高三复习提纲——平面向量.doc

高三复习提纲——《平面向量》
一、常用结论
（一）向量的几何运算
1、（M为AB中点）
2、数量积：，在方向上的投影=
3、不等关系：；
（二）平面向量的坐标运算
1、；2、；
3、；；
4、若，则
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）；
（6）； （7）；
二、对向量夹角的考查（）
O
A
B

1、记号：=；
2、范围：，；
3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点；
4、.
5、为直角：；
6、为锐角：；
7、为钝角：
[范例解析]
1、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．

2、已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是(　　)
A. B. C．{0} D.∪(0，＋∞)

3、已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．

三、对向量的模的考查：1、；2、若，则；3、的含义
[范例解析]
4、已知均为单位向量，那么若，则_____________.
5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为， 则的最大值等
于________.
6、在△ABC中，若对任意k∈R，有|－k|≥||，则△ABC的形状是(　 　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

7、在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为“若＝x0e1＋y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)”．若F1(－1,0)，F2(1,0)，且动点M(x，y)满足||＝||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为(　　)
A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C.x－y＝0 D.x＋y＝0

8、已知向量＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，＝(－sin β，cos β)，其中O为坐标原点．
(1)若α－β＝且λ＝1，求向量与的夹角；
(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．

四、对向量共线的考查
1、定理：若，则存在唯一实数使得（符号代表方向，）
2、共线

[范例解析]
9、已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
10、设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)设＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，
若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.

11、如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．

五、向量与三角形
1、角的定性：；；
2、判定形状：锐角（或直角、钝角），等腰，等边，等腰非等边，…
3、若三角形的三线（中线、高线、内角平分线）中有两线合一，则必为等腰三角形；
4、若三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）中有两心合一，则必为等边三角形；
5、四心结论：； ；
；.
[范例解析]
12、在△ABC中，(＋)·＝| |2，则三角形ABC的形状一定是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

13、已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心

14、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=(++),则点P一定为三角形ABC的（ ）
A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心）
C. 重心 D. AB边的中点

六、解决向量问题的常用思路
1、基底法：在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底，其余所有向量全部均可用唯一表示，利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。
2、坐标法：根据题意，建系设点，把向量的起点确定下来，利用坐标把几何问题转化为代数问题进行求解。
3、几何法：利用向量中的几何特征，如夹角、距离（模、投影）、平行、垂直，利用三角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。
[范例解析]
15、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则·的最大值为________．
16、如图，O、A、B是平面上的三点，向量＝a，＝b，设P为线段AB的
垂直平分线上任意一点，向量＝p.若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a－b)等于(　　)
A．1 B．3 C．5 D．6

七、平面向量与三角函数的交汇
三角函数与向量的结合，常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.
[范例解析]
17、设向量a、b的夹角是x，|a|＝，|b|＝3，m是b在a方向上的投影，求函数y＝|a|m的最大值和最小值．

18、已知向量，且，求
(1) 及;
(2)若的最小值是，求实数的值.

19、设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β) 是平面上的两个向量，
若向量a＋b与a－b互相垂直．
(1)求实数λ的值； (2)若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值．

复习提纲——《平面向量》
一、常用结论
（一）向量的几何运算
1、（M为AB中点）
2、数量积：，在方向上的投影=
3、不等关系：；
（二）平面向量的坐标运算
1、；2、；
3、；；
4、若，则
（1）；（2）；（3）；
（4）； （5）；
（6）； （7）；
二、对向量夹角的考查（）
O
A
B

1、记号：=；
2、范围：，；
3、只有非零向量才有夹角概念；作角时两向量必须共起点；
4、.
5、为直角：；
6、为锐角：；
7、为钝角：
[范例解析]

1、已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
[解析]　(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y－0＝0.∴y＝－3.
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，则cosθ＝
＝＝＝－.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m，n的夹角为.

2、已知a＝(1,3)，b＝(1,1)，c＝a＋λb，若a和c的夹角是锐角，则λ的取值范围是(　D　)
A. B. C．{0} D.∪(0，＋∞)
[解析]　由条件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，从而
⇒λ∈∪(0，＋∞)．
3、已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．
[解析]　假设m、n的夹角能为60°，则cos60°＝，∴m·n＝|m||n|.①
又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，
∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.
∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②
|m||n|＝·＝k2＋1.③
由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.
∵该方程无整数解． ∴m、n的夹角不能为60°.

三、对向量的模的考查
1、；2、若，则；3、的含义

[范例解析]
4、已知均为单位向量，那么若，则_____________.
答案：由已知可得，故.
5、设为单位向量,非零向量,若的夹角为， 则的最大值等
于________.
【解析】此题考查了向量中最常用的一个结论，即，很多问题中要求向量的模都是通过求向量的平方来求解的。此题中利用求出，然后求出的表达式，最后利用函数最值的求法即可求出答案；即由已知得到： ，设的最大值为4，所以答案是2。

6、在△ABC中，若对任意k∈R，有|－k|≥||，则△ABC的形状是(　B　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

7、在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝45°，点P的斜坐标定义为“若＝x0e1＋y0e2(其中e1，e2分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的坐标为(x0，y0)”．若F1(－1,0)，F2(1,0)，且动点M(x，y)满足||＝||，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为(　　)
A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C.x－y＝0 D.x＋y＝0
解析：选D　依题意，＝(－1－x，－y)＝(－1－x)e1－ye2，
＝(1－x，－y)＝(1－x)e1－ye2，由||＝||，得2＝2，
∴[(－1－x)e1－ye2]2＝[(1－x)e1－ye2]2，∴4x＋4ye1·e2＝0.
∵∠xOy＝45°，∴e1·e2＝，故2x＋y＝0，即x＋y＝0.
8、已知向量＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，＝(－sin β，cos β)，其中O为坐标原点．
(1)若α－β＝且λ＝1，求向量与的夹角；
(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)当λ＝1时，＝(cos α，sin α)，
故||＝ ＝1，||＝ ＝1.
·＝cos α·(－sin β)＋sin αcos β＝sin(α－β)＝sin＝，
故cos〈，〉＝＝.
又因为〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.
(2) ＝－＝(－λcos α－sin β，－λsin α＋cos β)，
故||≥2||对任意实数α，β都成立，即(－λcos α－sin β)2＋(－λsin α＋cos β)2≥4
对任意实数α，β都成立，
整理得λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立．
因为－1≤sin(β－α)≤1，所以或
解得λ≥3或λ≤－3.
所以所求实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
四、对向量共线的考查
1、定理：若，则存在唯一实数使得（符号代表方向，）
2、共线

[范例解析]

9、已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
解析：选B　由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，
即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.
10、设a、b是不共线的两个非零向量，
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)设＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，
若M、P、N三点共线，求证：＋＝1.
解：(1)证明：∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴与共线，且有公共端点B，∴A、B、C三点共线.
(2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)⇒(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线， ∴
(3)证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得，
∴＝a＋b.
∵a、b不共线，∴， ∴＋＝＋＝1.
11、如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．
[解析]　在△ABD中，＝－，
因为＝a，＝b，所以＝b－a.
∵N点是BD的三等分点，∴＝＝(b－a)．
∵＝b，∴＝－＝(b－a)－b＝－a－b.　①
∵M为AB中点，∴＝a，
∴＝－＝－(＋)＝－＝－a－b.　②
由①②可得：＝. 由共线向量定理知：∥，
又∵与有公共点C，∴C、M、N三点共线．

五、向量与三角形
1、角的定性：；；
2、判定形状：锐角（或直角、钝角），等腰，等边，等腰非等边，…
3、若三角形的三线（中线、高线、内角平分线）中有两线合一，则必为等腰三角形；
4、若三角形的四心（重心、垂心、内心、外心）中有两心合一，则必为等边三角形；
5、四心结论：； ；
；.

[范例解析]
12、在△ABC中，(＋)·＝| |2，则三角形ABC的形状一定是(　　)
A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析：由
∴ ，∴∠A=90°.
答案：C
13、已知O为△ABC所在平面内一点，满足=，则O点是△ABC的( A )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：由已知得
=
== 0
= 0，∴⊥. 同理，. 故选A .

14、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=(++),则点P一定为三角形ABC的（ B ）
A. AB边中线的中点 B. AB边中线的三等分点（非重心） C. 重心 D. AB边的中点
解析：取AB边的中点M，则，由= (++2)可得，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

六、解决向量问题的常用思路
1、基底法：在图形中选择两条相交线段对应的向量作为基底，其余所有向量全部均可用唯一表示，利用加法、减法、共线及基底表示的唯一性等建立等量关系。
2、坐标法：根据题意，建系设点，把向量的起点确定下来，利用坐标把几何问题转化为代数问题进行求解。
3、几何法：利用向量中的几何特征，如夹角、距离（模、投影）、平行、垂直，利用三角形法则或平行四边形法则及共线、垂直等数形结合进行求解。
[范例解析]
15、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则·的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则E.设F(x，y)，
则·＝2x＋y.
令z＝2x＋y，当z＝2x＋y过点(2,1)时，·取最大值. 答案：
16、如图，O、A、B是平面上的三点，向量＝a，＝b，设P为线段AB的垂直平分线上任意一点，向量＝p.若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a－b)等于(　　)
A．1 B．3
C．5 D．6
[答案]　D
[解析]　由图知⊥，则·＝0，p＝＝＋＝(＋)＋，
则p·(a－b)＝·(a－b)＝(a＋b)·(a－b)＋·(a－b)＝(a2－b2)＋·＝(|a|2－|b|2)＋0＝(42－22)＝6.

七、平面向量与三角函数的交汇
三角函数与向量的结合，常常包括向量与三角函数化简、求值和证明的结合，向量与三角函数的图像与性质的结合等几个方面.
[范例解析]
17、设向量a、b的夹角是x，|a|＝，|b|＝3，m是b在a方向上的投影，求函数y＝|a|m的最大值和最小值．
[解析]　由题意得m＝|b|cosx＝3cosx，∴y＝|a|m＝()3cosx.
由0≤x≤π，得－3≤3cosx≤3， ∴≤y≤8.故ymax＝8，ymin＝.
18、已知向量,且 求
(1) 及;
(2)若的最小值是,求实数的值.
解析： (1)易求, = ;
(2) ==
=
从而 当时,与题意矛盾, 不合题意;
当时, ;
当时,解得,不满足;
综合可得: 实数的值为.
19、设a＝(cos α，(λ－1)sin α)，b＝(cos β，sin β) 是平面上的两个向量，
若向量a＋b与a－b互相垂直．
(1)求实数λ的值； (2)若a·b＝，且tan β＝，求tan α的值．
解：(1)由题设，可得(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|2－|b|2＝0.
代入a，b的坐标，可得cos2α＋(λ－1)2sin2α－cos2β－sin2β＝0，
所以(λ－1)2sin2α－sin2α＝0.
因为0<α<，故sin2α≠0，所以(λ－1)2－1＝0，
解得λ＝2或λ＝0(舍去，因为λ>0)． 故λ＝2.
(2)由(1)及题设条件，知a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝.
因为0<α<β<，所以－<α－β<0.
所以sin(α－β)＝－，tan(α－β)＝－.
所以tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.
所以tan α＝.