF平面BDD,1,B,1,；,(2)求点D,1,到平面B,1,EF的距离.,2.(1),连接,AC.,正四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是正方形，,ACBD.,又,ACDD,1,且,BDDD,1,=D,故,AC,平面,BDD,1,B,1,，,E，F分别为棱AB,BC的中点，故EFAC，,EF平面BDD,1,B,1,，,平面B,1,EF平面BDD,1,B,1,.,(2)解题流程:,【变式训练】,如图所示：平面平面，A,B,AB与平面,所成的角分别为45和30，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A，B，且AB=12，则AB=_.,【解题指南】,找到线面角，将AB放在直角三角形中求解.,【解析】,连接AB和AB，则BAB为AB与所成的角，,BAB=45,同理ABA=30.,在RtABA中,AA=ABsinABA=12sin30,=6,在,RtABB,中，,AB=ABcosBAB=12cos45=,在,RtAAB,中，,AB=,AB的长为6.,答案：,6,关于折叠问题,【技法点拨】,解决折叠问题的策略,(1)抓住折叠前后的变量与不变量.一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化,这是解决这类问题的关键.,(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况.注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况.,【典例训练】,1.如图所示，沿直角三角形ABC 的中位线DE 将平面ADE 折起,使得平面ADE平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是_.,2.如图所示，在平行四边形ABCD 中,已知AD=2AB=2a,BD=,ACBD=E,将其沿对角线BD折成直二面角.,求证:(1)AB平面BCD;,(2)平面ACD平面ABD.,【解析】,1.ADDE,平面ADE平面BCDE,且平面ADE平面BCDE=DE,AD平面BCDE.又BC平面BCDE,ADBC.又BCCD,CDAD=D,BC平面ACD,又BC平面ABC,平面ABC平面ACD.,答案：,平面ABC平面ACD,2.(1),在,ABD,中,AB=a,AD=2a,BD=,AB,2,+BD,2,=AD,2,ABD=90,ABBD.,又平面,ABD,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD=BD,AB,平面,ABD,AB平面BCD.,(2)折叠前四边形ABCD是平行四边形,且ABBD,CDBD.AB平面BCD,ABCD.,又ABBD=B,CD平面ABD.,又CD平面ACD,平面ACD平面ABD.,【变式训练】,如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起.,(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB=AC；,(2)如果AB=AC，求证：平面ADE平面BCDE.,【解题指南】,本题的关键是转化垂直条件.第(1)问由条件可得平面ADE平面BCDE，可作AMDE于点M，则AM平面BCDE，AMBC,取BC中点N,连接MN,AN,从而有BC平面AMN，BCAN.即可证AB=BC.第(2)问，只需证线面垂直，即证AM平面BCDE.,【解析】,(1)过点A作AMDE于点M，,则AM平面BCDE，,AMBC.又AD=AE，,M是DE的中点，取BC中点N，,连接MN，AN，则MNBC.,又AMBC，AMMN=M，BC平面AMN，ANBC.又N是BC中点，AB=AC.,(2)取BC的中点N，连接AN，AB=AC，ANBC.,取DE的中点M，连接MN，AM，MNBC.,又ANMN=N,BC平面AMN,AMBC.,又M是DE的中点，AD=AE,AMDE.,又DE与BC是平面BCDE内的相交直线，,AM平面BCDE.AM平面ADE,平面ADE平面BCDE.,【规范解答】,面面垂直性质定理的综合应用,【典例】(12分)如图所示：在四棱锥,V-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，,侧面三角形VAD是正三角形，平面VAD,底面ABCD.,(1)证明AB平面VAD；,(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值.,【解题指导】,【规范解答】,(1)底面四边形ABCD是正方形,ABAD.,1分,又平面VAD底面ABCD，,AB平面ABCD,，且,平面VAD平面ABCD=AD,3分,AB平面VAD.,5分,(2)如图所示，,取VD的中点E，连接AE,BE.VAD是正三角形,AEVD,，,AE=AD.,AB,平面,VAD,，,ABVD.8,分,又,AEAB=A,，,VD,平面,ABE.,BEVD,.,因此,AEB,就是所求二面角的平面角,，,10,分,于是tanAEB=.12分,【规范训练】,(12分)如图所示：,已知PA平面ABC,二面角A-PB-C 是直二面角.,求证:ABBC.,【解题设问】,(1)由二面角A-PB-C是直二面角可得到什么？,_,.,(2)解答本题的思路是什么？,欲证ABBC，需由,_,得到线面垂直.,进而可得到线线垂直，最后根据,_,寻找垂直关系.,面面垂直,面面垂直的性质定理,PA平面ABC,【规范答题】,由二面角A-PB-C为直二面角,得平面PAB平,面CPB,且PB为交线.2分,在平面PAB内,过A点作ADPB,D为垂足,4分,则AD平面CPB.又BC平面CPB,所以ADBC.,6分,因为PA平面ABC,BC平面ABC,所以PABC,8分,又PAAD=A,所以BC平面PAB,10分,又AB平面PAB,所以ABBC.,12分,1.设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则(),(A)直线a必垂直于平面,(B)直线b必垂直于平面,(C)直线a不一定垂直于平面,(D)过a的平面与过b的平面垂直,【解析】,选C.直线a垂直于平面内的一条直线b，b不一定是交线，不能判定直线a必垂直于平面，故A不正确；同理，B不正确；过a的平面有无数个，与过b的平面位置关系平行，相交均可，D不正确；故选C.,2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平,面(),(A)垂直 (B)平行,(C)平行或相交 (D)平行或相交或在另一个平面内,2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平,面(),(A)垂直 (B)平行,(C)平行或相交 (D)平行或相交或在另一个平面内,【解析】,选D.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线若为交线，则在另一个平面内；若与交线平行，则与另一个平面平行；若与交线相交，则与另一个平面相交.,3.已知PA正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面有(),(A)5对 (B)6对,(C)7对 (D)8对,3.已知PA正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，AC，BD，则互相垂直的平面有(),(A)5对 (B)6对,(C)7对 (D)8对,【解析】,选C.平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD，平面PAB平面PBC，平面PDC平面PAD，平面PAB平面PAD，平面PDB平面PAC，平面PAC平面ABCD.,