快乐天天练17-函数的概念及其表示-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册寒假作业.doc

快乐天天练十七函数的概念及其表示
一．选择题（共8小题）
1．函数的定义域是（　　）
A．[2，+∞） B．（2，+∞）
C．（2，3）∪（3，+∞） D．[3，+∞）
2．下列关于x，y的关系中为函数的是（　　）
A．
B．y2＝4x
C．y＝
D．
x
1
2
3
4
y
0
0
﹣6
11
3．函数y＝1﹣的值域是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）
C．（﹣∞，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）
4．已知a＞0且a≠1，若函数的值域为[1，+∞），则a的取值范围是（　　）
A． B．（1，+∞） C．（1，2） D．（1，2]
5．函数定义域为（　　）
A． B． C．[1，+∞） D．（0，1]
6．设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.2]＝﹣4，[4.3]＝4，已知函数f（x）＝﹣，则函数y＝[f（x）]的值域是（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0，1}
7．已知min{a，b，c}表示实数a，b，c中的最小值，设函数f（x）＝min{x+1，3x﹣1，g（x）}，若f（x）的最大值为4，则g（x）的解析式可以为（　　）
A．g（x）＝1﹣x B．g（x）＝﹣x2+4x+1
C．g（x）＝4x﹣8 D．g（x）＝2x﹣4
8．已知函数f（x）＝，若函数f（x）的值域为R，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，1] B．[0，1] C．（﹣∞，0] D．[0，+∞）
二．多选题（共4小题）
9．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sinx|，函数g（x）＝[f（x）]，则（　　）

A．函数g（x）的值域是{0，1，2}
B．函数g（x）是周期函数
C．函数g（x）的图象关于x＝对称
D．方程•g（x）＝x只有一个实数根
10．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝2|x| D．y＝x2
11．若函数y＝x2﹣4x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣8，﹣4]，则实数m的值可能为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．下列各组函数表示的是同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝与g（x）＝x
B．f（x）＝|x|与g（x）＝
C．f（x）＝x+1与g（x）＝x+x0
D．f（x）＝与g（x）＝x0
三．填空题（共6小题）
13．函数y＝的值域为　 　．
14．函数y＝x﹣2+的值域是　 　．
15．若函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝，则f[f（x）]＝　 　．
16．若函数y＝的值域为[﹣1，1]，则实数m的取值范围为　 　．
四．解答题（共6小题）
17．有三个条件：①f（x+1）＝f（x）+2x﹣1；②f（x+1）＝f（1﹣x）且f（0）＝3；③f（x）最小值为2且f（0）＝3．
从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知二次函数f（x）满足 ____，f（1）＝2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）＝f（x），x∈[﹣1，4]，求g（x）的值域．
18．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y＝80+log0.8（x+a）图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟）

19．已知函数f（x）满足f（2x﹣1）＝42x﹣1+4x+a，且f（1）＝5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，2]上的值域．
20．设．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：当x≠0时，．
21．定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意三个数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，都有，则称此函数为区间上的“T函数”．
（1）请你写出一个在R上的“T函数”（不需要证明）．
（2）判断幂函数在（0，+∞）上是否为“T函数”，并证明你的结论．
（3）若函数在区间[﹣2，﹣1]∪[1，2]上是“T函数”，求实数a的取值范围．
22．已知集合A＝{x|a﹣3≤x≤a+7}，集合．
（1）若A∩B＝B，求实数a的取值集合M；
（2）求函数的值域．（其中M为（1）问中的集合M，全集为实数集R）．

快乐天天练十七函数的概念及其表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解：由题意得：，
解得：x＞2且x≠3，
故函数的定义域是（2，3）∪（3，+∞），
故选：C．
2．解：对于A，y＝+中，令，解得，即x∈∅，不是关于x，y的函数；
对于B，y2＝x，当x＞0时，有两个y与x对应，不是关于x，y的函数；
对于C，y＝，当x＝1时，有y＝±1，所以不是关于x，y的函数；
对于D，满足任取定义域内的x，都有唯一的y与x对应，是关于x，y的函数．
故选：D．
3．解：因为≠0，
故1﹣≠1，
故函数y＝1﹣的值域{y|y≠1}．
故选：C．
4．解：∵x≤2时，f（x）∈[1，+∞），且f（x）的值域为[1，+∞），
∴x＞2时，f（x）的值域是[1，+∞）的子集，此时logax＞loga2≥1，
∴1＜a≤2，
∴a的取值范围是（1，2]．
故选：D．
5．解：由题意得：，
解得：0＜x≤1，
故选：D．
6．解：∵f（x）＝﹣＝＝＝，
∵3x+1＞1，
∴，
∴，
故y＝[f（x）]的值域是{﹣1，0}．
故选：C．
7．解：如图，在同一坐标系下分别画出函数y＝3x，y＝x+1，y＝g（x）（大致）的图象，

经检验可得B正确，
故选：B．
8．解：由函数单调递增，
①当a＜0时，若x≤a，有，而x2≥0，
此时函数f（x）的值域不是R；
②当a≥0时，若x≤a，有，而x2＞a2，
若函数f（x）的值域为R，必有，可得0≤a≤1．
故若函数f（x）的值域为R，
则实数a的取值范围为[0，1]，
故选：B．
二．多选题（共4小题）
9．解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），
所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sinx|为周期函数，
对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sinx，
当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，
所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，
故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，
x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；
函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；
，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．
故选：AD．
10．解：在A中，当x＝4时，y＝8∉N，故A错误；
在B中，当x＝1时，y＝3∉N，故B错误；
在C中，任取x∈M，总有y＝2|x|∈N，故C正确；
在D中，任取x∈M，总有y＝x2∈N，故D正确．
故选：CD．
11．解：函数y＝x2﹣4x﹣4的对称轴方程为x＝2，
当0≤m≤2时，函数在[0，m]上单调递减，x＝0时取最大值﹣4，x＝m时有最小值m2﹣4m﹣4＝﹣8，解得m＝2．
则当m＞2时，最小值为﹣8，而f（0）＝﹣4，由对称性可知，m≤4．
∴实数m的值可能为2，3，4．
故选：ABC．
12．解：对于A，f（x）＝＝﹣x，定义域为（﹣∞，0]，g（x）＝x•，定义域为（﹣∞，0]；
两函数的对应关系不同，不是同一个函数．
对于B，f（x）＝|x|，定义域为R，g（x）＝＝|x|，定义域为R；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．
对于C，f（x）＝x+1，定义域为R，g（x）＝x+x0＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；
两函数的定义域不同，不是同一个函数．
对于D，f（x）＝＝1，定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x0＝1，定义域为{x|x≠0}；
两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数．
故选：BD．
三．填空题（共6小题）
13解：函数y＝，
因为x∈R，所以2x+1＞1，
所以（﹣2，0），则1﹣（﹣1，1），
故函数的值域为（﹣1，1）．
14．解：令（t≥0），则x＝，
所以y＝＝≥，
所以函数y＝x﹣2+的值域是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
15．解：若x为有理数，则f（x）＝1，所以f（f（x））＝f（1）＝1，
若x是无理数，则f（x）＝0，则f（f（x））＝f（0）＝1，
故答案为：1．
16．解：﹣1≤x＜0时，1＜1﹣x≤2，，且原函数的值域为[﹣1，1]，
∴0≤x≤m时，0≤|x﹣1|≤1，即0≤x≤2，
∴1≤m≤2，
∴m的取值范围为：[1，2]．
故答案为：[1，2]．
四．解答题（共6小题）
17．解：若选择①：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），则f（x+1）＝a（x+1）2+b（x+1）+c＝ax2+（2a+b）x+a+b+c，
∵f（x+1）＝f（x）+2x﹣1，即ax2+（2a+b）x+a+b+c＝ax2+（b+2）x+c﹣1，
∴，
解得a＝1，b＝﹣2；
又因为二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
∴c＝3，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
若选择②：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝3，可得c＝3，
∵f（x+1）＝f（1﹣x），
∴二次函数f（x）的对称轴x＝1，即﹣＝1，
二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
解得a＝1，b＝﹣2，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
选择③：
（1）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝3，可得c＝3，
∵f（x）≥2恒成立，
二次函数f（x）的图象经过点（1，2），可得a+b+c＝2，
即f（1）＝2，可知对称轴x＝1，即﹣＝1，
解得a＝1，b＝﹣2，
故得f（x）的解析式为：f（x）＝x2﹣2x+3．
（2）根据（1）可知f（x）＝x2﹣2x+3，
∵对称轴x＝1，
可知在区间[﹣1，1]上单调递减，在区间[1，4]上单调递增，
∴f（4）max＝11，f（1）min＝2，
故得f（x）在[﹣1，4]上的值域为[2，11]．
18．解：（1）当x∈（0，16]时，设f（x）＝b（x﹣12）2+84（b＜0），
∵f（16）＝b（16﹣12）2+84＝80，∴b＝﹣，
∴．
当x∈（16，40]时，f（x）＝log0.8（x+a）+80，
由f（16）＝log0.8（16+a）+80＝80，解得a＝﹣15，
∴f（x）＝log0.8（x﹣15）+80．
综上，；
（2）当x∈（0，16]时，令，得x∈[0，4]，
当x∈（16，40]时，令f（x）＝log0.8（x﹣15）+80＜68，得x≥15+0.8﹣12≈29.6，
∴x∈[30，40]，
故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为4﹣0+40﹣30＝14分钟．

19．解：（1）令t＝2x﹣1，则2x＝t+1，
则f（t）＝4t+2（t+1）+a＝4t+2t+2+a，
∵f（1）＝5，∴a+8＝5，解得a＝﹣3，
∴f（x）的解析式为：f（x）＝4x+2x﹣1；
（2）由（1）知，f（x）在[0，2]上为增函数，
∵f（0）＝0，f（2）＝19，
∴f（x）在[0，2]上的值域为[0，19]．
20解：（1）由题意得，1﹣x2≠0，
解得，x≠±1，
故函数定义域{x|x≠±1}，
证明：（2）当x≠0时，f（）＝＝＝﹣f（x）．
21．解：（1）f（x）＝x2，
（2）解：幂函数在（0，+∞）上为“T函数，证明如下：
证明：设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
若x1＜x2＜x3时，都有，
则kAB＜kBC，即斜率存在且不断增大，
而在（0，+∞）单调递增的函数，且随着x的增大，f（x）增加的越来越快，
即f（x）是下凸函数，斜率增加的越来越快，
故幂函数在（0，+∞）上为“T函数”，
（3）因为函数在区间[﹣2，﹣1]∪[1，2]上是“T函数”，
所以的单调递增区间[﹣2，﹣1]，[1，2]，
≥0的解[﹣2，﹣1]∪[1，2]，
当x∈[1，2]时，得a≥﹣x3恒成立，故a≥﹣1，
当x∈[﹣2，﹣1]时，得a≤﹣x3恒成立，故a≤1．
22．解：（1）B＝{x|0＜x＜5}，A＝{x|a﹣3≤x≤a+7}，
∵A∩B＝B，∴B⊆A，
∴，解得﹣2≤a≤3，
∴M＝[﹣2，3]；
（2）∵M＝[﹣2，3]，又x∈∁RM，∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
∴x+2∈（﹣∞，0）∪（5，+∞）；
令，
又x∈M＝[﹣2，3]，∴g（x）max＝g（﹣2）＝g（3）＝9，
，即；
综上，函数f（x）的值域为．