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衢州五校2018学年第一学期高一年级期末联考
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和补集的运算求出∁RA，由交集的运算求出（∁RA）∩B．
【详解】因为集合A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，所以∁RA＝{x|x≤﹣1}，
又B＝{﹣2，﹣1，0}，则（∁RA）∩B＝{﹣2，﹣1}，
故选：B．
【点睛】本题考查交、补集的混合运算，属于基础题．
2.的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据诱导公式sin（α-2π）＝sinα转化成特殊角三角函数值解之．
【详解】＝sin（300°﹣360°）＝sin(-60°)
故选：C．
【点睛】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，属于基础题．
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意．
【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；
选项B，y＝x3为奇函数，故错误；
选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；
选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
【详解】∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选：B．
【点睛】本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．
5.函数的图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题中函数知，当x＝0时，y＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．
【详解】观察四个图的不同发现，A、C、D图中的图象过原点，
而当x＝0时，y＝0，故排除B；又由定义域可知x<1,排除D．
又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A．
故选：C．
【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.
6.已知函数，若函数有两个不同的零点，则的取值范围
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，通过图象可得m的取值范围.
【详解】
画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，
∵函数y=f（x）-m有2不同的零点，∴函数y=f（x）与y=m的图象有2交点，
由图象可得m的取值范围为（-1，1）．
故选A
【点睛】本题考查了函数零点的应用，考查了分段函数；已知函数有零点，求参数的取值范围常用方法有：①直接法，②分离参数法，③数形结合法. 函数可通过基本初等函数y=的图象，对称平移后得到.
7.对于函数，给出下列选项其中正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称 B. 存在，使
C. 存在，使函数的图象关于轴对称 D. 存在，使恒成立
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式，化简函数为2sin（x），将（，0）代入函数解析式不成立，说明A不正确,确定函数的值域，判断B的真假；根据函数的对称轴判断C的真假；根据函数的周期判断D的真假；
【详解】函数2sin（x），
对于A：函数f（x）＝2sin（x）,当x=时，2sin（）＝2，不能得到函数的图象关于点对称．∴A不对．
对于B：，可得α∈（），，不存在；∴B不对．
对于C：函数的对称轴方程为：x，可得x，当k＝0,时，可得图象关于y轴对称．∴C对．
对于D：f（x+α）＝f（x+3α）说明2α是函数的周期，函数f（x）的周期为2π，故α＝π，∴不存在，使恒成立，∴D不对．
故选C．
【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数，正弦函数的值域，正弦函数的对称性，以及三角函数的周期性及其求法，考查了分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
8.如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若 则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合+=1，即可解得的值．
【详解】半径r＝|OB|1，
由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；
∵点B的坐标为（，），|BC|，
∴，
∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，
∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin，
故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
9.已知，，若对任意,或，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数g（x）的取值范围，然后根据或成立求得m的取值范围.
【详解】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，
当x≥时，g（x）≥0，
又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，
∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，
则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，
∴，
即，
解得＜m＜0，
∴实数m的取值范围是：（，0）．
故选C．
【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
10.定义在上的偶函数满足:当时有,且当时,,则函数的零点个数是( )
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】
结合条件画出偶函数的大致图象，再分析函数f（x）=的交点个数，可得答案．
【详解】由条件，可知函数在时，图象向右平移3个单位，函数值变为原来的，且当时,,所以函数的大致图象：
共有7个交点，
故选B.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数的零点，考查了函数图像的应用，属于难题．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11.设集合，，则____，______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
求出A中x的范围可确定出A，求出B中y的范围确定出B，根据并集定义及运算求出A与B的并集即可．
【详解】由A中y＝lg（x2﹣2x），得到x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0，
解得：x＜0或x＞2，即A＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），
由B中1，得到B＝[1，+∞），
则＝．
故答案为(1). (2). ．
【点睛】本题考查了并集的运算，考查了对数函数的定义域，幂函数的值域问题，属于基础题．
12.已知，且，则______，______.
【答案】 (1). 7 (2).
【解析】
【分析】
先利用同角三角函数的基本关系求得cos和tan的值，再利用诱导公式使tan（）＝tan（），再利用正切的两角和公式展开后，把tan的值代入即可求得．进而利用二倍角公式把sin2α、展开，把sin和cos的值代入即可求得．
【详解】∵为锐角，且sin∴cos，tan，
∴tan（）＝tan（）=，
∴.
故答案为(1). 7 (2). .
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题，要求学生能灵活运用三角函数的基本公式，属于中档题.
13.若函数的周期，则______，且函数的单调递减区间为__________________.（是自然对数的底数）
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【详解】∵w＞0，周期为π，即Tπ
∴可解得：ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x），函数为复合函数，令t=f(x)为内层函数，则为外层函数，外层函数是单增的，所以需要求得f（x）＝sin（2x）的单调递减区间，
∵令2k2x2k，k∈Z，可解得：kx≤k，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
∴函数的单调递减区间为，k∈Z，
故答案为(1). 2 (2).
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的周期及单调性问题，涉及到了指数函数单调性的考查，属于基础题．
14.函数的图象恒过定点________，若函数的图象的对称轴为，则非零实数的值为_________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
令a的系数为0，可得函数恒过的定点，根据函数y＝图象的对称轴方程，再列出关于a的方程解之，从而求出a值即可．
【详解】∵f（0）＝=，∴的图象恒过定点，
又∵函数f（x）＝＝|a（x）|
∴函数的对称轴为x，
∵函数的图象的对称轴为，
∴-1，
∴a，
故答案为(1). (2).
【点睛】本题考查了函数恒过定点及对称性，考查逻辑思维能力，属于基础题．
15.已知，若函数在是增函数，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
x2﹣ax的对称轴为x，由题意可得，当a＞1时，3，且 9﹣3a＞0，求得a的取值范围；当1＞a＞0时，4，且16﹣4a＞0，求得a的取值范围，将这两个范围取并集即可．
【详解】x2﹣ax的对称轴为x，由题意可得，当a＞1时，3，且 9﹣3a＞0，∴1＜a＜3．
当1＞a＞0时4，且16﹣4a＞0，故a无解．
综上，1＜a＜3，
故答案为1＜a＜3．
【点睛】本题考查对数函数的单调性和定义域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
16.已知函数，当变化时，恒成立，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化，利用参数分离法即可得到结论．
【详解】∵f（x）＝ax（a＞1），
∴f（﹣x）＝a﹣x（ax），（a＞1），
则函数f（x）是奇函数，
当a＞1，f（x）＝ax单调递增，
当θ∈[0，]变化时，恒成立，
等价为≥﹣＝f（﹣1）恒成立，
即≥﹣1，
当θ，≥﹣1成立，
当θ∈[0，）时，，
则1，∴≤1，∴，
故答案为.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于中档题．
17.已知，,若，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由已知条件推导出x，y∈（0，+∞），，，由此能求出．
【详解】∵x，y∈（0，+∞），
，，∴8y3+lny+ln2+2＝0，
∴（2y）3+ln（2y）+2＝0，构造函数f（x）=,则f（x）在上是单调递增的，
∴x＝2y，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了构造函数并利用函数单调性解决问题的方法，注意对数的运算性质的合理运用，属于难题．
三、解答题（本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18.(1)
(2)
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)直接利用有理指数幂运算法则及对数运算法则化简求解即可．
(2)利用诱导公式及余弦的两角差公式即可求得答案．
【详解】(1)原式=
.
(2) 原式=
.
【点睛】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查诱导公式及两角差的余弦公式，属于基础题．
19.已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由周期求出ω，由，k∈Z，结合范围，求出的值，由函数的图象过（0，）求得A，可得函数f（x）的解析式；
（2）根据三角函数的图象变换关系求出函数g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求解即可．
【详解】(1)
∵，
，
又，
.
(2)依题意
h
，
∵，
，
的值域为.
【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，考查了三角函数化简问题，考查了正弦函数的值域，属于中档题．
20.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上.则
(1)求的值；
(2)已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)由条件利用任意角的三角函数的定义可得＝2，再利用两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得的值．
(2)利用同角三角函数基本关系式求得再利用两角差的余弦函数化简求解即可．
【详解】(1)依题意
c
=
.
(2) ，
，
∴
,
，
∴
.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义、两角和与差的三角函数、同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．
21.已知函数其中
(1)当，时，求函数的最大值与最小值;
(2)函数为奇函数，求的值；
(3)求的取值范围，使在区间上是单调函数.
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）当θ时，带入f（x）结合二次函数性质即可求解的最大值与最小值．
（2）利用奇函数定义直接求解.
(3)利用二次函数的性质，讨论对称轴，结合正切函数的性质可得θ的取值范围．
【详解】(1)时
∴当时
∴当时
(2) ，为奇函数
∴
，
(3)函数的对称轴为
在区间上是单调函数，
或
即或
或
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的应用，同时考查了正切函数的性质及奇函数定义的应用，考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．
22.函数
(1)在区间上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)方程有三个不同的实数根，求实数a的取值范围；
(3) 是否存在实数a使函数恒成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由分段函数单调性，结合条件列出不等式求出实数a的取值范围；
（2）当时，由函数的单调性可知不满足题意，当时，结合在1处函数值与1的大小，可得关于a的不等式，解得a即可.
(3)构造函数，对a分类讨论求得的最小值，再让最小值大于等于0，解得a的范围即可.
【详解】(1)依题意
(2)当时，f(x)在单调递增，当 f(x)在单调递增，
要使方程有三个不同的实数根，则，
又当时，恒成立，
则
(3)令
要使函数恒成立，则恒成立，
则成立，即
当时，符合题意
单调递增
则，
当时，g(x)在单调递减，在单调递增，在单调递减在单调递增，
则，又，
，
当时，g(x)在单调递减， 在单调递减，在单调递增
则，
又，，
综上.
【点睛】本题考查了分段函数的单调性的判断，注意端点处的函数值大小关系，考查了函数最值计算，属于中档题．
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