2021北京西城高一(上)期末数学(教师版).docx

2021北京西城高一（上）期末
数 学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合，0，2，，，，那么　　
A．， B．， C．， D．，
2．方程组的解集是　　
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的定义域是　　
A． B． C．，， D．，，
4．为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间（阅读时间，，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中的值为　　

A．0.028 B．0.030 C．0.280 D．0.300
5．若，则一定有　　
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，设对角线与相交于点，则　　
A． B． C． D．
7．设，则，的大小关系一定是　　
A． B．
C． D．以上答案都不对
8．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了．如果这五年平均每年降低的百分率为，那么满足的方程是　　
A． B． C． D．
9．设，是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．设为定义在上的函数，函数是奇函数．对于下列四个结论：
①（1）；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称．
其中，正确结论的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）已知向量，，那么　　．
12．（5分）若方程有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是　　．
13．（5分）设为上的奇函数，且在上单调递增，（2），则不等式的解集是　　．
14．（5分）已知函数，那么（2）　　；当函数有且仅有三个零点时，实数的取值范围是　　．
15．（5分）某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐．对于此促销活动，有以下三个说法：
①如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐；
②欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐；
③如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数．（其中表示不大于的最大整数）
则所有正确说法的序号是　　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）某校高一年级1000名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，，，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图．

（Ⅰ）估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数；
（Ⅱ）现从体育成绩在，和，的样本学生中随机抽取2人，求其中恰有1人体育成绩在，的概率．
17．（15分）设函数．
（Ⅰ）求函数的图象与直线交点的坐标；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值；
（Ⅲ）用单调性定义证明：函数在上单调递增．
18．（14分）如图茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．
（Ⅰ）若甲、乙两组的数学平均成绩相同，求的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当时，试比较甲、乙两组同学数学成绩的方差的大小．（结论不要求证明）

19．（15分）设函数．
（Ⅰ）若（a），求实数的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对于，恒成立，求实数的最小值．
20．（13分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以（单位：吨，表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润．
（Ⅰ）将表示为的函数；
（Ⅱ）求出下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围．
21．（15分）设函数的定义域为．若存在常数，对于任意，成立，则称函数具有性质．记为满足性质厂的所有函数的集合．
（Ⅰ）判断函数和是否属于集合？（结论不要求证明）
（Ⅱ）若函数，证明：；
（Ⅲ）记二次函数的全体为集合，证明：．

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：，0，2，，，，
，．
故选：．
【点评】本题考查了列举法和描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．【分析】解原方程组得出，的值，然后写出原方程组的解集即可．
【解答】解：解得，或，
原方程组的解集为：，．
故选：．
【点评】本题考查了列举法的定义，考查了计算能力，属于基础题．
3．【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，即函数的定义域为，，，
故选：．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．
4．【分析】由频率分布直方图的性质列出方程，能求出．
【解答】解：由频率分布直方图得：
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：对于，若，则，故错误；
对于，若，则，故错误；
对于，若，则，则，故错误；
对于，若，则显然成立，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
6．【分析】利用向量加法法则直接求解．
【解答】解：在平行四边形中，设对角线与相交于点，
则．
故选：．

【点评】本题考查向量的求法，考查向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．【分析】根据已知可分三种情况讨论，即，，，然后根据每种情况分析求出对应关系即可．
【解答】解：当时，因为函数在上单调递增，所以，
所以，所以，
当时，，所以，
当时，因为函数在上单调递增，所以，
所以，所以，则，
故选：．
【点评】本题考查了指数函数的单调性以及指数不等式的求解，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．【分析】根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案．
【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为，
则2016年该企业单位生产总值能耗为，
2017年该企业单位生产总值能耗为，
该企业单位生产总值能耗为，
该企业单位生产总值能耗为，
该企业单位生产总值能耗为，
由题设可得，
故．
故选：．
【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题．
9．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“”，
则平方得，
即，
即，，
则，，
即，，即，同向共线，则存在实数，使得，
反之当，时，存在，满足，但“”不成立，
即“存在实数，使得”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用进行化简是解决本题的关键．
10．【分析】由奇函数的定义分别判断①②③，用奇函数定义及图象平移即可断定④．
【解答】解：对于①，函数是奇函数（1），所以①对；
对于②，函数是奇函数，所以②对；
对于③，函数的图象未必关于原点对称，如，满足条件，但不关于原点对称，所以③错；
对于④，函数是奇函数，的图象关于点对称，
将的图象向右平移1个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，所以④对；
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，对称性，属基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【分析】可求出向量的坐标，然后即可求出的值．
【解答】解：，
．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
12．【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于的不等式组，求解即可得到答案．
【解答】解：设方程有两个不相等的正实数根为，，
则，，
所以，
解得，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．
13．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：为上的奇函数，且在上单调递增，（2），
在上单调递增，，
则对应图象如图：
则的解集，，，
故答案为：，，．

【点评】本题主要考查不等式求解，结合函数奇偶性和单调性的关系，作出函数的简图，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．
14．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解的范围即可．
【解答】解：函数，
（2）；
函数的图象如图：
函数有且仅有三个零点时，，．
故答案为：；，．

【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
15．【分析】①，计算购买10罐可乐时实际最多可以饮用的可乐罐数即可；
②，由题意求出欲饮用100罐可乐时至少需要购买的可乐罐数即可；
③，利用①②的结论验证购买罐可乐时，实际最多可饮用可乐的罐数即可．
【解答】解：对于①，购买10罐可乐，实际最多可以饮用可乐罐数为，所以①错误；
对于②，因为余1，
余2，
，
；
所以，
即欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐，②正确；
对于③，由①②，验证购买罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数，（其中表示不大于的最大整数）正确．
总结规律可知：剩余的空罐数为1或2；购买奇数罐可乐剩余1个空罐，购买偶数罐可乐剩余2个空罐；
每多购买2罐可乐，实际可多饮用1罐可乐；实际饮用可乐罐数比购买可乐罐数的1.5倍少0.5或1；
所以购买罐可乐，实际最多可饮用可乐的罐数，（其中表示不大于的最大整数）．
综上知，以上正确说法的序号是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了逻辑推理应用问题，是中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．【分析】（Ⅰ）由折线图能求出该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数．
（Ⅱ）求出体育成绩在，和，的学生人数分别为2人和3人，从而求出基本事件总数和恰有1人体育成绩在，中包含的基本事件个数．由此能求出其中恰有1人体育成绩在，的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由折线图得：
样本中该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为：
（人．
估计该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数为人．
（Ⅱ）体育成绩在，和，的学生人数分别为2人和3人，
现从体育成绩在，和，的样本学生中随机抽取2人，
基本事件总数，
其中恰有1人体育成绩在，中包含的基本事件个数．
其中恰有1人体育成绩在，的概率．
【点评】本题考查频率、概率的求法，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；
（Ⅱ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性的定义证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：令，则由题意得：，
解得：或，
故函数的图象与直线交点的坐标是，；
（Ⅱ）解：，当且仅当即时“”成立，
故在上的最小值是7；
（Ⅲ）证明：不妨设，
则，
，，，
故，即，
故函数在上单调递增．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．
18．【分析】（Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当，，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；
（Ⅲ）直接计算方差，然后比较大小．
【解答】解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得，
解得；
（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件，
的取值有：0，1，2，，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
当，，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率（A）；
（Ⅲ）当时，，，
所以，
，
因为，所以甲组同学数学成绩的方差比乙组同学数学成绩的方差大．
【点评】本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．
19．【分析】（Ⅰ）将代入解析式，解指数方程即可求出得值；
（Ⅱ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算、得数量关系，结合定义可得结论；
（Ⅲ）先求出在，上得最大值，再根据要使对于，恒成立，即，求出得最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为（a），所以，所以且，
所以，所以；
（Ⅱ）为奇函数，证明如下：
因为，所以定义域为关于原点对称，
又因为，所以为奇函数；
（Ⅲ）因为，
又因为在，上单调递增，所以在，上单调递减，
所以（1），
又因为对于，恒成立，
所以，即．
所以得最小值为3．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．
20．【分析】（Ⅰ）直接由题意分段写出，和，时的利润函数即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，当，时，求解不等式，即可得到的范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当，时，
，
当，时，．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，利润为65000元，不少于57000元，
当，时，由，解得．
故下一个销售季度利润不少于57000元时，市场需求量的范围为，．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题．
21．【分析】（Ⅰ）根据性质的定义判断与是否具有性质，由此判断出函数和是否属于集合；
（Ⅱ）先根据定义证明函数具有性质，然后即可证明；
（Ⅲ）将问转化为证明二次函数不具备性质，利用反证法进行证明即可；
【解答】（Ⅰ）解：函数不属于集合，属于集合；
（Ⅱ）证明：因为，不妨令，所以，
所以，关于的方程有解，，所以函数具有性质，
则；
（Ⅲ）证明：根据题意可知，等价于二次函数不具备性质，
假设存在二次函数具备性质，
所以存在常数对于任意都有成立，
即成立，
即成立，
所以，解得，，，
这与假设中的矛盾，
所以假设不成立，
故二次函数不具备性质，
所以．
【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
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