根轨迹法课程设计.doc

1、根轨迹法简介 1
2、林士谔—赵访熊法（劈因子法） 3
3、根轨迹的在系统性能分析 4
4、心的体会 8
附录1 9
附录 2 11
参考文献 14

1、根轨迹法简介
　　1948年，W.R.Evans提出了一种求特征根的简单方法，并且在控制系统的分析与设计中得到广泛的应用。这一方法不直接求解特征方程，用作图的方法表示特征方程的根与系统某一参数的全部数值关系，当这一参数取特定值时，对应的特征根可在上述关系图中找到。这种方法叫根轨迹法。根轨迹法具有直观的特点，利用系统的根轨迹可以分析结构和参数已知的闭环系统的稳定性和瞬态响应特性，还可分析参数变化对系统性能的影响。在设计线性控制系统时，可以根据对系统性能指标的要求确定可调整参数以及系统开环零极点的位置，即根轨迹法可以用于系统的分析与综合。
　　利用根轨迹分析和设计闭环控制系统的图解方法。特征方程的根随某个参数由零变到无穷大时在复数平面上形成的轨迹，称为根轨迹。在控制系统的分析中，对特征方程根的分布的研究，具有重要的意义。当特征方程的次数不高于2时,其根可用解析方法来简单地定出；但当特征方程的次数高于 2时，求根过程将变得相当复杂。美国学者W.R.埃文斯在1948年提出的根轨迹方法 ，为简化特征方程的求根过程提供了一种有效的手段。在把根轨迹技术应用于控制系统的分析时，常取系统的开环增益为可变参数,据此作出的根轨迹,表示闭环控制系统的极点在不同开环增益值下的分布。控制系统的极点在复数平面上的位置与系统的稳定性和过渡过程性能有密切的关系。根轨迹的建立，为分析控制系统在不同开环增益值时的行为提供了方便的途径。对于设计控制系统的校正装置，根轨迹法也是基本方法之一。根轨迹法和频率响应法被认为是构成经典控制理论的两大支柱。
　　对于图1中的控制系统,用G(s)和H(s)分别表示系统前馈通道和反馈通道中部件的传递函数，并且当s=0时它们的值均为1,而K表示系统的开环增益，则控制系统的根轨迹条件可表示为：
相角条件：开环传递函数KG(s)H(s)的相角值
{KG(s)H(s)}＝±1800(2k+1)　(k＝0,1,2,…)
　　幅值条件：开环传递函数KG(s)H(s)的模│KG(s)H(s)│＝1 系统的根轨迹，就是当开环增益K由零变化到无穷大时，由满足相角条件和幅值条件的 s值在复数平面上所构成的一组轨迹。

图--1 控制系统
根轨迹的精确化在有些情况下，有必要对按基本规则画出的根轨迹的粗略形状，特别是位于虚轴附近的部分，进行修正，使之精确化。实现精确化的一条比较简便的途径，是采用一种由埃文斯设计的所谓对数螺旋尺的专用工具。
　　根轨迹的计算机辅助制图70年代以来，随着电子计算机的普及，利用计算机对根轨迹的辅助制图的算法和程序都已建立，这大大减轻了系统分析和设计人员的繁重工作。
根轨迹的应用
　　根轨迹的应用主要有三个方面。
　 1、用于分析开环增益(或其他参数)值变化对系统行为的影响：在控制系统的极点中，离虚轴最近的一对孤立的共轭复数极点对系统的过渡过程行为具有主要影响，称为主导极点对。在根轨迹上，很容易看出开环增益不同取值时主导极点位置的变化情况，由此可估计出对系统行为的影响。
　　2、　用于分析附加环节对控制系统性能的影响：为了某种目的常需要在控制系统中引入附加环节，这就相当于引入新的开环极点和开环零点。通过根轨迹便可估计出引入的附加环节对系统性能的影响。
　　3、　用于设计控制系统的校正装置：校正装置是为了改善控制系统性能而引入系统的附加环节，利用根轨迹可确定它的类型和参数设计。
2、林士谔—赵访熊法（劈因子法）
由于解二次方程是容易的，因此在求实系数代数方程
f(x)=xn+a1xn－1+L +an－1x+an=0
的复根时，如果找出f(x)的一个二次因子，就等于找到方程的一对复根.
        设f(x)的一个近似二次因子（任意选取）为
w(x)=x2+px+q
可用下述方法使它精确化：
（1）用w(x)去除f(x)，得到商式Q(x)和余式R(x)，即
f(x)= w(x)Q(x)+R(x)=(x2+px+q)(xn－2+b1xn－3+L +bn－3x+bn－2)+(r1 x +r2)
式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出：
bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2,L ,n
b-1=0,   b0=1
r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3
r2=bn+pbn-1=an-qbn-2
（2）用w(x)去除xQ(x)得到余式
R[1](x)=R11x＋R21
式中R11,R21，由下面的递推公式算出：
ck=bn-pck-1-qck-2, k=1,2,L ,n-3
c-1=0,   c0=1
R11=bn-2-pcn-3-qcn-4
R21=-qcn-3
（3）用w(x)去除Q(x)得到余式
R[2](x)=R12x＋R22
式中R12,R22，由下面的公式算出：
R12=bn-3-pcn-4-qcn-5
R21=bn-2-qcn-4
（4）解二元一次线性方程组

得到u,.
（5）修正后的二次式为
w [1](x)=x2+(p+u)x+(q+)
如果它还不够精确，再重复（1）至（5）的步骤进行修正，直到足够精确为止.
       林士谔—赵访熊法求实系数代数方程的复根，其优点是避免了复数运算，缺点是程序比较复杂.
3、根轨迹的在系统性能分析
控制系统的稳定性、动态特性都与特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布有密切关系。时域分析中，依靠求解输入——输出微分方程或状态方程，只能确定控制系统闭环极点的具体分布。若要研究参数变化对控制系统性能的影响，特别是某些参数连续变化对系统性能的影响，依靠求解特征方程的方法来确定闭环极点的位置随参数变化的情况，计算量很大，有时甚至是不可能的。现在，我们则可以通过一种简便的图解方法，很方便地给出特征方程的根随参数变化在s平面上分布位置变化的情况。我们先看下面的例子。
例1：设单位反馈系统的开环传递函数为：

当开环放大系数K从零到无穷大变化时，系统的特征根在s平面上分布情况：
系统有两个开环极点
，
系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

特征方程的根

可见特征根在s平面的位置与K有关。
K>0时，和都成为共轭复数。

具有相同的负实部，且为常数，而虚部则随K的增加其绝对值也增加。图--2给出了系统的特征根在K从零变化到无穷大时，相应位置的变化情况。
这种放大系数K从零到无穷大变化时，特征方程的根在s平面上相应变化的轨迹，称为根轨迹。根轨迹完整地反映了特征根随参数变化的情况。根据图1的根轨迹图，我们可以知道，不论K怎样变化，系统始终是稳定的。因为全部根轨迹都分布在s平面左半边。图—2和图—3分别为描点图像和实际图像。

图—2 例1描点图

图—3 例1实际图

自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确定；其动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的分布有关。 因此确定控制系统闭环极点和零点在S平面上的分布，特别是从已知的开环零极点的分布确定闭环零极点的分布，是对控制系统进行分析必须首先解决的问题。根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它是在已知系统的开环传递函数零极点分布的基础上，研究某一个和某些参数的变化对系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方程的根在S平面上分布的大致情况，通过一些简单的作图和计算，就可以看到系统参数的变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析研究控制系统的性能和提出改善系统性能的合理途径都具有重要意义。
  例2：已知单位反馈系统的开环传递函数为

根据系统的根轨迹分析系统的稳定性，并进行结果分析。
根轨迹与虚轴相交时， K=10。所以，当开环放大系数K的范围为0<Kr<10系统是稳定的。描点根轨迹图像如图—4所示，实际根轨迹图像如图—5所示。

图—4 例2描点图

图—5 例2实际图
4、心的体会
通过本次针对基于劈因子法的根轨迹分析与仿真开展课程设计，我深刻理解根轨迹的在系统性能分析中的意义和作用，掌握劈因子方法的思想和算法实现。而且对于MATLAB知识有了进一步的了解。

附录1
算法的程序流程图
开始
输入G(s)和H(s)
劈因子求根
绘图描点
结束
添加标注
K<1000
K=0
是否画点
K=K+1
Y
N
Y
N

开始
输入a为f(x)系数，拟定w(x)
满足精度
F(x)=Q(x)w(x)+R(x)
w(x)除以xQ(x)的余数R[1](x)
w(x)除以Q(x)的余数R[2](x)
N

求解u,v
w[1](x)=x2+(p+u)x+(q+v)
求二次因子根；a=Q
Y
结束
求根，输出
存在二次因子
Y
N

附录 2
主函数
p=[1];q=[1,1,0];s=[1];t=[1]; %输入
fz=cheng(p,s);fm=cheng(q,t);
fz=buzero(fz,length(fm));
zl=zeros(1,length(fm)-1);
for k=0:0.01:1000
z=pyz(k.*fz+fm); %劈因子求根
n=length(z);
for j=1:n
shi=sqrt((real(z(j))-real(zl(j)))^2);
xu=sqrt((imag(z(j))-imag(zl(j)))^2);
switch (shi>=0.01|xu>=1)
case 0
break;
case 1
plot(real(z(j)),imag(z(j)))%绘制根轨迹
hold on
zl(j)=z(j);
continue;
end
end
end
axis([-2 1 -100 100])
title('根轨迹')
xlabel('{\sigma}')
ylabel('jw')
jd=pyz(0+fm);
plot(real(jd),imag(jd),'r*')
text(-0.5,0,'\leftarrow k=1/4')
figure(2)
rlocus(p,q)

调用函数
劈因子：
function [x]=pyz(a) %输入
w=[1,1,1]; %任取一个二次因子
while length(a)>3 %判断存在二次因子
n=length(a);
u=1;b=0;Q=0; %设定初值
while (u>=0.1)|(u<=-0.1) %设定精度
p=w(2);q=w(3);
b(1)=1;b(2)=a(2)-p*b(1); %求商的系数
for i=3:n
b(i)=a(i)-p*b(i-1)-q*b(i-2);
end
for i=1:n-2
Q(i)=b(i); %商，为下次求因子准备
end
r1=b(n-1); %余式
r2=b(n)+p*b(n-1);
c(1)=0;c(2)=1;
if n>=6
for i=3:n-3
c(i)=b(n)-p*c(i-1)-q*c(i-2);
end
end
if n>=4
r=[b(n-2),b(n-3);0,b(n-2)];
r(2,1)=-q*c(n-3);
r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3);
end
if n>=5
r(1,1)=b(n-2)-p*c(n-3)-q*c(n-4);
r(2,2)=b(n-2)-q*c(n-4);
r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4);
end
if n>=6
r(1,2)=b(n-3)-p*c(n-4)-q*c(n-5);
end
u=(r1-r2*r(1,2)/r(2,2))/(r(1,1)-r(2,1)*r(1,2)/r(2,2)); %求偏差
v=(r1-r(1,1)*u)/r(1,2);
w=[1,p+u,q+v]; %矫正后的二次因子
end
a=Q;
x(n)=(-w(2)-sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)))/(2*w(1)); %求二次因子的根
x(n-1)=(-w(2)+sqrt(w(2)*w(2)-4*w(1)*w(3)))/(2*w(1));
end
if length(a)==3
x(2)=(-a(2)-sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)))/(2*a(1)); %求前两个根
x(1)=(-a(2)+sqrt(a(2)*a(2)-4*a(1)*a(3)))/(2*a(1));
elseif length(a)==2
x(1)=-a(2);
end
end

多项式的乘：
function [c]=cheng(a,b);
a=quzero(a);b=quzero(b);
c=zeros(1,length(a)+length(b)-1);
for i=1:length(a)
for j=1:length(b)
c(i+j-1)=c(i+j-1)+a(i)*b(j);
end
end

对多项式补零：
function [b]=buzero(a,n)
m=length(a);
for i=1:n
if i<=n-m
b(i)=0;
else b(i)=a(m-n+i);
end
end

去掉多项式前置零：
function [b]=quzero(a)
n=length(a);
for i=1:n
switch a(i)~=0
case 1
c=i;
break;
case 0
c=i;
continue;
end
end
for j=1:n-c+1
b(j)=a(j+c-1);
end

参考文献
1 叶庆凯.控制系统计算机辅助设计.北京：北京大学出版社，1990
2 田作华.工程控制基础.北京：清华大学出版社，2008
3 孙增析.计算机辅助设计.北京：清华大学出版社，1993
4 GB/T1526.信息处理—数据流程图、程序流程图、系统流程图、程序网络图和系统资源图的文件编制符号及约定，1989

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