2021北京重点校初三(上)期中数学汇编：实际问题与二次函数.docx

2021北京重点校初三（上）期中数学汇编
实际问题与二次函数
一、单选题
1．（2021·北京师大附中九年级期中）北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（　　）

A．4 B．5 C．7 D．9
2．（2021·北京八中九年级期中）如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（  ）

A． B． C． D．
3．（2021·北京十五中九年级期中）城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（    ）

A．4.8 B．5 C．5.2 D．5.5
4．（2021·北京市回民学校九年级期中）如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（点C不与点A，B重合），AB=4．设弦AC的长为x，△ABC的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（     ）

A． B．
C． D．
二、解答题
5．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系:y＝﹣2x+140（x＞40）．
(1)当x＝50时，总利润为 　 　元；
(2)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 　 　；
(3)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？
6．（2021·北京师大附中九年级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．
（1）求顶点D的坐标（用m表示）；
（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；
（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．
7．（2021·北京十五中九年级期中）图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面．斜坡顶端B与地面的距离BC为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，A与C的距离是6米，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），y与x之间近似满足函数关系（a，b是常数，），图2记录了x与y的相关数据．

（1）求y关于x的函数关系式；
（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，垂直距离为1米，通过计算判断从A喷出的水珠能否越过这棵树．
8．（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．
（1）①当运动停止时，t的值为 ；
②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；
（2）设△PCQ的面积为S．
①求S的表达式（用含t的式子表示）；
②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？

9．（2021·北京八中九年级期中）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处点距离地面的高度为，当球运行的水平距离为时，达到最大高度的处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

10．（2021·北京五十五中九年级期中）某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为W元．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
11．（2021·北京八十中九年级期中）学校要围一个矩形花圃, 其一边利用足够长的墙, 另三边用篱笆围成, 由于园艺需要, 还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示）, 总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD）, 矩形花圃ABCD 的面积为S平方米．

（1）求S与之间的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围；
（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大, AB边的长应为多少米？

参考答案
1．C
【分析】根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】解答：解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
2．A
【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可.
【详解】∵，
∴当时，，
解得：，
∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)，
即：AO=BO=3，
∴O点为AB的中点，
又∵圆心C坐标为(0，4)，
∴OC=4，
∴BC长度=，
∵O点为AB的中点，E点为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
即：OE=BD，
∵D点是圆上的动点，
由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径，
∴BD的最小值为4，
∴OE=BD=2，
即OE的最小值为2，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
3．C
【分析】先用待定系数法求得函数解析式，根据二次函数的性质求得y取得最大值时x的值即可得答案．
【详解】将（4，0.43）、（5，1.1）、（6，0.87）代入解析式得：，
解得： ，
∴y=-0.45x2+4.72x-11.25，
当x=-≈5.244时，y取得最大值，
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据题意列出函数表达式，函数不是二次函数，也不是一次函数，又AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大，此时AC=2，用排除法做出解答．
【详解】解： ∵AB=4，AC=x，
∴BC=，
∴S△ABC=BC•AC=，
∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，        
∴排除A、C，
∵AB为定值，当OC⊥AB时，△ABC面积最大， 此时AC=2， 即x=2时，y最大，故排除D．
故选:B．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，列出函数关系式数形结合思想解题是本题的解题关键．
5．(1)（元）；
(2)；
(3)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元
【分析】（1）将代入一次函数解析式可得销售量，然后根据每件的利润乘以数量即为总利润即可得；
（2）根据利润=销售数量×每件的利润可得，把代入整理即可得w与x的函数关系式；
（3）由每天的销售量不少于38件，可得，进而可求出；根据（2）中结论整理为顶点式，根据二次函数的基本性质可得，当时，w随x的增大而增大，所以当时，w有最大值，代入求解即可得．
(1)
解：当时，
，
∴销售量为40件，
利润为：（元），
故答案为：400；
(2)
解：由题意得：
，
，
，
∴w与x的函数关系式为，
故答案为：；
(3)
解：∵，
∴，
解得：；
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为：（元），
∴销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及二次函数求最值问题的知识，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
6．（1）（m，m+1）；（2）m≤﹣1；（3）﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线开口方向和顶点坐标可得顶点纵坐标m+1≤0时满足题意．
（3）根据抛物线顶点坐标可得抛物线运动规律，通过数形结合求解．
【详解】解答：解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m+1＝（x﹣m）2+m+1，
∴抛物线顶点D坐标为（m，m+1）．
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（m，m+1），
∴当m+1≤0时，抛物线与x轴有交点，
解得m≤﹣1．
（3）∵抛物线顶点坐标为（m，m+1），
∴抛物线顶点所在图象为直线y＝x+1，
当m＜﹣2时，抛物线对称轴在点A左侧，
把A（﹣2，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得1＝4+4m+m2+m+1，
解得m＝﹣4或m＝﹣1（舍），
如图，

∴m增大时，抛物线与线段有交点，
当m＜0时，抛物线对称轴在点B左侧，
把B（0，1）代入y＝x2﹣2mx+m2+m+1得0＝1﹣2m+m2+m+1，
解得m＝﹣1或m＝2（舍）．
此时抛物线同时经过点A，B，如图，

∴﹣4≤m＜﹣1满足题意．
m增大，抛物线沿直线y＝x+1移动，
当抛物线经过点B时m＝0，
∴﹣1＜m≤0满足题意．
综上所述，﹣4≤m＜﹣1或﹣1＜m≤0．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是根据顶点坐标找出抛物线运动规律，通过数形结合求解．
7．（1）；（2）水珠能越过这棵树，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出两个点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）代入x=2求得y的值后与1+1.8比较大小后即可确定正确的结论．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中， BC=3， AC=6．
∴ 点B的坐标为（6，3）．
∵ B（6，3），（4，4）在抛物线上，
解得：
∴ y关于x的函数关系式为．
（2）当x＝2时，＝3＞1+1.8，所以水珠能越过这棵树．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数的图象与性质等知识点．
8．（1）①2；②一次函数；（2）①；②，面积最大为
【分析】（1）①根据运动速度，以及、的长度，即可求解；②求得与的关系式，即可求解；
（2）①求得线段、的长度，即可求得S的表达式；②根据表达式可得S与t为二次函数的关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）①运动停止时，分别到达终点点和B点，

故答案为
②由题意可得：，，即，∴y与t满足一次函数的关系
故答案为一次函数
（2）①由题意可得：，

△PCQ的面积
故答案为：
②由二次函数的性质可得：，开口向下，对称轴为
∴当时，取得最大值，最大值为
【点睛】此题考查了函数与几何的综合应用，涉及了正比例函数的性质，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质，理解题意，找到题中的等量关系．
9．米
【分析】以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，然后设函数解析式为，进而把点A代入求解函数解析式，最后求解问题即可．
【详解】解：以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则有，如图所示：

设函数解析式为：，则把点A代入得：
，解得：，
∴函数解析式为，
令，则有，解得：（舍），，
所以，该同学把实心球扔出米．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（1）w=﹣2x2+120x﹣1600；（2）单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
【分析】（1）根据总利润=单价销售量，列出w与x、y的函数关系式，再将y=﹣2x+80代入即可；
（2）将二次函数配方成顶点式，即可解题.
【详解】解：（1）

，
答：w与x的函数关系式为：w=﹣2x2+120x﹣1600．
（2）w=﹣2x2+120x﹣1600=，
∵﹣2＜0，  ∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，配方法等知识，是重要考点，难度较易,掌握相关知识是解题关键.
11．（1）S=-3x2+36x，0<x<9;（2）AB为6米时，矩形花圃面积最大.
【分析】用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求出最大值．
【详解】（1）         

（2）
当且仅当时，取最大值108．           
答：AB为6米时，矩形花圃面积最大．
【点睛】本题主要考察的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键.
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