四川省自贡市2024学年新高考选考适应性考试数学试题.docx

四川省自贡市 2024 学年新高考选考适应性考试数学试题

注意事项 :
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知底面为边长为2 的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCD 一 A B C D 中， P 是上底面 A B C D 上的动点.给出
1 1 1 1 1 1 1 1
以下四个结论中，正确的个数是( )
π
①与点D 距离为 3 的点 P 形成一条曲线，则该曲线的长度是 - ；
2
「 6 ]
②若DP// 面 ACB1 ，则 DP 与面ACC1A1 所成角的正切值取值范围是|L 3 , 2」| ；
③若DP = 3 ，则 DP 在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6 2 .

A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
2．已知双曲线 C 的两条渐近线的夹角为 60° , 则双曲线 C 的方程不可能为( )

A ． — 一 = 1 B ． — 一 = 1 C ． — 一 = 1 D ． — 一 = 1
x2 y2 x2 y2 y2 x2 y2 x2
15 5 5 15 3 12 21 7
3．如图， ABC 中经A = 2经B = 60。，点 D 在 BC 上， 经BAD = 30。，将△ABD 沿AD 旋转得到三棱锥 B, 一 ADC ，
分别记 B,A ， B,D 与平面 ADC 所成角为a ， β , 则a ， β 的大小关系是( )

A ．a < β < 2a B ． 2a < β < 3a
C . β < 2a ， 2a < β < 3a 两种情况都存在 D ．存在某一位置使得β > 3a

4．等差数列{a } 中，已知3a = 7a ，且a < 0 ，则数列{a } 的前n 项和S (neN* ) 中最小的是( )
n 5 10 1 n n

A ． S7 或S8 B ． S12 C ． S13 D ． S14

2 1
C :

x2 _ y2 a2 b2

= 1(a > 0,b > 0)

F

C

π

3

F

A

C


1

4

3


C

B 2

8 5
D
5

1 11

1 2 3 1
A - B - C D -
5 5 10 4
2(x _ 1)sin π x +1 = 0 [_2,4] ( )

A 4 B 6 C 8 D 10
2000 2016 y ( )

A

B

C

2000

2011

2012

2016

2000 2004

2004

D

256.5


.

R

2019

y


t

f (x)


vx
1

t
2010
2016
1 2 … 7
y(ˆ) = 99 +17.5t 2019

x e(_伪,0) x 士 x f (x2 )_ f (x1 ) > 0 a = f (lnπ)
2 1 2 x _ x

( 1 ) ( 1 )
b = f |e- 2 | ， c = f |log | ，则a ，b ，c 的大小关系为( )
（ ) （ 2 6 )

A ．b > a > c B ．b > c > a C ． c > b > a D ． c > a > b
10．若复数 z 满足 z = 1 ，则 z -i （其中 i 为虚数单位）的最大值为( )

A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4

11．已知抛物线C ：x2 = 4y 的焦点为 F ，过点 F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点， 其中点 A 在第一象限， 若弦 AB

25 AF
的长为 ，则 = ( )
4 BF
1 1 1 1
A ．2 或 - B ．3 或- C ．4 或 - D ．5 或-
2 3 4 5
12．若(|（x2 + 6 的展开式中x6 的系数为 150，则 a2 = ( )

A ．20 B ．15 C ．10 D ．25
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f (x) = ln x - 1 的极大值为 .
x
14．已知二项式的展开式中的常数项为，则 _________ .
15．某学习小组有4 名男生和3 名女生.若从中随机选出 2 名同学代表该小组参加知识竞赛， 则选出的2 名同学中恰好1
名男生1名女生的概率为 .
16．已知圆 O : x2 + y2 = 4 ，直线l 与圆O 交于P，Q 两点， A(2,2)，若 AP2 + AQ 2 = 40 ，则弦PQ 的长度的最大

值为 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列{a }的前n 项和为S ，且点 (n, S )(n =N* )在函数 y = 2x+1 - 2 的图像上；
n n n
（1）求数列 {a }的通项公式；
n

（2）设数列 {b }满足：
n

,
b = 0
1

b + b
n+1 n

= a ，求 {b }的通项公式； n n

n
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的 n =N* ，不等式b

< λb
n+1

恒成立，求实数λ 的取值范围；

18．（12 分）已知椭圆E : x2 + y2 = 1 a2 b2
1
- c .
2
(Ⅰ)求椭圆E 的离心率；

（a > b > 0 ）的半焦距为c ，原点。到经过两点(c,0)，(0, b) 的直线的距离为

i=1
5
(Ⅱ)如图， AB 是圆M : (x + 2)2 +(y 一 1)2 =
2

19．（12 分）已知函数 f (x)= (2 一 x)ex + ax .

的一条直径，若椭圆 E 经过 A ，B 两点，求椭圆E 的方程.

(Ⅰ)已知 x = 2 是 f (x)的一个极值点，求曲线 f (x)在 (0, f (0))处的切线方程
(Ⅱ)讨论关于x 的方程 f (x)= alnx(aeR)根的个数.
20．（12 分）在RtΔABC 中， 经 ABC = 90 ，tan 经ACB = 1 . 已知E，F 分别是 BC，AC 的中点.将ΔCEF 沿 EF 折 2
起，使C 到C, 的位置且二面角 C, 一 EF 一 B 的大小是 60° ,连接C,B，C,A ，如图：

（1）证明：平面 AFC , 」平面 ABC ,
（2）求平面 AFC , 与平面 BEC , 所成二面角的大小.
21．（12 分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过1% ，则该养殖场考核为合格，该养殖场在 2019 年 1 月到 8 月养殖
生猪的相关数据如下表所示：

月份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
月养殖量/千只 3

3

4

5

6

7

9

10

12
月利润/十万元

3.6

4.1

4.4

5.2

6.2

7.5

7.9

9.1
生猪死亡数/只

29

37

49

53

77

98

126

145

（1）从该养殖场 2019 年 2 月到 6 月这 5 个月中任意选取 3 个月，求恰好有 2 个月考核获得合格的概率；

（2）根据 1 月到 8 月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量 x（千只）的线性回归方程（精确到 0.001）.

（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若 9 月份的养殖量为 1.5 万只， 试估计：该
月利润约为多少万元？
Σn xy 一 nx y
附：线性回归方程 y(ˆ) = a(ˆ)+ b(ˆ)x 中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下： b(ˆ) = i=1 i i ， a(ˆ) = y 一 b(ˆ)x
Σn x 2 一 nx 2
i

参考数据：

Σ8 x2 = 460, Σ8 x y = 379.5 .
i i i
i=1 i=1

2
22．（10 分）已知命题p ： vx eR ， x2 — x + m > 0 ；命题q ：函数 f (x) = ln x — mx 无零点.

（1）若 军q 为假，求实数m 的取值范围；
（2）若p ^ q 为假， p 量 q 为真，求实数m 的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解题分析】
1
①与点 D 距离为 3 的点 P 形成以D 为圆心， 半径为 2 的- 圆弧MN ，利用弧长公式， 可得结论； ②当P 在A （或
1 4 1

C ) 时，
1

经DO1O

DP 与面ACC A 所成角经DAO
1 1 1
（或经DC O) 的正切值为
1
6
最小，当P 在O 时， DP 与面ACC A 所成角
3 1 1 1

的正切值为 2 最大， 可得正切值取值范围是 [ 6 , 2] ；③设P(x ，y ，1) ，则 x2 + y2 +1 = 3，即x2 + y2 = 2 ，
3

可得 DP 在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【题目详解】
如图：

①错误， 因为 DP =
1

1
- 圆弧 MN ，长度为 4


DP2 — DD 2 = ( 3 )2 — 12 =
1

1 2
- . 2π . 2 = π ;
4 2


2



, 与点 D 距离为 3 的点 P 形成以D 为圆心， 半径为 2 的
1

②正确，因为面ADC // 面 ACB ，所以点 P 必须在面对角线 AC
1 1 1 1 1

上运动，当P 在

A （或C ）时， DP 与面ACC A
1 1 1 1

所成角经DAO （或经DC O ）的正切值为 -6 最小（O 为下底面面对角线的交点），当 P 在O 时， DP 与面ACC A
1 1 3 1 1 1
「 6 ]
所成角经DO1O 的正切值为 2 最大，所以正切值取值范围是|L 3 , 2」| ；

③正确，设P(x, y,1)，则 x2 + y2 + 1 = 3 ，即x2 + y2 = 2 ，DP 在前后、左右、上下面上的正投影长分别为 y2 + 1 ，
x2 + 1 ， x2 + y2 ，所以六个面上的正投影长度之2( y2 + 1 + x2 + 1 + 2 )< 2(||（2 y2 + 1 2(+) x2 + 1 + 2 = 6 2 ，

当且仅当 P 在O 时取等号.
1
故选： C .

【题目点拨】
本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题.
2．C
【解题分析】
判断出已知条件中双曲线C 的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.
【题目详解】
两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与x 轴的夹角时要分为两种情况．依题意， 双曲渐近线与x 轴的夹角为 30°或 60° ,

双曲线C 的渐近线方程为 y = 土 3 x 或 y = 土 3x .A 选项渐近线为 y = 土 3 x ，B 选项渐近线为 y = 土 3x ，C 选项 3 3

渐近线为 y = 土 x ，D 选项渐近线为 y = 土 3x .所以双曲线C 的方程不可能为- - = 1 .
1 y2 x2
2 3 12

故选： C
【题目点拨】
本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.
3．A
【解题分析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得a 、 β 角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的大小，即可得

1

答案.

【题目详解】

由题可得过点B 作 BE 」AD 交 AD 于点 E ，过 B, 作CD 的垂线，垂足为 O ，则易得C = 经B,AO ， β = 经B,DO .
设CD = 1 ，则有 BD = AD = 2 ，DE = 1 ， BE = 3 ，

：可得 AB, = AB = 2 3 ， B,D = BD = 2 .
OB, OB,
sinC = ,sin β = ─ ,
AB, DB,
：sin β = 3 sinC > sinC ，：β > C ；

OB, e[0, 3] ， ：sinC e[0, ] ； 2

sin 2C = 2sinC cos C = 2sinC 1 一 sin2C ，
2 1 一 sin2C e[ 3, 2] ， ：sin 2C 3 sinC = sin β ,
：2Cβ .
综上可得， C < β2C .
故选： A .
【题目点拨】

本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平.
4．C
【解题分析】

设公差为d ，则由题意可得3(a
1


+ 4d)= 7 (a + 9d)，解得d = 1


4a 一 1
51


, 可得a
n


(55 一 4n)a 55 一 4n = 1 .令
51 51


< 0 ，可得 当

n 之14 时， a > 0 ，当n <13 时，
n

a < 0 ，由此可得数列{a } 前n 项和S
n n n

(n eN* )


中最小的.

【题目详解】

解：等差数列{a } 中，已知3a
n 5


= 7a
10


,且a
1


< 0 ，设公差为d ，

则3(a
1

常a =
n

+ 4d)= 7 (a + 9d)，解得 d = 一 4a1 ， 1 51

(55 一 4n)a
a + (n 一 1)d = 1 .
1 51

令

55 一 4n

51

55
< 0 ，可得n >
4

,故当n 之14 时， a > 0 ，当n <13 时，
n

a < 0 ，
n

故数列{a } 前n 项和S (neN* )中最小的是 S .
n n 13
故选： C.
【题目点拨】

本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.

5．B
【解题分析】
3 .
b b π
-x ，由题可知 = tan =
双曲线C 的渐近线方程为 y = 士

a a 3
| 3c |
= 3 ，解得 c = 2 ，
设点F (c,0) ，则点F 到直线 y = 3x 的距离为
( 3)2 + (一1)2
所以 c2 = a2 + b2 = a2 + 3a2 = 4a2 = 4 ，解得 a = 1 ，所以双曲线 C 的实轴的长为 2a = 2 ，故选 B .
6．A
【解题分析】
基本事件总数 n = 4 x 5 = 20 ，利用列举法求出其和等于 11 包含的基本事件有 4 个，由此能求出其和等于 11 的概率.
【题目详解】

解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取 1 个数，
基本事件总数 n = 4 x 5 = 20 ，
其和等于 11 包含的基本事件有： (9, 2) ， (3,8) ， (7, 4) ， (5,6) ，共 4 个，

常 其和等于11的概率p =
故选： A .

4 1
__________ =
.
20 5

【题目点拨】

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

7．C

【解题分析】

画出函数y = sin πx 和y = 一

【题目详解】


1

2(x 一 1)


的图像， y = sin πx 和y = 一


1

2(x 一 1)


均关于点 (1,0)中心对称，计算得到答案.

1
2(x 一 1)sin π x +1 = 0 ，验证知 x = 1 不成立，故sinπ x = 一 ，
2(x 一 1)

1
画出函数 y = sin πx 和y = 一 的图像，
2(x 一 1)

易知： y = sin πx 和y = 一

1

2(x 一 1)

均关于点 (1,0)中心对称，图像共有 8 个交点，

故所有解之和等于4x2 = 8 .
故选： C .

【题目点拨】
本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点 (1,0)中心对称是解题的关键.

8．D
【解题分析】

根据图像所给的数据，对四个选项逐一进行分析排除，由此得到表述不正确的选项.
【题目详解】
对于 A 选项，由图像可知，投资额逐年增加是正确的.对于 B 选项， 2000 一 2004 投资总额为
11+19 + 25 + 35 + 37 = 127 亿元，小于 2012 年的148 亿元，故描述正确. 2004 年的投资额为37 亿，翻两翻得到
37 x4 = 148 ，故描述正确.对于 D 选项，令t = 10 代入回归直线方程得99 +17.5 x10 = 274 亿元，故D 选项描述不正
确.所以本题选 D.

【题目点拨】

本小题主要考查图表分析能力，考查利用回归直线方程进行预测的方法，属于基础题.

9．A
【解题分析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.

【题目详解】
解：对vx ，x e(-伪,0)，且x 子 x ，有 f (x2 )- f (x1 ) > 0 1 2 1 2 x - x
2 1
f (x)在x e(-伪,0)上递增
因为定义在 R 上的偶函数 f (x)
所以 f (x)在x e(0, +伪 )上递减

1
又因为 log
= log 6 > 2 ，1 < lnπ < 2 ，
2
2
6

所以b > a > c
故选： A


1
0 < e- 2 < 1

【题目点拨】

考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.
10．B
【解题分析】

根据复数的几何意义可知复数z 对应的点在以原点为圆心， 1 为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定 z -i ，
即可得 z -i 的最大值 .

【题目详解】
由 z = 1知，复数 z 对应的点在以原点为圆心， 1 为半径的圆上，
z -i 表示复数z 对应的点与点 (0,1)间的距离，
又复数 z 对应的点所在圆的圆心到(0,1)的距离为 1，

所以 z - i = 1+1 = 2 .
max
故选： B

【题目点拨】

本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
11．C
【解题分析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出 AF , BF .

【题目详解】
设直线的倾斜角为θ ,则 AB = = = 4(25) ，
所以cos2θ = -25(16) ， tan 2θ = - 1 = -16(9) ，即tanθ = 土 4(3) ，
3 3
所以直线l 的方程为 y = 土 x +1.当直线l 的方程为 y = x +1，
4 4

|
联立〈
|ly =
( x2
= 4y
3 ，解得 -x +1
4

同理，当直线l 的方程为


AF
4 - 0
= 4 ；
= 4 ，所以
x = - 1 和x
1 2
=
BF
0 ( 1)

AF 1
. = - ，综上，
3
y = - x +1
4
AF 1
BF 4
= 4 或- .选 C.
BF 4

【题目点拨】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理. 出现了到焦点的距离时， 一般考虑抛物
线的定义.

12．C
【解题分析】

通过二项式展开式的通项分析得到C 2 a2 x6 = 150x6 ，即得解.
6

【题目详解】
由已知得Tr+1 = C6(r) (x2 )6-r (|（ x(a)r = C6(r) (a)r x12-3r ，

故当 r 2 时， 12 - 3r = 6 ，
于是有T = C 2 a2 x6 = 150x6 ，
3 6

则 a2 = 10 .
故选： C

【题目点拨】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

lnx 一 1

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
1
13. —
e2

【解题分析】

先求函的定义域，再对函数进行求导，再解不等式得单调区间，进而求得极值点，即可求出函数 f (x) 的极大值.

【题目详解】

函数 f (x) = ， x e (0, +伪) ， x
：f ,(x) = 1一 (lnx 一 1) = 2 一 lnx ， x2 x2
令 f ,(x) = 0 得， x = e2 ，

：当 x e(0, e2 ) 时， f ,(x) > 0 ，函数 f (x) 单调递增；当 x e (e2，+伪) 时， f ,(x) < 0 ，函数 f (x) 单调递减，

：当 x = e2 时，函数 f (x) 取到极大值，极大值为 f (e2 ) = lne2 一 1 = 1 . e2 e2

1
故答案为： ─ .
e2

【题目点拨】

本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意定义域
优先法则的应用.

14．2
【解题分析】
在二项展开式的通项公式中，令 的幂指数等于，求出 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数 的
值.

【题目详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为 ，，

故答案为： .
【题目点拨】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

15.

4
________
7

【解题分析】

从 7 人中选出 2 人则总数有C2 ，符合条件数有C1 . C1 ，后者除以前者即得结果
7 4 3
【题目详解】

从 7 人中随机选出 2 人的总数有C2 = 21 ，则记选出的2 名同学中恰好1名男生1名女生的概率为事件A ，
7

C1 . C1
∴P(A) = 4 3 =
C2
7

4
故答案为：
7

12 4
_________ =
21 7

【题目点拨】

组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式
16． 2 2

【解题分析】

取PQ 的中点为M，由 AP2 + AQ 2 = 40 可得 AM 2 一 OM 2 = 16 ，可得 M 在x + y + 2 = 0 上，当OM 最小时，弦PQ

的长才最大.

【题目详解】
设M 为PQ 的中点， 2 (AP2 + AQ 2 )= (2AM )2 + PQ 2 ，即 AP2 + AQ2 = 2AM 2 + 2MQ 2 ，
即40 = 2AM 2 + 2(OQ 2 一 OM 2 )， 20 = AM 2 + 4 一 OM 2 ， AM 2 一 OM 2 = 16 .
设M (x, y)，则(x 一 2)2 + ( y 一 2)2 一 (x2 + y2 )= 16 ，得x + y + 2 = 0 .

2
所以OM = = 2 ， PQ = 2 2 .
min 2 max

故答案为： 2 2

【题目点拨】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理、数形结合的思想，是一道有一定难