2021北京大峪中学初二(下)期中数学(教师版).docx

2021北京大峪中学初二（下）期中
数 学
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列各图给出了变量与之间的函数是　　
A． B．
C． D．
2．（3分）在函数中，自变量的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．（3分）方程的根是　　
A．0 B．2 C．0或1 D．0或2
4．（3分）已知函数是关于的一次函数，且随增大而减小，那么的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．（3分）要由的图象得到的图象，下列平移正确的是　　
A．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位
C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位
6．（3分）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每小时绿化面积为　　

A．40平方米 B．50平方米 C．80平方米 D．100平方米
7．（3分）如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点．下面有四个结论：①； ②； ③当时，；④当时，．其中正确的是　　

A．①② B．②③ C．①③ D．①④
8．（3分）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线），这个容器的形状是图中　　

A． B． C． D．
二、填空题（本题共24分，毎小题3分）
9．（3分）如果点的坐标是，那么点在第 　　象限．
10．（3分）点关于轴的对称点的坐标是　　．
11．（3分）已知是方程的一个根，则　　，方程的另一个根是 　　．
12．（3分）若是关于的一元二次方程，则的值是　　．
13．（3分）已知直线与的交点为，则方程组的解 　　．
14．（3分）一次函数的图象如图所示，则　　0，　　0（填，，符号）

15．（3分）写出一个经过点的函数表达式　 　．
16．（3分）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数，的值：　　，　　．
三、解答题（本题共52分）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．（用配方法）．
18．（5分）已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为，求的值及方程的另一根．
19．（5分）已知一次函数，当时的值为1，当时的值为．
（1）求，的值；
（2）求一次函数的图象与轴、轴的交点坐标及与坐标轴围成的面积．
20．（6分）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上有一点，动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动．
（1）求、两点的坐标；
（2）求的面积与的移动时间之间的函数关系式；
（3）当为何值时，并求此时点的坐标．

21．（5分）列方程或方程组解应用题：
“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．
22．（5分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
23．（6分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小华根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
（1）函数的自变量的取值范围是 　　；
（2）如表是与的几组对应值．的值为 　　；

1
2
3
4

0

1

（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　　．
（5）结合函数图象估计的解的个数为 　　个．

24．（6分）如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点、，直线、交于点．
（1）求直线的解析表达式；
（2）求的面积；
（3）在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．

25．（6分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点” 的坐标．
定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．
（1）写出的变换点坐标　　，的变换点坐标　　，的变换点坐标　　；
（2）如果直线上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形，请画出图形；
（3）在（2）的条件下，若直线与图形有两个交点，请直接写出的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．【分析】函数就是在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应，则叫自变量，是的函数．在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断．
【解答】解：、、中对于的值的值不是唯一的，因而不符合函数的定义；
、符合函数定义．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
2．【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得，，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
3．【分析】将左边利用十字相乘法、提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
【解答】解：，
，
则或，
解得，，
故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．【分析】根据一次函数的性质，列出关于的不等式，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
，
，
的取值范围是：，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
5．【分析】利用一次函数平移规律，即可得出答案．
【解答】解：将函数的图象向上平移2个单位即可得到的图象．
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数图象平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
6．【分析】根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为平方米，然后可得绿化速度．
【解答】解：根据图象可得，休息后园林队2小时绿化面积为平方米，
每小时绿化面积为（平方米）．
故选：．
【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．
7．【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
【解答】解：因为正比例函数经过二、四象限，所以，①正确；
一次函数经过一、二、三象限，所以，②错误；
由图象可得：当时，，③错误；
当时，，④正确；
故选：．
【点评】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
8．【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为．
故选：．
【点评】本题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
二、填空题（本题共24分，毎小题3分）
9．【分析】根据每个象限中横纵坐标的特点判断即可．
【解答】解：点的横坐标小于零，纵坐标都大于零，
点在第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题考查了每个象限中横纵坐标的特点．解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
10．【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；这样就可以求出点关于轴的对称点的坐标．
【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是．
【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．
11．【分析】将代入原方程可求出的值，再结合两根之积等于，即可求出方程的另一个根．
【解答】解：将代入原方程得：，
，
方程的另一个根是．
故答案为：1；．
【点评】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入求出的值是解题的关键．
12．【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．
【解答】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是、、是常数，且．
13．【分析】一次函数的交点就是两个函数解析式组成的方程组的解．
【解答】解：直线与的交点为，
方程组的解是，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二元一次方程（组与一次函数的关系，关键是掌握二元一次方程（组的解就是一次函数图象的交点坐标．
14．【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定，的取值范围，从而求解．
【解答】解：由图可知一次函数的图象经过第一、二、四象限，
又由时，直线必经过二、四象限，故知．
再由图象知直线与轴正半轴相交，所以．
则其、的符号为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
15．【分析】本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二次函数的表达式．答案不唯一．
【解答】解：所求函数表达式只要图象经过点即可，如，，答案不唯一．
故答案可以是：，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了点的坐标与函数图象的关系，要求学生熟悉几种类别的函数表达式．
16．【分析】由于关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得到，找一组满足条件的数据即可．
【解答】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
，
当时，，
故，时满足条件．
故答案为：4，2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
三、解答题（本题共52分）
17．【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可；
（2）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1），
或，
所以，；
（2），
，
，
，
所以，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．【分析】（1）根据△进行判断；
（2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可；
【解答】（1）证明：由于是一元二次方程，△，
无论取何实数，总有，，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程，有，
整理，得．
解得，
此时方程可化为．
解此方程，得，．
所以方程的另一根为．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
19．【分析】（1）将已知的两对与的值代入一次函数解析式，即可求出与的值；
（2）依据一次函数解析式可得直线与轴，轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）将当，；，分别代入一次函数解析式得：
，
解得；
（2）由（1）可得，一次函数的关系式为．
令，则；令，则，
与轴，轴的交点坐标分别为，和，
与坐标轴围成的三角形的面积为．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，能熟练的运用待定系数法是解题关键．
20．【分析】（1）由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；
（2）由面积公式求出与之间的函数关系式；
（3）若，，则时间内移动了，可算出值，并得到点坐标．
【解答】解：（1）对于直线，
当时，；当时，，
则、两点的坐标分别为、；

（2），
，
当时，，；
当时，，；

（3）分为两种情况：①当在上时，，．

动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟；
，
②当在的延长线上时，，
则，此时所需要的时间秒，
即点的坐标是或．
【点评】此题考查了同学们根据函数图象求坐标，通过动点变化求函数关系式．
21．【分析】设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是，由增长率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是，由题意，得

解得：，（舍去）．
答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是．
【点评】本题考查了运用增长率问题的数量关系解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时增长率问题的数量关系建立方程是关键．
22．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围；
（2）找出范围中的整数解确定出的值，经检验即可得到满足题意的值．
【解答】解：（1）根据题意得：△，
解得：；

（2）由为正整数，得到或2，
利用求根公式表示出方程的解为，
方程的解为整数，
为完全平方数，
则的值为2．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．
23．【分析】（1）由题意得：且，即可求解；
（2）当时，；
（3）描点连线绘出函数图象即可；
（4）从图象看，函数随增大而减小，进而求解；
（5）在（3）的基础上，画出的图象，从图象看，两个函数有1个交点，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：且，解得且，
故答案为且；

（2）当时，，
故答案为；

（3）描点连线绘出如下函数图象：

（4）从图象看，在每个象限内，函数随增大而减小，
故答案为在每个象限内，函数随增大而减小（答案不唯一）；

（5）在（3）的基础上，画出的图象，

从图象看，两个函数有1个交点，
故答案为1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，函数图象的画法，画出函数图象是解本题的关键．
24．【分析】（1）由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析表达式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标，联立直线、的表达式求出交点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）由同底等高的三角形面积相等即可找出点的纵坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点的坐标．
【解答】解：（1）设直线的解析表达式为，
把、代入表达式，
，解得：，
直线的解析表达式为．

（2）当时，，
．
联立和，
解得：，，
，
．

（3）与底边都是，与的面积相等，
两三角形高相等．
，
点的纵坐标为3．
当时，，
点的坐标为．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点、的坐标利用待定系数法求出直线的解析表达式；（2）联立两直线表达式求出交点的坐标；（3）根据同底等高的三角形面积相等找出点的纵坐标．
25．【分析】（1）根据、、三点的横、纵坐标间的关系即可找出与之对应的变换点坐标；
（2）根据直线的解析式，找出横纵坐标相等的点的坐标，根据变换点的定义，将直线中点左侧（不包括该点）的射线作关于原点对称的射线，再将直线中点右侧（包括该点）作关于对称的射线，由此即可得出图形；
（3）根据的做法找出图形中两段射线的解析式，分别令与这两段射线的交点的横坐标满足射线中的取值范围，综合在一起即可得出结论．
【解答】解：（1），，，
的变换点坐标，的变换点坐标，的变换点坐标；
（2）直线的解析式为．
当时，有，解得：．
画出图形，如图所示．
画图的思路，将直线点左侧（不包括该点）的射线作关于对称的射线，再将直线点左侧（不包括该点）作关于原点对称的射线，由此即可得出图形．
（3）当时，；
当时，旋转后的图形解析式为；
令，则有且，，
解得：或；
令，则有，，
解得：或．
综上可知：若直线与图形有两个交点，的取值范围为或．
故答案为：，，．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及一次函数的图象，解题的关键是：（1）根据点的横、纵坐标间的关系找出其变换点；（2）根据变换点的定义画出图形；（3）找出图形中两段射线的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决（3）时，可以直接作出图形，利用数形结合法直接得出结论。
14 / 14