微积分人大3版77市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页,下页,铃,结束,返回,首页,7.7,一些初等函数幂级数展开式,一、直接展开法,函数,e,x,及sin,x,展开式,二、间接展开法,上页,下页,铃,结束,返回,首页,第1页,第1页,一、直接展开法,假如函数,f,(,x,)在,x,=,0各阶导数都存在，且极限,则可将函数,f,(,x,)展开为幂级数：,。,下页,第2页,第2页,直接展开法,将,f,(,x,)展成马克劳林幂级数环节下列：,(1)求出,f,(,x,)在,x,=,0各阶导数值,f,(,k,),(0)，若函数,f,(,x,)在,x,=,0某阶导数不存在，则,f,(,x,)不能展开为幂级数。,(2)写出幂级数,并求其收敛区间。,(3)考察在收敛区间内余项,R,n,(,x,)极限是否为0，如,果为0，则有展开式,不然函数,f,(,x,)不能展成幂级数。,下页,第3页,第3页,例1,将函数,f,(,x,),=,e,x,展开成,x,幂级数。,解：,由于,f,(,n,),(,x,),=,e,x,，因此,f,(,n,),(0),=1。,级数收敛区间为(,-,+,)，,因此有展开式,于是有,幂级数,由于在区间(,-,+,)内有,下页,第4页,第4页,用直接展开法还能够得到下例幂级数展开式：,对任意实数,m,，有二项展开式：,练习,首页,第5页,第5页,比如,间接展开法是以已知函数幂级数展开式为基础，利用幂级数性质、变量变换等办法，求出函数幂级数展开式。,间接展开法中常利用几何级数：,令,q,=-,x,，则得,下页,二、间接展开法,第6页,第6页,比如,间接展开法是以已知函数幂级数展开式为基础，利用幂级数性质、变量变换等办法，求出函数幂级数展开式。,间接展开法中常利用几何级数：,令,q,=-,x,2,，则得,提问：,如何展开函数？,下页,二、间接展开法,第7页,第7页,例2,将ln(1,+,x,)展开成,x,幂级数,由于当,x,=-,1和,x,=,1时，级数分别成为,前者发散，后者收敛，因此收敛区间为(,-,1,x,1)。于是,。,下页,第8页,第8页,例3,将arctan,x,展开成,x,幂级数,由于当,x,=,1和当,x,=-,1时，级数分别成为,它们都是收敛，因此收敛区间为,-,1,1。于是,下页,第9页,第9页,例4,将函数cos,x,展成,x,幂级数。,解：由于(sin,x,),=,cos,x,，因此由sin,x,幂级数展式得,下页,第10页,第10页,解：,在展开式,下页,第11页,第11页,例6,将函数sin,2,x,展成,x,幂级数。,因此,下页,第12页,第12页,收敛区间为(,-,1,1),(,-,2,2),=,(,-,1,1)。,因此,下页,第13页,第13页,练习,结束,第14页,第14页,