2021北京燕山初三二模数学(教师版).docx

2021北京燕山初三二模
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是　　
A． B．
C． D．
2．（2分）大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志．全球唯一一座“双进双出“的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光．将12800用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
3．（2分）下列运算正确的是　　
A． B．
C． D．
4．（2分）下列几何体中，是圆柱的为　　
A． B． C． D．
5．（2分）四边形的内角和为　　
A． B． C． D．
6．（2分）如图，在中，，，，则的值为　　

A． B． C． D．
7．（2分）若，则代数式的值为　　
A．3 B． C．1 D．
8．（2分）如图，小聪要在抛物线上找一点，针对的不同取值，所找点的个数，三个同学的说法如下，
小明：若，则点的个数为0；
小云：若，则点的个数为1；
小朵：若，则点的个数为2．
下列判断正确的是　　

A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如图，该正方体的主视图是　　形．

10．（2分）如图所示的正方形网格中有，则的值为　　．

11．（2分）请你写出一个函数，使得当自变量时，函数随的增大而增大，这个函数的解析式可以是　　．
12．（2分）用四个不等式①，②，③，④中的两个不等式作为题设，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题：　　．
13．（2分）如图所示的网格是正方形网格，线段绕点顺时针旋转后与相切，则的值为　　．

14．（2分）如图，小亮从一盏9米高的路灯下处向前走了8米到达点处时，发现自己在地面上的影子是2米，则小亮的身高为　　米．

15．（2分）如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是，阎村的坐标是，那么燕山的坐标是　　，窦店坐标是　　．

16．（2分）在就地过年倡议下，更多游客缩小出游半径，本地游、近郊游、周边游取代异地长线游，成为牛年出行新趋势．某地区对近郊游的住宿环境、餐饮、服务等方面对所住游客进行了综合满意度调查，在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取了100人，每人分别对这两个景点进行了评分，统计如下：
满意度评分
人数
景点
非常满意（20分）
较满意
（15分）
一般
（10分）
不太满意
（5分）
非常不满意
（0分）
合计
甲
28
40
10
10
12
100
乙
25
20
45
6
4
100
若小聪要在甲，乙两个景点中选择一个景点，根据表格中数据，你建议她去景点 　　（填甲或乙），理由是 　　．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题，7分，第23题，5分，第24题，6分，第25题，5分，第26题，6分第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．
20．（5分）下面是小玲同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线和直线外一点．求作：直线，使直线直线．
作法：如图2，
①在直线上任取一点，作射线；
②以为圆心，为半径作弧，交直线于点，
连接；
③以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，
在的右侧两弧交于点；
④作直线；
所以直线就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知平分，
　　．
又，
．　　（填依据）．
，
．
．
直线直线．　　（填依据）．

21．（5分）列方程（组解应用题：《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”
译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？”
（注：斛，音hú，是古代的一种容量单位）
22．（7分）某校初三年级有400名学生，为了解学生对代数和几何两部分知识的掌握情况，数学教师对九年级全体学生进行了一次摸底测试，代数和几何满分各50分．现随机抽取20名学生的成绩（成绩均为整数）进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

．代数测试成绩在这一组的数据是：35，36，37，37，38，38，39，39，39，39．
．几何测试成绩在的数据是40，42，47，47
．两次成绩的平均数、中位数、众数如下：

平均数
中位数
众数
代数成绩
35.2

39
几何成绩
32.05
35.5
37
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）　　，　　；
（2）测试成绩大于或等于30分为及格，测试成绩大于或等于43分为优秀名学生的成绩中代数测试及格有　　人，几何测试优秀有　　人，估计该校初三年级本次代数测试约有　　人及格，几何成绩优秀约有　　人．
（3）下列推断合理的是　　．
①代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，所以大多数学生代数掌握的比几何好．
②被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上．
23．（5分）如图，在平行四边形中，是的中点，延长到点，使，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的底边上的高及的长．

24．（6分）如图，、两点在函数的图象上．
（1）求的值及直线的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数的图象与直线围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．

25．（5分）如图，为的直径，为的切线，点是中点．
（1）求证：；
（2）如果，，求的半径．

26．（6分）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线与轴交点坐标．
（2）已知点，将点向左平移3个单位长度，得到点．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．

27．（7分）在等腰三角形中，，．点是内一动点，连接，，将绕点逆时针旋转，使边与重合，得到，射线与或延长线交于点（点与点不重合）．
（1）依题意补全图1和图2；由作图知，与的数量关系为　　；
（2）探究与的数量关系为　　；
（3）如图1，若平分，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．（7分）对于平面内的图形和图形，记平面内一点到图形上各点的最短距离为，点到图形上各点的最短距离为，若，就称点是图形和图形的一个“等距点”．
在平面直角坐标系中，已知点，，．
（1）在，，三点中，点和点的等距点是 　　；
（2）已知直线．
①若点和直线的等距点在轴上，则该等距点的坐标为 　　；
②若直线上存在点和直线的等距点，求实数的取值范围；
（3）记直线为直线，直线，以原点为圆心作半径为的．若上有个直线和直线的等距点，以及个直线和轴的等距点，当时，求的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：将12800用科学记数法表示为．
故选：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、原式，符合题意；
、原式不能合并，不符合题意；
、原式，不符合题意；
、原式，不符合题意．
故选：．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
4．【分析】根据圆柱体的特征进行判断即可．
【解答】解：圆柱体是由两个圆形的底面和一个侧面所围成的几何体，
因此选项中的几何体符合题意．
故选：．
【点评】本题考查认识立体图形，掌握各种几何体的形体特征是正确判断的前提．
5．【分析】根据多边形的内角和公式即可得出结果．
【解答】解：四边形的内角和．
故选：．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为．
6．【分析】根据勾股定理求出，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
，
故选：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键．
7．【分析】先化简分式，然后将代入求值．
【解答】解：

．
，
，
原式．
故选：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
8．【分析】把点的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【解答】解：点在抛物线上，点，
当时，，整理得，
△，
有两个不相等的值，
点的个数为2；
当时，，整理得，
△，
有两个相同的值，
点的个数为1；
当时，，整理得，
△，
点的个数为0；
故小明错，小云对，小朵错，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】根据主视图为正面所看到的图形进而得出答案．
【解答】解：正方形的主视图为正方形，
故答案为：正方．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图即为从正面所看到的图形．
10．【分析】利用网格特点，构建，然后利用正切的定义求解．
【解答】解：如图，在中，．
故答案为1．

【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．
11．【分析】直接利用反比例函数的性质得出答案
【解答】解：当自变量时，函数随的增大而增大，
只要反比例函数比例系数就符合题意，
（答案不唯一）．
故答案为：．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
12．【分析】根据题意写出命题，根据不等式的性质1、性质2证明即可．
【解答】解：题设：①，③，结论：④，是真命题．
证明，
，即，
，
，
故答案为：题设：①，③，结论：④．
【点评】本题考查的是命题和定理，掌握真命题的概念、不等式的性质是解题的关键．
13．【分析】线段绕点顺时针旋转后与相切，切点为和，连接、，根据切线的性质得，，利用直角三角形30度的判定或三角函数求出，从而得到，同理可得，则．
【解答】解：线段绕点顺时针旋转后与相切，切点为和，连接、，
则，，
在中，，，
，
，
同理可得，
，
综上所述，的值为或．
故答案为或．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质和直角三角形的性质．
14．【分析】根据，得出，进而得出比例式求出即可．
【解答】解：如图，米，米，米，，
米，
，
，
，即，
解得（米，
即小亮的身高为1.8米；
故答案为：1.8．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出是解决问题的关键．
15．【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：燕山的坐标是，窦店坐标是．
故答案为：，．

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
16．【分析】观察表格比较甲、乙两个景点满意的人数即可得到答案．
【解答】解：在甲，乙两个景点都去过的游客中随机抽取的100人中，对甲景点满意的有68人，对乙满意的有45人，
因为，
所以建议她去景点甲．
理由是满意甲景点的人数多于乙景点．
【点评】本题考查了统计表，根据表格提取出有用信息是解题关键．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题，7分，第23题，5分，第24题，6分，第25题，5分，第26题，6分第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．【分析】先化简，即可计算．
【解答】解：

．
【点评】本题考查了实数运算、指数幂计算、特殊角三角函数值，关键在于知识点的应用，熟记特殊角的三角函数值．属于基础题．
18．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：原不等式组为，
解不等式①，得；
解不等式②，得．
原不等式组的解集为．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．
（2）根据（1）中的取值范围，任取一的值，然后解方程即可．
【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
△，
解得．
（2）由（1）知，实数的取值范围为，
故取，
则，即，
解得，，．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．
20．【分析】（1）根据角平分线的作法补全图2中的图形；
（2）根据角平分线的作法、等腰三角形的性质、平行线的判定定理解答即可．
【解答】解：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形如图2所示；
（2）证明：由作图可知平分，
，
又，
（等腰三角形两底角相等），
，
．
．
直线直线（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；等腰三角形两底角相等；同位角相等，两直线平行．

【点评】本题考查的是尺规作图、平行线的判定、等腰三角形的性质，掌握基本尺规作图、平行线的判定定理是解题的关键．
21．【分析】设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，根据“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，
依题意得：，
解得：．
答：大容器的容量为斛，小容器的容量为斛．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．【分析】（1）根据扇形图中的百分数求出，根据代数测试成绩在这一组的数据求出的值；
（2）根据频数分布直方图和扇形统计图中的数据，用样本估计总体即可；
（3）根据中给出的数据判断①，求出几何测试成绩在的人数判断②．
【解答】解：（1），，
故答案为：，38；
（2）20名学生的成绩中代数测试及格有：（人，几何测试优秀有2人，
估计该校初三年级本次代数测试及格人数为：（人，几何成绩优秀人数为：（人，
故答案为：15；2；300，40；
（3）代数测试成绩的平均分为35.2分，几何的平均分为32.05分，
代数测试成绩的平均分高于几何的平均分，
但平均数受极端值的影响，不能反应大多数学生掌握较好，
不一定大多数学生代数掌握的比几何好，①推断不合理；
几何测试成绩在的人数是：（人，
被抽测的学生小莉的几何成绩是29分，她觉得年级里大概有240人的测试成绩比她高，所以她决定迎头赶上，②推断合理，
故答案为：②．
【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图、统计表，解答本题的关键是明确题意，
23．【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由线段关系可证，可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得，，，，由锐角三角函数和勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
是的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，

四边形是平行四边形，
，，，，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）分别将或3或4，代入和两个函数解析式中，求出对应的纵坐标，再根据围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标．
【解答】解：（1）由图可知，，
将和分别代入中，得，
，
设直线的解析式为，得：，
解得，，，
；
（2）由题意，得：，
或3或4，
分别代入和两个函数解析式中，满足条件的格点坐标是，．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，横纵坐标都为整数的格点的坐标确定方法，要注意不包括边界的条件．
25．【分析】（1）由切线的性质可得，由三角形中位线定理可得，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求，在中，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接，

为的切线，
，
，是的中点，
．
；
（2）连接，
为的直径，
，
，
，
为中点，
，
在中，，，，
，
，
在中，，
，
，
，
的半径为2.5．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
26．【分析】（1）运用公式求出对称轴，令，得，即可求得抛物线与轴的交点坐标；
（2）分三种情况：①当时，②当时，抛物线的顶点在线段上，③当时，若抛物线的顶点不在线段上，分别进行讨论即可．
【解答】解：（1）抛物线，
，
抛物线的对称轴是直线，
令，，
抛物线与轴交点坐标为；
（2），
抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点坐标是．
由题意得点，又，
①当时，如图1，显然抛物线与线段无公共点．
②当时，若抛物线的顶点在线段上，如图2，

则顶点坐标为，
，
．
③当时，若抛物线的顶点不在线段上，如图3，由抛物线与线段恰有一个公共点，

得，
，
综上，的取值范围是，或．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形变换平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．
27．【分析】（1）按要求作图即可；
（2）绕点顺时针旋转得到可得，即可得到答案；
（3）由旋转的性质可知．由全等三角形的性质得出，，，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得出，．设与相交于点，证得，，则可得出结论．
【解答】解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，与的数量关系为相等；

故答案为：相等；
（2）或．
当在线段延长线上时，如上图1，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
当在线段上时，如上图2，
将绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
故答案为：或；
（3）如图，线段，，之间的数量关系是：．

证明：将绕点逆时针旋转，使边与重合，得到，
．
，，，
．
平分，
．
，
．
．
．
，．
又由（2）知，，
设与相交于点，
，，
，
，
．
．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质．
28．【分析】（1）由两点距离公式分别求出、、、、、的长，即可求解；
（2）①设等距点的坐标为，由题意可得，即可求解；②根据题意，列出方程，由根的判别式可求解；
（3）由题意知直线和直线的等距点在直线上，而直线和轴的等距点在直线或上．画出图形，结合图形可得答案．
【解答】解：（1），，、，，，
，；，；，，
，
故点是点和点的等距点，
故答案为：；

（2）①设等距点的坐标为，
，
或8，
等距点的坐标为或，
故答案为：或；

②如图，设直线上的点为点和直线的等距点，
连接，过点作直线的垂线，垂足为点．

点为点和直线的等距点，
．
点在直线上，故可设点的坐标为，
则，
，
方程有实根，
△，
；

（3）如图2，由点、的坐标得，直线的表达式为，
由题意知，直线和直线的等距点在直线，
则和轴的交点坐标为且与直线平行，
故直线的表达式为：上，
同理可得，直线和轴的等距点在直线或上．

或．
【点评】本题考查了两点距离公式，圆的有关知识，理解新定义，利用数形结合思想解决问题是本题的关键。
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