2023届高考数学一轮复习-第3讲-等比数列.doc

第3讲　等比数列

考向预测
核心素养
等比数列也是高考的常考内容，以等比数列的基本公式及基本运算为基础，可考查单一的等比数列问题，但更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题.
数学抽象、逻辑推理、
数学运算

[学生用书P155]

一、知识梳理
1．等比数列的概念
(1)定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列与指数函数的关系
(1)当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
(2)等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；
当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列．
(3)等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零)．
常用结论
1．若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
3．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
4．等比数列{an}中，Sk表示它的前k项和．当Sk≠0，k∈N*时，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比数列，公比为qk.
二、教材衍化
1．(链接常用结论1)(人A选择性必修第二册P31练习T5改编)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，
即a＝a3·a9.
2．(人A选择性必修第二册P36例8改编)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q的值为(　　)
A．－ B.
C.2 D.－2
解析：选B.当q＝1时，＝1≠，所以q≠1.
当q≠1时，＝＝q5＝，所以q＝.
3．(人A选择性必修第二册P37练习T3改编)已知数列{an}为等比数列，a2＝6，6a1＋a3＝30，则a4＝________．
解析：由题意得
解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
答案：54或24

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列{an}的公比q＞1，则该数列单调递增．(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
1．(多选)(忽略q＝±1致误)已知数列{an}是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　)
A. B.{log2a}
C．{an＋an＋1} D.{an＋an＋1＋an＋2}
解析：选AD.当等比数列{an}的通项公式为an＝1时，log2a＝0，数列{log2a}不是等比数列，当等比数列{an}的公比q＝－1时，an＋an＋1＝0，数列{an＋an＋1}不是等比数列，由等比数列的定义知和{an＋an＋1＋an＋2}都是等比数列．
2．(忽略q＝1致误)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)
A．1 B.－
C．1或－ D.－1或
解析：选C.当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－.
3．(混淆等比数列的项和等比中项致误)已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则a5＝(　　)
A．－2 B.±2
C.2 D.±
解析：选C.因为a2a3a4＝1，所以a3＝1，
因为a6a7a8＝64，所以a7＝4，
又a＝a3a7＝4，又a5与a3同号，
所以a5＝2.
[学生用书P156])
考点一　等比数列的基本运算(自主练透)
复习指导：探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式．
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B.8
C.4 D.2
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2．(2022·湘东五校联考)十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，插入的第四个数应为(　　)
A．2 B.2
C.2 D.2
解析：选C.设此数列的公比为q，则2＝1×q12，解得q4＝.所以a5＝1×q4＝2.
3．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)
A．2 B.3
C.4 D.5
解析：选C.a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2×2n－1＝2n.
又因为ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
所以＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
所以2k＋1＝25，所以k＋1＝5，所以k＝4.
4．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5－1，则公比q＝________．
解析：若q＝1，则S4＝4，a5－1＝0，等式S4＝a5－1不成立，所以q≠1.由S4＝a5－1，得＝a1q4－1，整理得(q4－1)(2－q)＝0.又q≠1，所以q＝2或q＝－1.
答案：2或－1

解决等比数列有关问题的两种常用思想
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二　等比数列的判定与证明(思维发散)
复习指导：理解等比数列的概念，发现数列的等比关系，体会等比数列与函数的关系．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【证明】　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．

1．若本例中的条件不变，试求{an}的通项公式．
解：由例1知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
2．在本例中，若cn＝，证明：数列{cn}为等比数列．
证明：由[思维发散1]知，an＝(3n－1)·2n－2，所以cn＝2n－2.
所以＝＝2，又c1＝＝，
所以数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列．

(1)等比数列的证明方法
①定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
②中项公式法：若数列{an}中an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(2)等比数列的其他判定方法
①通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
②前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
[提醒]　等比数列的其他判定方法常用于选择题、填空题中的判定．
|跟踪训练|
1．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)
A．－ B.
C.－ D.
解析：选A.方法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.
方法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k·qn－k，则a＝－，a＝－.
2．(2021·新高考八省联考模考)已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
解：(1)证明：由an＋2＝2an＋1＋3an可得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)，　
因为各项都为正数，所以a1＋a2>0，
所以{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)构造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)，整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan，所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，
因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an，
所以{an}是以a1＝为首项，3为公比的等比数列．
所以an＝(n∈N*)．
考点三　等比数列的性质及应用(多维探究)
复习指导：能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
角度1　等比数列项的性质应用
(链接常用结论1)(1)(2022·洛阳第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则的值为(　　)
A．－ B.－
C. D.－或
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－.
(2)由题意知a1a5＝a＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝(a)2·a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5.
【答案】　(1)B　(2)5
角度2　等比数列前n项和的性质
(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________．
【解析】　(1)由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
(2)设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.
【答案】　(1)2　(2)

等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征，即可找出解决问题的突破口．
[提醒]　在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．
|跟踪训练|
1．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B.27
C.36 D.81
解析：选B.因为a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
所以q2＝9.所以q＝3(q＝－3舍去)，
所以a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
2．(链接常用结论1)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________．
解析：因为＋＝，＋＝，
由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.
答案：－
[学生用书P419(单独成册)]
[A　基础达标]
1．已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a6·a8＝16a，则＝(　　)
A．2 B.
C. D.
解析：选C.设数列{an}的首项为a1，公比为q，
因为a6·a8＝16a，所以aq12＝16aq8，所以q4＝16，所以q＝2或q＝－2(舍去)，
所以＝＝＝＝.
2．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝(　　)
A．12 B.13
C.14 D.15
解析：选C.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，…，an－1anan＋1也成等比数列．
令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.
所以bm＝4×3m－1.
令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，
所以b5＝324，即a13a14a15＝324.
所以n＝14.
3．已知数列{an}满足a1＝1，＝·q(q为非零常数)，·＝2，则a101＝(　　)
A．2 B.
C.1 024 D.
解析：选A.由数列为等比数列，得·＝…＝·＝2，
所以＝··…·＝＝2，
又数列{an}的首项a1＝1，所以a101＝2.
4．若{an}是等比数列，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝(　　)
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
解析：选D.由Sn＝2n－1得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2.
所以公比q＝2，可知数列{a}是等比数列，公比为q2＝4，首项a＝1，
所以a＋a＋a＋…＋a＝＝.
故选D.
5．(多选)在公比为q的等比数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正确的是(　　)
A．q＝3
B．数列{2Sn－3n}是等差数列
C．数列{an－3n}是等比数列
D．数列{log3an－3n}是等比数列
解析：选ABC.因为等比数列{an}的公比为q，a5＝27a2，则a1q4＝27a1q，而q≠0，解得q＝3，A正确；
前n项和Sn＝＝，则2Sn－3n＝－1，数列{2Sn－3n}是等差数列，B正确；
又an＝3n－1，则an－3n＝3n－1－3n＝－2×3n－1，有＝3，数列{an－3n}是等比数列，C正确；
因为an＝3n－1，则log3an－3n＝n－1－3n，显然＝不是常数，数列{log3an－3n}不是等比数列，D不正确．
故选ABC.
6．公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15＝________．
解析：由题意得a1qa1q11＝16，即aq12＝16，
所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，则log2a15＝log226＝6.
答案：6
7．(一题多解)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________．
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
答案：
8．(2022·郑州市高三第二次质量预测)已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝________．
解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n(n∈N*)，①
则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，②
①－②，得an＝3an－3an－1－2，所以2an＝3an－1＋2，
所以an＝an－1＋1，若{an＋λ}成等比数列，所以an＋λ＝(an－1＋λ)，解得λ＝2.
答案：2
9．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.
解：(1)证明：2Sn＝－an＋n，
当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，
即an＝an－1＋.
所以an－＝，
由2S1＝－a1＋1，得a1＝，所以a1－＝－，
所以数列是以－为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知an－＝－＝－，
所以an＝－＋，
所以an－1＝－－，
所以Tn＝－＝－.
[B　综合应用]
11．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B.{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D.an＝
解析：选ABD.由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)，
又由a1＝1，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，
所以＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝
当n≥2时，Sn＝＝＝3n－1，
又由n＝1时，S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1；
又由＝＝3，
所以数列{Sn}为公比为3的等比数列，
综上可得选项ABD是正确的．
12．(多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn.前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．0<q<1 B.a7·a9>1
C．Sn的最大值为S9 D.Tn的最大值为T7
解析：选AD.因为a1>1，a7·a8>1，<0，所以a7>1，a8<1，所以0<q<1，故A正确；a7a9＝a<1，故B错误；因为a1>1，0<q<1，所以数列为正项递减数列，所以Sn无最大值，故C错误；又a7>1，a8<1，所以T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．故选AD.
13．已知数列{an}满足a1＝2且对任意的m，n∈N*，都有＝an，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为＝an，
令m＝1，则＝an，即＝a1＝2，
所以{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，
Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
14．已知数列{an}与均为等差数列(n∈N*)，且a1＝2，则an＝________，a1＋＋＋…＋＝________．
解析：设an＝2＋(n－1)d，
所以＝
＝，
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数或常数函数，
所以(d－2)2＝0，所以d＝2，
所以an＝2＋(n－1)2＝2n，
所以＝＝2，
所以a1＋＋＋…＋
＝21＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－2.
答案：2n　2n＋1－2
[C　素养提升]
15．已知数列{an}，{bn}满足an＝2bn＋3，n∈N*，若{bn}的前n项和为Sn＝(3n－1)，且λan＞bn＋36(n－3)＋3λ对一切n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是(　　)
A．λ＞－ B.λ＞
C．λ＞ D.λ＞
解析：选D.由题意b1＝S1＝3，当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝3n，
综上bn＝3n，an＝2×3n＋3，
题设不等式为λ(2×3n＋3)＞3n＋36(n－3)＋3λ，整理得λ＞＋，
记cn＝＋，则cn－cn＋1＝＋－－＝(2n－7)，
当1≤n＜时，cn－cn＋1＜0，即cn＜cn＋1，当n≥4时，cn－cn＋1＞0，即cn＞cn＋1，
所以c4是{cn}中的最大值，c4＝，
所以λ＞.
故选D.
16．已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
解：(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，
所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q＞1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，
所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，
所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以Sn＝＝＜.
因为∀n∈N*，Sn≤m恒成立，
所以m≥，即实数m的最小值为.