2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级(上)期末数学试卷.docx

2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
3．（3分）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
4．（3分）下列分式是最简分式的是（　　）
A．9y12x B．x+yx2-y2 C．x-yx2-y2 D．x+yx2+y2
5．（3分）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（　　）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
7．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．(-12)0=0 B．(-12)-1=2
C．(-12)-2=4 D．(-12)-3=-6
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A．x+1y+1 B．x+yxy C．3x-2y2x+3y D．x2+y2x+y
9．（3分）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（　　）
A．S3-S1S1 B．S3-S2S2
C．S2S3-S1S3S1S2 D．S1S3-S22S1S2
10．（3分）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）分式x-2x+2有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为　 　米．
13．（3分）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正　 　边形．
14．（3分）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是　 　．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝　 　．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为　 　（用含a，b的式子表示）．

三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
18．（10分）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形．

20．（10分）（1）先化简，再求值：(1-1a-1)÷a(a-2)a2-1，其中a＝2020；
（2）解方程：2xx-2=1-12-x．
21．（12分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有　 　个．

四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）已知关于x的分式方程xx-1-2=mx-1的解为正数，则m的取值范围为　 　．
23．（4分）若a2-1a2=3，则a2+1a2=　 　；a2a4-2a2-1=　 　．
24．（4分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　 　．

25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为　 　；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为　 　．

五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
27．（12分）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+12AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为　 　（直接写出结果）．

28．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．

2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
3．（3分）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【解答】解：点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4），
故选：A．
4．（3分）下列分式是最简分式的是（　　）
A．9y12x B．x+yx2-y2 C．x-yx2-y2 D．x+yx2+y2
【解答】解：A.9y12x=3y4x，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.x+yx2-y2=x+y(x+y)(x-y)=1x-y，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.x-yx2-y2=1x+y，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D．是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（　　）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是12×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
7．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．(-12)0=0 B．(-12)-1=2
C．(-12)-2=4 D．(-12)-3=-6
【解答】解：A、（-12）0＝1，故此选项错误；
B、（-12）﹣1＝﹣2，故此选项错误；
C、（-12）﹣2＝4，故此选项正确；
D、（-12）﹣3＝﹣8，故此选项错误．
故选：C．
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A．x+1y+1 B．x+yxy C．3x-2y2x+3y D．x2+y2x+y
【解答】解：A、2x+12y+1≠x+1y+1，故A的值有变化．
B、2x+2y2x×2y=x+y2xy≠x+yxy，故B的值有变化．
C、6x-4y4x+6y=3x-2y2x+3y，故C的值不变．
D、4x2+4y22x+2y=2x2+2y2x+y≠x2+y2x+y，故D的值有变化．
故选：C．
9．（3分）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（　　）
A．S3-S1S1 B．S3-S2S2
C．S2S3-S1S3S1S2 D．S1S3-S22S1S2
【解答】解：2019年的增长率是：S2-S1S1，
2020年的增长率是：S3-S2S2，
则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：S3-S2S2-S2-S1S1=S1S3-S22S1S2．
故选：D．
10．（3分）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）分式x-2x+2有意义，则x的取值范围是　x≠﹣2　．
【解答】解：分式有意义，则x+2≠0，所以x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
12．（3分）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为　1.6×10﹣5　米．
【解答】解：0.000016米＝1.6×10﹣5．
故答案为：1.6×10﹣5．
13．（3分）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正　二十　边形．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是162°，
∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，
边数n＝360°÷18°＝20．
故答案为：二十．
14．（3分）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是　64　．
【解答】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16＝2k，
解得k＝64．
故答案是：64．
15．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝　115°　．

【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为　2b﹣a　（用含a，b的式子表示）．

【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G，
∴BF＝AD＝a，∠AFD＝∠B＝60°，
∴CF＝BC﹣BF＝b﹣a，
∵∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴DF＝2CF＝2（b﹣a），
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE=12AD=12a，
∵∠B＝60°，
∴∠BFG＝30°，
∴BG=12BF=12a，
∴EG＝DF＝2（b﹣a），
∴AB＝AE+EG+BG=12a+2（b﹣a）+12a＝2b﹣a．
解法二：延长AD交BC的延长线于E，则△DEC是等边三角形．

设AB＝AE＝BE＝x，则DE＝x﹣a，EC＝x﹣b，
∵∠E＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴x﹣a＝2（x﹣b）＜
∴x＝2b﹣a，
∴AB＝2b﹣a．
故答案为：2b﹣a．

三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
【解答】解：（1）[3a2⋅a4﹣（a3）2]÷a3
＝（3a6﹣a6）÷a3
＝2a6÷a3
＝2a3；

（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2
＝x2﹣1﹣x2+2x﹣1
＝2x﹣2．
18．（10分）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
【解答】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）
＝2（m+n）（3m﹣2n）；
（2）x4﹣x2
＝x2（x2﹣1）
＝x2（x+1）（x﹣1）．
19．（10分）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　5　个等腰三角形．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
BE=CD∠ABC=∠ACBBC=CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠D．

（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
20．（10分）（1）先化简，再求值：(1-1a-1)÷a(a-2)a2-1，其中a＝2020；
（2）解方程：2xx-2=1-12-x．
【解答】解：（1）原式=a-2a-1⋅(a+1)(a-1)a(a-2)
=a+1a，
当a＝2020时，原式=2020+12020=20212020；

（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
21．（12分）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有　6　个．

【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作．
②如图2中，△MDE即为所求作．
③如图3中，△NFG即为所求作．

～

（2）如图4中，有6个三角形．
故答案为：6．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）已知关于x的分式方程xx-1-2=mx-1的解为正数，则m的取值范围为　m＜2且m≠1　．
【解答】解：xx-1-2=mx-1，
方程两边同时乘（x﹣1）得x﹣2（x﹣1）＝m，
解得x＝﹣m+2．
∵x为正数，
∴﹣m+2＞0，
解得m＜2．
∵x≠1，
∴﹣m+2≠1，即m≠1．
∴m的取值范围为m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
23．（4分）若a2-1a2=3，则a2+1a2=　13　；a2a4-2a2-1=　1　．
【解答】解：∵a2-1a2=3，
∴（a2-1a2）2＝9，即a4﹣2+1a4=9，
则a4+1a4=11，
∴（a2+1a2）2＝a4+2+1a4=13，
则a2+1a2=13（负值舍去），
a2a4-2a2-1=1a2-2-1a2=13-2=1，
故答案为：13，1．
24．（4分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　62.5°或70°或80°或150°　．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B=12（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
DE=DP2DG=DH，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP=12（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．

25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为　（0，1）　；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为　（3.5，0）　．

【解答】解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，

观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．

（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵AD+CF=(m+1)2+32+(m-5)2+12，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中），

连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，观察图像可知P（3.5，0），
∴E（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：400x-4002x=5，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为6000-80t40=（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
27．（12分）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+12AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为　1或5　（直接写出结果）．

【解答】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝60°，
∵PB＝PE，
∴△BPE为等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝90°；

（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，

∵CD垂直平分AB，
∴CA＝CB．
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴∠GCP＝∠HCP＝∠BCE＝∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴PG＝PH，CG＝CH=12CP，CD=12AC．
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
PG=PHPB=PE．
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB+CG＝CE﹣CH．
∴CB+12CP＝CE-12CP，即CB+CP＝CE．
又∵CB＝AC，
∴CP＝PD﹣CD＝PD-12AC．
∴PD+12AC＝CE；

（3）如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，

此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB﹣CG＝CE+CH．
∴CB-12CP＝CE+12CP，即CP＝CB﹣CE＝6﹣2＝4．
又∵CB＝AC，
∴PD＝CP﹣CD＝4﹣3＝1．

如图4，

同理，PC＝EC+BC＝8，
PD＝PC﹣CD＝8﹣3＝5．
故答案是：1或5．
28．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．

【解答】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，
∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b=12，
∴A（﹣1，0）B（0，12）．

（2）①证明：如图1中，

∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90o﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45o+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．

②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，

∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°
∴∠APB＝22.5°．
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