等差数列、等比数列高考历年真题.doc

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【考点16】等差数列、等比数列
2009年考题
1.（2009安徽高考）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（ ）
（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18
【解析】选B.由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得.
2．（2009安徽高考）已知为等差数列，，则等于（ ）
A. -1 B. 1 C. 3 D.7
【解析】选B.∵即∴同理可得∴公差.
∴.
3．（2009福建高考）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）
A．1 B C.- 2 D 3
【解析】选C.∵且.
4．（2009海南宁夏高考）等差数列的前n项和为，已知，,
则（ ）
（A）38 （B）20 （C）10 （D）9
【解析】选C.因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10.
5.（2009广东高考）已知等比数列满足，且，则当时， （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A. B. C. D.
【解析】选C.由得，，则， .
6.（2009广东高考）已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= （ ）
A. B. C. D.2
【解析】选B.设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故.
7.（2009辽宁高考）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 =（ ）
（A） 2 （B） （C） （D）3
【解析】选B.设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2
于是.
8．（2009辽宁高考）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（ ）
（A）－2 （B）－ （C） （D）2
【解析】选B. a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－.
9．（2009湖南高考）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（ ）.
A．13 B．35 C．49 D． 63
【解析】选C.故选C.
或由,
所以
10．（2009四川高考）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
【解析】选B.设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100.
11．（2009辽宁高考）等差数列的前项和为，且则
【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d
∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4
答案:
12．（2009山东高考）在等差数列中,,则.
【解析】设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以.
答案:13.
13.（2009海南宁夏高考）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和=
【解析】由得：，即，，
解得q＝2，又=1，所以，，＝。
答案:
14.（2009浙江高考）设等比数列的公比，前项和为，则 .
【解析】对于
答案:15
15．（2009全国Ⅰ）设等差数列的前项和为，若,则= 。
【解析】 是等差数列,由,得
.
答案:24.
16．（2009全国Ⅱ）设等差数列的前项和为，若则 .
【解析】为等差数列，
答案:9.
17．（2009陕西高考）设等差数列的前n项和为,若,则 .
【解析】由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:2n
18.（2009北京高考）若数列满足：，则 ；
前8项的和 .（用数字作答）
【解析】，
易知，∴应填255.
答案:16,255.
19.（2009全国Ⅱ）设等比数列{}的前n项和为。若，则=
【解析】本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
答案:3
20.（2009福建高考）等比数列中，已知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
【解析】（I）设的公比为,由已知得，解得.
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
21.（2009江苏高考）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。
（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,

(2)（方法一）=,设，则=,
所以为8的约数

（方法二）因为为数列中的项，
故为整数，又由（1）知：为奇数，所以
经检验，符合题意的正整数只有。
22．（2009全国Ⅱ）已知等差数列{}中，求{}前n项和.
【解析】设的公差为，则
即解得
因此.

2008年考题
1、( 2008广东高考)记等差数列的前项和为，若，，则( )
(A)16 (B)24 (C)36 (D)48
【解析】选D.，，故.
2、(2008广东高考)记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)7
【解析】选B.,选B.
3、(2008海南宁夏高考)设等比数列的公比，前n项和为，则( )
A. 2 B. 4 C. D.
【解析】选C.。
4、（2008重庆高考）．已知为等差数列，，则等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】选C.由得：，故选C。
5、（2008浙江高考）已知是等比数列，,则公比（ ）
A. B. C.2 D.
【解析】选D.由，解得
6、（2008浙江高考）已知是等比数列，，则=( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】选C.由，解得数列仍是等比数列:其首项是
公比为所以, ，选C.
7、（2008北京高考）已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186
【解析】选C.由所以且∴.
8、（2008福建高考）设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列前8项的和为（ ）
A．128　　　B．80　　　C．64　　　D．56
【解析】选C.因为是等差数列，.
9、(2008年海南宁夏高考)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________
【解析】由于为等差数列，故∴
答案: 15
10、（2008四川高考）设数列中，，则通项 ___________。
【解析】∵ ∴，，
，，，，
将以上各式相加得：
故应填；
答案:；
11、(2008海南宁夏高考)已知数列是一个等差数列，且，。
(1)求的通项；
(2)求前n项和的最大值。
【解析】(Ⅰ)设的公差为，由已知条件，，
解出，．
所以．
(Ⅱ)．所以时，取到最大值．
12、(2008山东高考)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1(n≥2).
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
【解析】(Ⅰ)由已知，

所以当，
因此
(Ⅱ)设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0. 因为
所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，故 a81在表中第13行第三列，
因此a81=
又 　所以 q=2.
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
则(k≥3).
13、 (2008天津高考)已知数列中，，，且．
（Ⅰ）设，证明是等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．
【解析】（Ⅰ）由题设，得，即．
又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），
，
，
……
．
将以上各式相加，得．所以当时，

上式对显然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．
由可得，由得
， ①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
．
由①可得．
所以对任意的，是与的等差中项．
14、（2008四川高考）设数列的前项和为，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）证明： 是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
【解析】（Ⅰ）因为，所以 由知
得 ①
所以
（Ⅱ）由题设和①式知

所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）.
15、（2008全国Ⅱ）设数列的前项和为．已知，，．
（Ⅰ）设，求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）依题意，，即，由此得．
因此，所求通项公式为，．① 6分
（Ⅱ）由①知，，
于是，当时，，
，
当时，．
又．综上，所求的的取值范围是． 12分
16、（2008四川高考） 设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；
（Ⅱ）求的通项公式
【解析】由题意知，且
两式相减得 即 ①
（Ⅰ）当时，由①知
于是
又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由①得
因此
得.

2007年考题
1.（2007海南宁夏高考）已知是等差数列，，其前10项和，
则其公差（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】选D.

2.（2007海南宁夏高考）已知，，成等差数列，成等比数列，
则的最小值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】选D
3.（2007海南宁夏高考）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．
【解析】选B.曲线的顶点是，则：由
成等比数列知，
4.（2007全国Ⅰ）等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为______。
【解析】等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，又，即，解得的公比.
答案
5.（2007广东高考）已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=（ ）
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
【解析】选B. 此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8。
6.（2007天津高考）设等差数列的公差不为0.若是与的等比中项，
则 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选B. 由等差数列且，得.
，又∵是与的等比中项，则有
即：得，解之得（舍去）．
7.（2007安徽高考）等差数列的前项和为若（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6
【解析】选C.等差数列的前项和为，若则=2，，∴ .
8.( 2007福建高考)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】选C.a2·a6= a42=16.
9.（2007湖南高考）在等比数列中，若，则该数列的前10项和为（ ）
A．　　　　 B. 　 　　 C.　 　 　D.
【解析】选B. 由，所以.
10.（2007湖北高考）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，
且，则使得 为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选D.
由等差数列的前项和及等差中项，可得
，
故时，为整数。故选D.
11.（2007重庆高考）若等差数列{}的前三项和且，则等于（ ）
A．3 B.4 C. 5 D. 6
【解析】选A.由可得
12.（2007重庆高考）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
【解析】选A. 由可得
13.（2007重庆高考）设的等比中项，则a+3b的最大值为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【解析】选B.的等比中项，则
令则：
14.（2007辽宁高考）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
【解析】选B. 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差数列，所以S=45.
15.（2007四川高考）等差数列中，，，其前项和，则（　　）
（A）9　　　　（B）10　　　　（C）11　　　　（D）12
【解析】选Ｂ．
16.（2007陕西高考）各项均为正数的等比数列的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S40等于（ ）
（A）80　　　　（B）30 (C)26 (D)16ZX
【解析】选B.
17.（2007陕西高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若（ ）
（A）12 （B）18 （C）24 （D）42
【解析】选C. S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24.
18.（2007广东高考）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项
满足5<ak<8，则k= .
【解析】{an}等差,易得,解不等式,可得.
19.（2007海、宁高考）已知是等差数列，，其前5项和，则其公差　　　　．
【解析】
答案:
20.（2007北京高考）若数列的前项和，则此数列的通项公式
为 ；数列中数值最小的项是第 项．
【解析】数列的前项和，数列为等差数列，数列的通项公式为=，数列的通项公式为，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列中数值最小的项。
答案:an= 3
21.（2007全国Ⅱ）已知数列的通项，则其前项和 ．
【解析】已知数列的通项，，则其前项和=．
答案:
22.（2007江苏高考）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，
（1）若是大于的正整数，求证：；
（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；
【解析】设的公差为，由，知，（）
（1）因为，所以，
，
所以
（2），由，
所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
，设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，
所以，若，则，那么，
当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，
因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为
与数列的第项相等，从而结论成立。
（3）设数列中有三项成等差数列，则有
2设，所以2，
令，则，因为，所以，
所以，即存在使得中有三项成等差数列。
23.（2007山东高考） 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且构成等差数列．
（1）求数列的等差数列．
（2）令求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得 解得．
设数列的公比为，由，可得．
又，可知，即，解得．
由题意得．．故数列的通项为．
（2）由于 由（1）得
又 是等差数列．

故．
24.（2007北京高考）数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；
（II）求的通项公式．
【解析】（I），，，
因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
，
，

，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
所以．
25.（2007湖南高考）设是数列（）的前项和，，且，，．
（I）证明：数列（）是常数数列；
（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．
【解析】（I）当时，由已知得．
因为，所以． …………………………①
于是． …………………………………………………②
由②－①得：．……………………………………………③
于是．……………………………………………………④
由④－③得：．…………………………………………………⑤
即数列（）是常数数列．
（II）由①有，所以．
由③有，所以，
而⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列．
所以，，．
由题设知，．当为奇数时，为奇数，而为偶数，所以不是数列中的项，只可能是数列中的项．
若是数列中的第项，由得，取，得，此时，由，得，，从而是数列中的第项．
（注：考生取满足，的任一奇数，说明是数列中的第项即可）
26.（2007湖北高考）已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列．
（I）证明：；
（II）若，证明数列是等比数列；
（III）求和：．
【解析】方法1：（I）由，有， ．
（II），，，
．
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）得，，于是

．
当时，．
当时，
．
故
方法2：（I）同方法1（I）．
（II），又，
是首项为5，以为公比的等比数列．
（III）由（II）的类似方法得，
，
，．
．
下同方法1．
27.（2007上海高考）若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项
（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和
【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为．
（2），
，
当时，取得最大值． 的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
对于①，当时，．
当时，
．
对于②，当时，．
当时，．
对于③，当时，．
当时，．
对于④，当时，．
当时，．