浙江省余姚市梨洲中学2015年八年级数学竞赛试题(四)及答案.doc

梨洲中学数学竞赛初二试题（四）
姓名
一、 选择题（每小题5分，共25分）
1、若，则=（ ）
A．5 B. C. D.
2、已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交点构成一个面积为A的小正六边形的顶点. 则=（ ）
A． B. C. D.
3、在数29 998，29 999，30 000，30 001中，可以表示为三个连续自然数两两乘积之和的是（ ）
A．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D. 29 998
4、已知A（，），B（，）是反比例函数在平面直角坐标系的第一象限上图象的两点，满足，. 则（ ）
A． B. C. D.
5、有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，…，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）
A．1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 008
二、填空题（每小题7分，共35分）
1、在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.
2、 （表示不超过实数的最大整数）.
3、在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .
4、已知M是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M的约数中恰被这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”.则M的好数有 个.
5、设由1～8的自然数写成的数列为，，…，.则+++++++的最大值为 .
三、解答题
1、对顺序排列的数，定义下列操作规则：
规则A：相邻三数a、b、c顺序变为c、b、a，称为一次“变换”；
规则B：相邻四数a、b、c、d顺序变为d、c、b、a，称为一次“变换”．
欲将顺序排列的1，2，……，2 009，经过若干次变换变为2 009，1，2，……，2 008．问：(1)若只用规则A操作，目的能否实现?(2)若只用规则日操作，目的能否实现?若不能，请说明理由；若能，给出操作过程．

2、若一个整数能够表示成x2+2xy+2y2， (x、y是整数)的形式，则称该数为“好数”．(1)判断29是否为好数；(2)写出80，8l，……，100中的好数；(3)如果m、n都是好数，证明： mn也是好数．

3、已知正整数a、b、c满足：a＜b＜c，且ab+bc+ca=abc．求所有符合条件的a、b、c．

4、把一个马放在4×500格的棋盘上,能否将它按国际象棋规则连跳2000步,使马跳遍棋盘每一格而且回到最初位置？并证明你的结论.

5、150人要赶到90千米外的某地去执行任务.已知人步行的时速是10千米,现有一辆时速为70千米的卡车,可乘50人.请设计一种乘车与步行的方案,使这150人在最短的时间内同时赶到目的地.那么,最短的时间是多少小时?其中,在中途每次换车(上、下车)时间均忽略不计

6、（10分）已知.证明：，，三个数中至少有两个相等.

7、（15分）在凸四边形ABCD中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB.证明：AC平分∠BCD.

8、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？

9、有三堆石子的个数分别是19，8，9，现在进行如下的操作：每次从这三堆石子中的任意两堆中各取出1个石子，然后把这2个石子都加到另一堆中去，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：（1）三堆石子的数分别是2，12，22；
（2）三堆都是12．如能，请用最快的操作完成；不能，则说明理由．[注：若从第一、二堆各取1个到第三堆，可表示为（19，8，9）→（18，7，11）等]

10、有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：　　(1)某2堆石子全部取光?　　(2)3堆中的所有石子都被取走?

参考答案
一、 选择题（每小题5分，共25分）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
B
C
B
D
5.设2 015个整数为，，…，.记++…+=M.不妨设M－=（=1，2，…，2014），M－=A.则2014M=1+2+…+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当=1008－（=1，2，…，2014），=1时取到.
二、填空题（每小题7分，共35分）
题号
1
2
3
4
5
答案
9 883

4
32
4.M=，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除的有四个，即、、、.
5.由题意记S=+++++++.
该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正，于是，S=2[（8+7+6+5）－（4+3+2+1）]=32.如+++++++=32.
三
1、 (1)规则A不能实现目标．任何一个数在规则A之下，其位置的奇偶性不改变．若目标可以实现的话，则“l”由奇数位变到偶数位，这不可能．
(2)规则B可以实现目标．对任意相邻五个元12345操作如下：
12345一15432—34512—32154—51234
可见，经过4次操作后，元素“5”向前进4位．以此类推，2 008是4的倍数，经有限次日变换，可使元素2 009排在第一位置，其他元素保持原来的先后顺序．

2、证明：（1）x2+2xy+2y2=（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，29=52+22，故29是“好数”，
（2）100以内的完全平方数如下：O，l，4，9，16，25，36，49，64，8l，100．
所求范围内的好数可由它们的和求出(共九个)：80，81，82，85，89，90，97，98，100．
（3）设m=x2+2xy+2y2，n=p2+2pq+2q2．则 mn=（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）=[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]=[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）－y（p+q）]2，
令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）－y（p+q）．
那么 mn=（u+v）2+v2=u2+2uv+2v2，
因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）－y（p+q）也为整数，
所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．
3、解法一：由1≤a＜b＜c知abc=ab+bc+ca＜3bc，所以a＜3，故a=1或者a=2．
（1）当a=1时，有b+bc+c=bc，即b+c=0，这与b、c为正整数矛盾．
（2）当a=2时，有2b+bc+2c=2bc，即bc－2b－2c=0，所以（b－2）（c－2）=4，
又因为2＜b＜c，故0＜b－2＜c－2，于是b－2=1，c－2=4．即b=3，c=6，
所以，符合条件的正整数仅有一组：a=2，b=3，c=6．
解法二：∵ab+bc+ca=abc，∴
∵a＜b＜c，∴所以，1＜a＜3，a=2．
∴所以，2＜b＜4，b=3．由上得，c=6，
所以，唯一a=2，b=3，c=6．

4、

5、设卡车载50人前进的时间为t小时
将150人分为3批,卡车第一批载50人和剩余100人同时出发,同时前进.
则将第一批50人送到 70t (千米)处放下后去接第二、第三批,
让第一批50人步行去目的地.
而剩余100人在将第一批50人送到 70t (千米)处放下时,已步行了10t (千米)
卡车回头空放的时间为：(70t－10t)/(70+10)=3t/4(小时)
要将150人同时全部到达目的地,卡车所用的时间为：3t+2*3t/4=9t/2
则每批步行的时间为9t/2－t=7t/2
由题得方程：70t+(7t/2)*10=90
解之,t=6/7
卡车所用的时间为：(9/2)*(6/7)=27/7
每批步行的时间为9t/2－t=7t/2=(7/2)*(6/7)=3 (小时)
所以,将150人分为三批每批50人,卡车和人同时运动,送完第一批再接第二批,卡车来回送人,每批乘卡车的时间为6/7小时,通过的路程为60千米.每批步行的时间为3小时,所走的路程为30千米.
所以,使这150人全部到达目的地所用的时间最少为：27/7小时（上下车时间忽略不计）
6、由左边进行因式分解得到即可.
7、提示：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE.则△ABE为正三角形，下面证明E、D、C三点共线即可.可设∠DBE=，可得到∠EDA=30°.
8、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为.
依题意知.
对任意均有.
于是，.
故
.
由于为整数，从而，为2013的约数.
注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，的最大值为34，即参赛选手最多有34名.
这样的34名选手的号码是可以实现的.如.
因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.
9解：（1）经过6次操作可以达到要求，
（19，8，9）⇒（23，6，7）⇒（25，5，6）⇒（24，4，8）⇒（23，3，10）⇒（22，2，12）；

（2）不可能，
因为每次操作后，每堆石子数要么加2，要么少1，而19，8，9被3除余数分别为1，2，0，经过任何一次操作后余数分别是0，1，2，不可能同时被3整除．

10、(1)完全可以做到的，如(1989，989，89) (1900，900，0) (950，900，950)　　(50，0，50) (25，25，50) (O，0，25)．

　　(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变。
现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，除以3余数为1，所以不能将3堆中所有石子都取走，取走的部分是3的倍数，那么余下的部分必须是除以3余数为1，那么至少有1颗，所以不能为0颗。